音階中的數學

1. 動機

　　近期，六歲的女兒在學鋼琴，作為監工和陪練，這對我卻是個不大不小的困難。因為陪練並不是站在一旁嚷嚷著「好好練琴」就行，共同學習、一起交流纔能夠讓小孩有持續的熱情。為了把這件事變得有趣和高效，我打算從零學一點音樂，首先至少能看懂少兒鋼琴的書吧。想想我們這一代的農村學校，連個音樂老師都沒有，更不談什麼音樂知識，能接受到的音樂「薰陶」恐怕也只有大街小巷的那些流行歌曲了。這種粗糲的音樂審美也許已經無法提高，但「學習基礎樂理」這樣的硬任務應該還是可以完成的。　　很久之前就聽說音樂和數學有著千絲萬縷的聯繫，我早就想一睹音樂中的數學之美，但拿起各種正規樂理教材後，心裡的落差還是很大的。不僅沒有數學教材的那種乾淨利落，甚至也沒有計算機教材的循序漸進，整個就是雜亂概念的堆砌。概念沒有清晰的定義、沒有引入的原因，概念間複雜的關係更是說不清楚道不明，名詞總是硬生生地放在那裡，你記就是了。也許是因為多年的理工科工作習慣，這樣的書我真是一頁也看不下去，不是看不懂，而是看得不得勁。但靜下心來想想，我需要的只是對概念來源的一個解釋，哪怕是一個錯誤的解釋，只要我覺得合理就行。　　當然我也知道，音樂本身還是感性的東西，它變換莫測、風格多變，甚至連好壞都沒有統一的標準，想用一套理論就把它完全解釋肯定是不現實的。但萬事萬物都都會有一些基本規律存在，人類文明也正是在歸納總結中積累起來的，即使是藝術、文學類的創作，也都要滿足基本的美學規律。音樂作為一個普世的文化活動，經過上千年的流傳和演進，在不同地域的文明中都建立起了理論體系。但令人驚奇是，在音律的基本要素上，各種體系都殊路同歸，具有非常類似的構成。如今，音律的語言已經趨於一致，人們已經有了統一的描述方式，並且在此之上繼續探索、總結……　　音律中跟數學關係最直接、最久遠的當屬音階系統了，早在古希臘時期，畢達哥拉斯學派就發現，頻率呈簡單整數比的兩個音聽起來非常協和，並且幾乎全世界的音階系統，都是基於這樣一個簡單的事實建立起來的。下面開始，我就試圖用自己淺薄的數學知識來解釋一下這套體系，當然其中以數學的闡述為主，而有意淡化樂理的瑣碎概念和樂譜的基本知識，那些在任何一本樂理書上都有詳盡的介紹。最後我還想說，對於樂器演奏技法、甚至音樂理論學習，整理這些東西並無大用，用這種思維去學習音樂也必將學無所成。但對於一個理科生，只是想要一個解釋而已，這不算過分吧，先讓我痛快了再說！

2. 關於聲音　　首先嚴格說，聲音就是一段聲波，它是物體震動從而帶動的空氣震動。當然，雜亂無章的震動並不能對聽覺提供可識別的特徵信息，具有明顯特徵的聲音在一段時間內應當（或近似）呈現一定的週期性，所謂週期性就是震動以一定頻率重複出現。有三個特徵可以完整刻畫一段週期聲波，首先是聲波的震動週期，它一般用頻率來表示，在音樂裏還叫音高，人耳能聽到的聲音頻率大概是20～20000Hz20～20000Hz。第二個是聲波的形狀，它構成了每段聲音的獨特感覺，音樂上也叫音色，不同樂器發出的聲音都很容易辨認，就是因為它們的音色不同。第三個就是聲音震動幅度的大小，它直接關係到聲音的大小，也就是我們平常說的音量。　　教材上還告訴我們，每個週期聲波都是有一系列頻率為f,2f,3f,?f,2f,3f,?的正弦波（振幅不同）疊加而成的。但我覺得這個說法並不嚴謹，雖然傅裏葉級數告訴我們：「滿足一定條件的週期函數可以有唯一的傅裏葉分解」，但這並不能說明：週期聲波天然地就是由那些正弦波疊加而成的。傅裏葉級數只是數學工具，它是個人工概念，用來幫助人們分解聲音以便更好的分析。就好比物理上經常把運動按正交軸進行分解一樣，這是用數學工具來分析運動，但並不是說：運動天然地就是由兩個方向的運動組成。　　正弦波也叫簡諧波，它是由簡諧振動產生的聲波，而簡諧振動現實中非常普遍的一種運動。所謂簡諧振動可以這樣描述：它在中心兩側運動，加速度（或所受合力）始終指向中心，並與位移yy成正比。彈簧的震動就是典型的簡諧振動，其實現實中大部分物體的自身震動都是由若干簡諧振動組成的，這也說明瞭為什麼週期聲波都可以很好地進行傅裏葉分解。在音樂裏，簡諧波也叫純音，純音疊加而成的複合音，如果仍然有明顯的週期，則叫單音，否則叫拍音。單音的傅裏葉分解中，週期最大的純音叫做這個單音的基音，其它純音則叫泛音。　　到這裡還有最後一個問題：為什麼簡諧波就是正（餘）弦波，僅僅因為它好看嗎？我只得承認，書本里學的知識已經全部忘記了，現在只好自己再推算一遍。一種直接的方法就是根據簡諧振動的特點，可以得到式（1）的常微分方程，從而解得y(t)y(t)是正弦函數。還有一種間接的證明方法，就是觀察如圖的勻速圓周運動。考察運動點PP以及其加速度aa在yy軸的投影，顯然它們成正比關係，具體說就是ay(t)=aRy(t)ay(t)=aRy(t)。也就是說簡諧振動正是勻速圓周運動在一維空間的投影，設它的角速度是ωω（逆時針方向），它的波形自然就是RsinωtRsinωt。y′′(t)=ky(t)(1)(1)y″(t)=ky(t)

