最常用的笛卡爾坐標系是怎麼來的？其實這可以從面積推出來。

註：本文中出現的 overline a,overrightarrow a 都表示有向線段， ar S 表示有向面積，角一般都為有向角，其他符號參照文中定義

一：帶號面積和有向角

定義：

  • 對於同一個多邊形，依照邊界的走向來確定面積的正負，例如下圖： ar{S}_{ABCD}=-ar{S}_{DCBA}
  • 有向角的定義：對於 ar S_{ riangle ABC}>0 則 angle ABC>0 ，反之為負角

好處：可以簡潔明瞭地表示幾何關係

  • 對於直線BC上的點P，總有 ar{S}_{ riangle ABC}=ar{S}_{ riangle ABP}+ar{S}_{ riangle APC}
  • 對於組成四邊形的兩個三角形，總有 ar{S}_{ABCD}=ar{S}_{ riangle ABD}+ar{S}_{ riangle BCD}
  • 帶號面積的公式 ar S_{ riangle ABC}=frac12absinangle BCA
  • 共邊比例定理 frac{ar{S}_{ riangle PAB}}{ar{S}_{ riangle QAB}}=frac{overrightarrow{PM}}{overrightarrow{QM}} （上標的箭頭表示有向線段）
  • 張角定理用有向角表示 frac{sinangle APB}{PC}+frac{sinangle CPB}{PA}+frac{sinangle APC}{PB}=0
  • ……

二：坐標系的引入

面積坐標

取一個邊的走向確定的定向三角形 overline{ riangle}A_1A_2A_3 和一個點 M ，記：

s_1=ar{S}_{ riangle MA_2A_3}\s_2=ar{S}_{ riangle MA_1A_2}\s_3=ar{S}_{ riangle MA_1A_2}

則 M 對於overline{ riangle}A_1A_2A_3的坐標為 M_{overline riangle A_1A_2A_3}=(s_1,s_2,s_3) 稱作面積坐標，也可以寫為 M(s_1,s_2,ar S-s_1-s_2)

若 ar S>0 就稱為右手坐標系，反之即為左手坐標系

重心坐標

現在給出三者之比 \s_1:s_2:s_3=mu_1:mu_2:mu_3

則 M(s_1,s_2,s_3) 的齊次面積坐標為 \M(mu_1:mu_2:mu_3)

通常也稱為重心坐標，若給質點賦予質量如下 \m_{A_1}=mu_1\\m_{A_2}=mu_2\m_{A_3}=mu_3

則這三點重心位於M點（物理意義）

重心坐標和麪積坐標的互換

記M面積坐標 M_s (s_1,s_2,s_3) ，則 forall k e0,M_g(ks_1:ks_2:ks_3)

記M重心坐標 M_g(mu_1:mu_2:mu_3) ，則 M_s(frac{mu_1ar S}{mu_1+mu_2+mu_3},frac{mu_2ar S}{mu_1+mu_2+mu_3},frac{mu_3ar S}{mu_1+mu_2+mu_3})

當 mu_1+mu_2+mu_3=1 時，稱 (mu_1:mu_2:mu_3) 是規範重心坐標

上式為0，則代表無窮遠點

仿射坐標系和笛卡爾坐標系

既然知道 M(s_1,s_2,s_3) 坐標中的兩個坐標分量就可以確定M，直接寫成 M(s_1,s_2) 即可

為了更精準的表示參照物，我們把 M(frac{s_1}{ar S},frac{s_2}{ar S}) 稱作坐標系 {A_3,overrightarrow{A_3A_1},overrightarrow{A_3A_2}} 下M的仿射坐標， A_3 是這個仿射坐標系的原點

當 |overrightarrow{A_3A_1}|=|overrightarrow{A_3A_2}|=1,angle A_1A_2A_3=90^circ ，則 {A_3,overrightarrow{A_3A_1},overrightarrow{A_3A_2}} 就是笛卡爾坐標系，也就是常用的平面直角坐標系

三：面積坐標的基本公式

定比分點公式

對於面積坐標系中的 M_1(s_1,s_2,s_3),M_2(t_1,t_2,t_3) ， M_x(x_1,x_2,x_3) 在直線 M_1M_2 上，若有向線段 overrightarrow{M_1M_x}:overrightarrow{M_xM_2}=lambda ，則： \x_i=frac{s_i+lambda t_i}{1+lambda} (i=1,2,3)

