[Grmv1985-1] Gromov論文導讀(1)：從C-R方程到偽全純曲線

Gromov革命性地為辛幾何引入了偽全純曲線，促進了後面Gromov-Witten不變數、Floer同調、弦論的發展，是當代辛幾何和絃論方面最重要的論文之一：

[Gromov1985] Gromov, M. (1985). Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds. Inventiones mathematicae, 82, 307-347.

原文是直接從偽全純曲線開始研究的，默認讀者對複分析、微分幾何、複流形、辛幾何有一定的基礎。在導讀中，我們回到非常基礎的復導數上，重新從Cauchy-Riemann方程的推導開始，提升到偽全純曲線，方便讀者充分利用原有的知識背景去理解。

本文先複習一下復導數和C-R方程，然後把C-R方程轉為運算元形式。我們在Riemann曲面的映射上重新考慮這種運算元形式，給出一個類似的運算元，成為C-R方程在推廣後的類似條件。滿足這種條件的映射就是偽全純曲線。

復極限、復導數

我們的MP系列是從基礎複數知識開始的，在那裡我們給 $mathbb{R}^2$ 附加了乘法，有了代數封閉的復域：

MP1：重溫高等數學：複平面與Euler公式

過去通過乘法有了復代數，加之復域上討論乘法的逆除法也是可以的。域的良好結構使得除法運算也是封閉的，這樣我們便可以開始討論映射的變化率問題——微分。區域上定義了函數

考慮其中一點上的極限

$lim_{z ightarrow z_0}{f(z)} = f(z_0)$

若它以任意方式的趨近都有相同的有限復值，稱復極限存在。它相當於二維實向量函數的極限。

若存在復極限

$lim_{z ightarrow z_0}{frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}} = f^prime(z_0)$

則稱在可導，極限就是導數。現在，我們可以區別與二維實向量了。二維實向量空間並沒有定義兩向量之間的除法，不能按照這種結構構造出（與極限方式無關）的導數來，因此，復導數是複變函數中特有的性質。

在區域上處處可導的函數稱為全純(holomorphic)函數。

Cauchy-Riemann方程

複函數在區域內可微，蘊含著比實部/虛部在區域內可微更好的性質。假設複函數

的實部和虛部在 $z_0 in D subset mathbb{C}$ 可微。如果在這一點可微，簡便起見我們不區分複平面和實平面，則複函數的微分可以表達為

$df = du + idv = egin{bmatrix} du \ dv end{bmatrix}$

復自變數的微分可以寫為

$dz = dx +idy = egin{bmatrix} dx \ dy end{bmatrix}$

聯繫以上兩個微分的是復導數

我們先在實平面上看待它們的關係，由Jacob矩陣確定一個線性變換：

$egin{bmatrix} du \ dv end{bmatrix} = egin{bmatrix} frac{partial u}{partial x}dx + frac{partial u}{partial y}dy \ frac{partial v}{partial x}dx + frac{partial v}{partial y}dy end{bmatrix} = egin{bmatrix} frac{partial u}{partial x} & frac{partial u}{partial y} \ frac{partial v}{partial x} & frac{partial v}{partial y} end{bmatrix} egin{bmatrix} dx \ dy end{bmatrix}$

然後，再考慮複數乘法，為了區分矩陣乘法有時候用記號。令則

$df = |df| e^{idf} = frac{df}{dz} dz =egin{bmatrix} f_x^prime \ f_y^prime end{bmatrix} odot egin{bmatrix} dx \ dy end{bmatrix}$

$=(f_x^prime + if_y^prime)(dx + idy) =egin{bmatrix} f_x^prime dx - f_y^prime dy \ f_y^prime dx + f_x^prime dy \ end{bmatrix}$

$=egin{bmatrix} f_x^prime & - f_y^prime \ f_y^prime & f_x^prime \ end{bmatrix} egin{bmatrix} dx \ dy end{bmatrix}$

比較前面的Jacob矩陣，得到

$egin{cases} frac{partial u}{partial x} = f_x^prime = frac{partial v}{partial y} \ -frac{partial u}{partial y} = f_y^prime = frac{partial v}{partial x} end{cases}$

這就是Cauchy-Riemann方程。

C-R方程的運算元形式

C-R方程的這種交錯關係用下式表達就更為清晰：

$egin{bmatrix} frac{partial u}{partial x} & -frac{partial u}{partial y} \ frac{partial v}{partial x} & frac{partial v}{partial y} end{bmatrix} = egin{bmatrix} frac{partial v}{partial y} & frac{partial v}{partial x} \ -frac{partial u}{partial y} & frac{partial u}{partial x} end{bmatrix}$

重新排列一下矩陣指標後：

$egin{bmatrix} -frac{partial v}{partial x} & -frac{partial v}{partial y} \ frac{partial u}{partial x} & frac{partial u}{partial y} end{bmatrix} = egin{bmatrix} frac{partial u}{partial y} & -frac{partial u}{partial x} \ frac{partial v}{partial y} & -frac{partial v}{partial x} end{bmatrix}$

等式兩邊的構造分解如下：

$J circ f^prime = egin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 end{bmatrix} circ egin{bmatrix} frac{partial u}{partial x} & frac{partial u}{partial y} \ frac{partial v}{partial x} & frac{partial v}{partial y} end{bmatrix} =egin{bmatrix} -frac{partial v}{partial x} & -frac{partial v}{partial y} \ frac{partial u}{partial x} & frac{partial u}{partial y} end{bmatrix}$

$f^prime circ J = egin{bmatrix} frac{partial u}{partial x} & frac{partial u}{partial y} \ frac{partial v}{partial x} & frac{partial v}{partial y} end{bmatrix} circ egin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 end{bmatrix} = egin{bmatrix} frac{partial u}{partial y} & -frac{partial u}{partial x} \ frac{partial v}{partial y} & -frac{partial v}{partial x} end{bmatrix}$