3. 十二平均律　　單絲不成線，單音不成樂，一首動聽的音樂當然要有不同音高的單音，才能表達出情緒的波動。我們也看到，任何一種樂器都能發出多種音高，它們交叉、重疊、依次推進，形成了非常有節奏的韻律。為了能用不同的樂器、在不同的時間和場所彈奏同樣一首曲子，需要對每個音作明確定義，這就要事先選定一組單音做為標準，這個組合也被稱為音階。每種樂器使用的音階不盡相同，但挑選時都遵循著類似的準則，這裡我們先跳過漫長的歷史過程，來看看如何合理地構建一個通用的音階。　　首先我們知道一個常識：人耳對音高的感知滿足對數函數，也就是說音高分別為Fa,FbFa,Fb的聲音，我們感覺到的「聲高」比（我捏造的詞）則是LaLb=lnFalnFbLaLb=ln?Faln?Fb。設音階中單音的聲高和音高分別是Li,FiLi,Fi，則容易有關係式（2）成立（CC為某常數）。另外，我們希望音階裏的「聲高」是逐漸遞增的，也就是說L1,L2,?,LnL1,L2,?,Ln成等差數列。由式（2）易知La?Lb=ClnFa/FbLa?Lb=Cln?Fa/Fb，從而F1,F2,?,FnF1,F2,?,Fn成等比數列。L1lnF1=L2lnF2=?=LnlnFn?Li=ClnFi(2)(2)L1ln?F1=L2ln?F2=?=Lnln?Fn?Li=Cln?Fi　　把音階設計成等比數列有很多好處，首先是得到了一套完整、遞進的聲高系統，它能滿足各種場合的需求。還有就是等比音高可以很方便地「轉調」，所謂轉調就是把樂曲中的每個音都同時升高或降低相同的聲高，下面的調式中會碰到這樣的情況。總之這是一個不錯的開始，只要再添加少許限制，就可以確定這套音階了。音樂中的不同單音扮演著不同的角色，它們需要配合使用才能體現出流暢或變化，所謂流暢就是兩個單音出現重合或疊加時，並不顯得突兀，而是顯得十分「協和」。　　早在古希臘時期人們就發現，頻率成簡單整數比的兩個音在一起更加協和，尤其是成倍數關係的兩個音疊加時，音高並沒有變化。這個其實不難解釋，兩個週期比為m:nm:n的兩個音重合時，週期變為最小公倍數[m,n][m,n]，當m,nm,n都不大時，重合音的音高也沒有突然降低，並且都是原來音高的倍數。既然倍數關係的音高是最協和的，我們就必須把最簡單的倍數2:12:1添加到音階中，任意選定一個「基礎音」後，它的2k,2?k2k,2?k倍音也必須出現在音階中，這就得到了音階序列?,2?2F,2?1F,F,2F,22F,??,2?2F,2?1F,F,2F,22F,?。　　但是成倍數的單音又太過協和了，完全體現不出變化，樂曲會顯得很空洞。所以需要在[F,2F][F,2F]間再添加一些音（其它區間類似），當然添加不能忘了等比關係，添加後的音應當是式（3）的序列。這時只要確定整數nn即可，而這隻需再添加一個音。所有非倍數的整數比中最簡單的就是2:32:3，從而把32F32F添加進序列（3）是毫無爭議的，也就是尋找mm使得2mn=322mn=32。20F=F,21nF,22nF,?,2n?1nF,2nnF=2F(3)(3)20F=F,21nF,22nF,?,2n?1nF,2nnF=2F　　但顯然log232=0.5849625?log2?32=0.5849625?是無理數，不能表示成mnmn的形式，這時我們只能稍作妥協，取一個log232log2?32的近似分數。到了這一步，自然地就想到了實數的連分數表示，首先算得log232log2?32的簡單連分數是[1,1,2,2,3,1,5,2,23,?][1,1,2,2,3,1,5,2,23,?]，前幾個近似分數分別是1,12,35,712,2441,3153,?1,12,35,712,2441,3153,?。第一個達到0.10.1精度的（包括第一類近似逼近）是712712，1212大小合適，並且在古代是個很有地位的數（因為約數多），不選它簡直天理難容了。

