IND4汽車人：汽車NVH試驗信號處理_3傅裏葉變換
本系列以NVH試驗信號處理為主線，逐步介紹NVH試驗中經常用到的信號處理知識，希望能為廣大的NVH試驗工程師提供有用的參考, 本篇我們討論信號處理中個人認為最基礎最重要的概念——傅裏葉變換。
傅裏葉變換分析的研究與應用至今已經歷了一百餘年。1822年法國數學家傅裏葉（J.Fourier，1768-1830）在研究熱傳導理論時發表了《熱的分析理論》，提出並證明瞭將週期函數展開為正弦級數的原理，奠定了傅裏葉級數的理論基礎。隨著泊松，高斯等一系列科學家的補充發展，如今，傅裏葉分析方法已經成為信號分析與系統設計不可缺少的重要工具。
要理解傅裏葉變換，我們首先要明白「頻率」這個概念。頻率就是單位時間內重複性事件的次數。就物理現象來說，比如振動，頻率就是單位時間內完整質點振動循環的次數。對應到數學上，就是單位時間內正弦波的次數，如圖1所示。
圖1 正弦波的頻率，波長等
字面上看，好像頻率和我們的日常生活沒有太大關係，但是下面舉個例子足可以說明頻率其實和我們日常的生活，日常的體驗是息息相關的。圖2展示的是電磁波的完整頻譜，可以看到，我們日常體驗的可見光只佔其中很小的頻段，而且我們感受到的可見光顏色是由頻率決定的。頻率可以決定我們看到的光的顏色，這足夠說明頻率的神奇了吧。當然其它頻段的電磁波在我們日常生活中也是有廣泛運用的，可以說我們每天都生活在各種不同頻率的電磁波混合的世界裡。
圖2 電磁波完整頻譜
頻率在絕大部份情況下是和傅裏葉變換聯繫在一起的。要講傅裏葉變換，要從傅裏葉級數開始講起，但這裡我們沒有必要在數學方面長篇大論，我們只需知道其變換的本質即可。傅裏葉變換的本質就是用不同頻率的正弦函數來合成所有的函數。下面經典的圖3就是用8個不同頻率的正弦波（基波及諧波）來合成方波，所用的正弦諧波越多，得到的波形和方波越接近。
圖3 不同頻率的正弦波合成方波
雖然前面講述了生活中的電磁波和頻率現象，但我們為什麼用正弦波來表示方波，換句話說，傅裏葉變換的意義何在？為瞭解決這一問題，舉一個並不和本主題十分契合但是意義十分相同的例子。
在一家飲料店，我用各種不同的原料調製了一杯「雞尾飲料」，這些原料包括綠茶，紅茶，咖啡，檸檬，薄荷，奶精等（假設我們無法調製單一原料，只能混合這些原料做成「雞尾飲料」）。我很確定這種「雞尾飲料」的味道，顧客也喜歡這種味道。但是在某一次調製完成後我發現味道不對，可能某一種原料過期變質了，也可能是某一種原料加的比例不太對。我現在急需要找到味道不對的原因，因為這會影響到產品的銷售。
怎麼辦呢？我們必須找到一個味蕾極其靈敏的味覺專家來解決這個問題。因為這種混合了各種原料的「雞尾飲料」，普通人很難憑藉嘗幾口就能猜測出是哪一種原料變了質。但是專家難尋且成本太高了！OK，我來嘗試推薦一個簡單而且極其便宜的方案——「傅裏葉變換器」。
「傅裏葉變換器」在「雞尾飲料」中是這麼工作的。你將一整杯「雞尾飲料」倒入該機器，該機器自動地將不同原料過濾到不同的目標杯子中。好，之前正常的「雞尾飲料」我已經經過「傅裏葉變換器」分析且冷凍保存了。現在我將異常的「雞尾飲料」再次倒入「傅裏葉變換器」進行處理，將過濾後的目標杯子和之前保存的正常目標杯子進行對比。如果某一杯子的原料的量不一樣，這就是造成異常的一個原因。然後我再品嘗每一個杯子，如果某一杯子的原料嘗起來不一樣，那可能這種原料已經變質，也是造成味道異常的原因。
好的，我們不需要去找昂貴的味覺專家，我們只需要買一套「傅裏葉變換器」就可以解決「雞尾飲料」味道不對的問題，而且理論上可以用無數次。方便，快捷，解決問題的性價比高！
有人會問，你提這種「雞尾飲料」有什麼用？我們是工程師，解決工程問題，你那種「傅裏葉變換器」還能起作用嗎？當然可以，我們平時遇到的機器就可以當作 「雞尾飲料」，無論是大型機牀，臺架還是汽車，都是由各種不同的零部件所組成的。當機器遇到了某一振動，噪音或者故障問題，怎麼辦？當然，你可以找像味覺專家一樣的機器專家，現場通過感官感受然後判斷，但是這種方法同樣的性價比極低。這時「傅裏葉變換器」就派上用場了，它和機器專家一樣，能分析出異常到底是機器的哪一個零部件所造成的！有了這種工具，每個人都成了專家！
這種「傅裏葉變換器」到底長什麼樣子呢？圖3給出了一個清晰的可視圖像。雜亂無章，完全無法從中提取有用信息的時域信號經過傅裏葉變換到頻域之後，圖像就非常清晰明瞭。頻域的橫軸代表頻率，即代表不同的「原料」，縱軸代表幅值，即不同「原料」的「量」，當然還有一個相位信息，圖3沒有體現出來。有了這些信息，我們就可以檢查每一個量，無論是頻率，幅值還是相位都對我們分析各類問題指出明確的方向！
圖3 傅裏葉變換的可視化
傅裏葉變換有著非常好的性質，比如可在時域和頻域隨意變換；可在頻域簡化時域卷積運算；正弦曲線的保真度等等。在現代試驗領域，我們每一位試驗工程師（不只是NVH領域）都應該熟練掌握傅裏葉變換的原理及其在信號處理中的應用。
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