log232=11+11+12+12+?≈712(4)(4)log2?32=11+11+12+12+?≈712

　　以此建立音階的方法就叫做十二平均律，它誕生於相當久遠的中國古代，16世紀由明朝的朱載堉發展成完整的理論，然後在16世紀末傳播到歐洲並在17世紀得以普及。十二平均律是目前通用的音律體系，後面的音程、調式、調性、和聲、和絃理論都是建立在此之上的，只不過這些理論幾乎都是在歐洲發展起來的。4. 音程與協和性　　在音律中有時非常關心兩個單音之間的「距離」，它顯然可以用單音的頻率比來度量，這個比率在音樂中也被叫做音程。由於十二平均律得到音階形成完整的等比數列，從而可以用相鄰單音的頻率比作為單位來「數」出音程大小，這個單位叫做一個「半音」，兩個半音則叫一個「全音」，這樣的音程表示法也叫音數。至於為什麼把半音作為一個單位，我想大概是因為許多音階中，兩個半音的距離是比較主要的音程，這個在下面的調式中將詳細討論。另外，一個半音還被分為100個音分，它可以用來度量更小精度的音程。　　由於FF與2F2F的單音極度相似，音階中就好像只有12個音循環出現（只是音高加倍），因此我們把討論的重點放在一個週期中。在正式給出這些音的名稱之前，這裡先用數字0～120～12代表它們，下面要討論的是這13個單音之間的協和程度。這屬於樂理中的和聲學部分，那裡把音程的協和程度分成了五種：極完全協和、完全協和、不完全協和、不協和、極不協和。首先我們知道，音00與音1212以及自身是非常協和的，它們也叫做極完全協和音程。　　然後我們還知道，音00與音77的頻率比近似為2:32:3，它們的協和程度也很高，從而被叫做完全協和音程。接下來，音77的3232倍音出現在了下一個循環中，熟知取模運算的你一定知道，它就是音22的2倍音。從而易知音22與音77的近似頻率比為4343，它們也是完全協和的。換句話說，任何一個音都有上下兩個與它完全協和的音，這個協和關係可以像下圖那樣形成一個環鏈（因為7與12互質）。

　　歷史上，早期的音階其實就是用上圖的環鏈構建的，但只是使用了環中的55-00-77-22-99-44-1111一段共七個音。由於音程3232也叫純五度（下面再介紹），故這個方法也叫五度相生律。但不難發現，五度相生律中會出現分母很大的分數，崇尚小整數比的古人利用小質數2,3,52,3,5構建出了它們的近似分數（見下表，不包括括弧內的音），這個生成法也叫純率。五度相生律更注重單音之間的協和性，而純率更關注所有單音與FF之間的協和性，在無法協調的情況下，十二平均律則是一個折中的方法。並且十二平均律的平滑性和完整性，也使得它成為了後來的標準。五度相生律和純率被長期使用的期間，七個音的音名也被約定俗成地繼承了下來（見下表，括弧中是它們的唱名），後來添加進來的五個音只好用升降號來表示。十二平均律 五度相生律 純率 音名（唱名） 音程 11 11 11 C (Do) 純一度 21122112 (256/243)(256/243) (17/16)(17/16) C# / Db 小二度 22122212 9/89/8 9/89/8 D (Re) 大二度 23122312 (32/27)(32/27) (6/5)(6/5) D# / Eb 小三度 24122412 81/6481/64 5/45/4 E (Mi) 大三度 25122512 4/34/3 4/34/3 F (Fa) 純四度 26122612 (729/512)(729/512) (7/5)(7/5) F# / Gb 增四 / 減五

27122712 3/23/2 3/23/2 G (So) 純五度 28122812 (128/81)(128/81) (8/5)(8/5) G# / Ab 小六度 29122912 27/1627/16 5/35/3 A (La) 大六度 2101221012 (16/9)(16/9) (9/5)(9/5) A# / Bb 小七度 2111221112 243/64243/64 17/817/8 B (Si) 大七度 22 22 22 C (Do) 純八度　　伴隨著七個單音，音程也有對應的名字，單音到自身的音程叫一度，然後依次增一度，到2倍音程叫八度。可見度數並不是嚴格的定義，而是一個經驗性的命名，從我有限的資料中並未找到它的來源，以下純屬瞎掰。由於一度、四度、五度、八度有很強的協和性和確定的頻率，它們也被叫做純音。二、三、六、七度前面都補充了一個降半音的音，為區別開來，把原來的四個叫大X度，新增的叫小X度。這十三個度數之間近似相差半個音，之所以說近似，是因為非平均律下，這個間距就不是半個音了。所以當一個音要增、減半個音（一個音）時，還特地取名為增、減音程（倍增、減音程），下表總結了音程名稱的變化規律，左右相鄰的兩個音程相差半個音。

倍減音程減音程純音程增音程倍增音程小音程大音程　　關於其它音程的協和性，一般把三度、六度看成是不完全協和的，大二、小七看成是不協和的，小二、大七看成是極不協和的，增四/減五則表現極不穩定。其原因一般也歸結為整數比的「複雜」程度，但如何定義這個複雜程度則莫衷一是，各種解釋都不能讓人信服。如果小整數比的理論成立，那這些協和性很可能只對純律有效。在十二平均律下，每個頻率都有許多近似分數，如何選擇代表分數是個難題，以下只是我的推測。　　對於音程為x>1x>1的兩個音，設週期分別為T,xTT,xT，它們的和聲不一定有固定週期，只有一些大大小小的近似週期。一個近似週期應當同時約等於T,xTT,xT的倍數，設它們是mT,nxTmT,nxT，要想週期比較明顯，|m?nx|T|m?nx|T應當足夠小。最小的近似週期應當滿足：m,nm,n盡量小而|m?nx||m?nx|也能足夠小，回顧連分數的知識可知，這等價於求實數xx的第二類最佳逼近mnmn。純率選取的分數其實就是達到一定精度的第二類逼近，然後nn越小的協和性越好，這與感覺基本吻合。另外我還有一個猜想，那種有理逼近比較慢的音程，由於近似精度低且兩個近似週期之間相差小，和聲會顯得不協和或不穩定。比如典型的增四/減五音，它的連分數是[1;2,2,2,2,2?][1;2,2,2,2,2?]，由於連分數的逼近速度慢，它的和聲就很不穩定。5. 調式和調性　　以上是關於音階的基礎理論，在實際的曲調中往往只選取少量的音組成音階，並且在不同時代、不同地區形成了各種風格的音階。這裡講的「風格」其實就是音階的「調」，它關係到音樂的情感色彩和情緒高低。一個調（音階）包括選定的主音以及其它音的音程，它們分別稱為調性和調式。　　先來看調式，它是指圍繞某個主音（Ⅰ）而生成的音階，對於一種調式，其它音的個數以及相對主音的音程是確定的。在不同的歷史時期和地區，產生了風格迥異的調式，這裡只拿自然大（小）調為例，介紹調式的構成。自然大（小）調就是我們熟悉的七音音階，除了主音外先加入上下五度的兩個音：屬音（V）和下屬音（Ⅳ），然後是位於主音、屬音中間的中音（Ⅲ）和位於主音（高八度）、下屬音中間的下中音（Ⅵ），最後再加上與主音相鄰的上主音（Ⅱ）和下主音（Ⅶ）（小調中叫導音）。一般來說，自然大調錶現出陽光明朗的風格，而自然小調則陰暗憂傷一點。　　在具體音程上，首先兩個屬音的位置沒有疑問，以純五度為準。但主音和屬音之間相差3.53.5個半音，中音的位置有兩種選擇，自然大調選擇2+1.52+1.5方式，而自然小調選擇1.5+21.5+2的方式，這種不同繼而還會影響上（下）主音的位置。最終，自然大調的音程從主音開始依次是「全全半全全全半」，而自然小調則是「全半全全半全全」。如果把音程放到一個八度閉環中，不難發現大、小調其實是「同構」的，只不過平展後有些音相差八度而已。

　　調性比較簡單，主音是什麼，一般就叫什麼調，比如C調、G調。由於在平均律中有同音異名的現象，同一個調可能有兩個名字，比如F#調和Gb調就是相同的。但在非平均律下，它們會有細微的差別，這個我們不多討論。還有一個問題我們一直沒有解決，就是這些音的頻率究竟是多少？歷史上，標準音的標準一直在變，直到1936年，美國標準委員會才將小字一組的A音（a1）定為440Hz，而與它同一組的C音稱為中央C。

　　有了調式和調性後，音樂的調也就確定了，比如C大調、A小調等。下圖將12個音按照五度音程串成一個圓環，由前面的討論可知，圓環中任何7個相鄰的音都正好構成一個自然大（小）調。7個相鄰音中的（順時針）第2個是大調的調性音，而第4個則是小調的調性音，利用這個圖可以快速確定不同的音調。至此，我們就算整理完音階中的數學解釋了，但對於樂理知識，這些只能算開篇和序言，希望我這種另類的開篇可以幫助到你。