證明：如圖

PR=lambda PQ ，即需證明 S_{ riangle RAB}=lambda S_{ riangle QAB}+(1-lambda)S_{ riangle PAB} （定比分點定理）

{\S_{ riangle RAB}=S_{PQBA}-S_{ riangle PRA}-S_{ riangle QRB}……mathbb A\S_{ riangle PRA}=lambda(S_{PQBA}-S_{ riangle QAB})…………mathbb B\S_{ riangle QRB}=(1-lambda)(S_{PQBA}-S_{ riangle PAB})……mathbb C}

mathbb{C,B} 代入 mathbb A 即可

直線方程式

設直線l上有點 M_1(s_1,s_2,s_3),M_2(t_1,t_2,t_3) ，則直線上的任意點 M_x(x_1,x_2,x_3) （其中有向線段 overrightarrow{M_1M_x}:overrightarrow{M_xM_2}=lambda）應滿足方程組

消去參數 lambda ，得到 \egin{vmatrix} x_1&s_1&t_1\ x_2&s_2&t_2\ x_3&s_3&t_3 end{vmatrix}=0 cdotscdotscdotscdotscdotsmathbf{mathfrak P}

上式就是面積坐標系的直線方程

把上面的行列式第一第二行加到第三行上，第三行除以坐標面積 ar S ，得 \egin{vmatrix} x_1&s_1&t_1\ x_2&s_2&t_2\ 1&1&1 end{vmatrix}=0

上式就是仿射坐標系的直線方程

將 mathfrak P 展開，有 \c_1x_1+c_2x_2+c_3x_3=0

是面積坐標系或重心坐標系的直線方程的一般形式

lacksquare c_1,c_2,c_3 的幾何意義

對於面積坐標系 overline riangle A_1A_2A_3 中的直線 l：c_1x_1+c_2x_2+c_3x_3=0 ， A_1,A_2,A_3 到 l 的帶號距離 h_1,h_2,h_3 ，規定若 A_i,A_j 在 l 同側，則 h_i,h_j同號，否則異號，則 \c_1:c_2:c_3=h_1:h_2:h_3

證明：如圖， P_s(s_1,s_2,0),s_1=ar S_{ riangle A_1PA_3},s_2=ar S_{ riangle PA_2A_3}

因為 P 在 l 上，所以 c_1s_1+c_2s_2=0 ，於是 \frac{c_2}{c_1}=-frac{s_1}{s_2}=-frac{ar S_{ riangle PA_2A_3}}{ar S_{ riangle A_1PA_3}}=frac{overline{A_2P}}{overline{A_1P}}=frac{h_2}{h_1}

得證

兩點間距離公式

如圖， M(s_1,s_2,s_3),N(t_1,t_2,t_3) ，作 NP/!/A_2A_3，MP/!/A_1A_3

記 a_1=|overline{A_2A_3}|,a_2=|overline{A_1A_3}|,a_3=|overline{A_1A_2}|

則容易求出

\overline{PM}=frac{(t_1-s_1)}{ar S}cdotoverline{A_1A_3}\overline{NP}=frac{(t_2-s_2)}{ar S}cdotoverline{A_2A_3}

由余弦定理， \|overline{MN}|^2=frac1{ar S^2}[a_2^2(t_1-s_1)^2+a_1^2(t_2-s_2)^2-2a_1a_2(t_1-s_1)(t_2-s_2)cos A_3

當 ar S=1 時，考慮到上述公式的不對稱性，記 \egin{cases} p_1=frac12(a_2^2+a_3^2-a_1^2)=a_2a_3cos A_1\ p_2=frac12(a_1^2+a_3^2-a_2^2)=a_1a_3cos A_2\ p_3=frac12(a_1^2+a_2^2-a_3^2)=a_1a_2cos A_3 end{cases}

則可以快速得到 \|overline{MN}|^2=sum_{i=1}^3{p_i(t_i-s_i)^2}

註： p_i 是勾股差的一半

四：參考

  1. 張景中《從數學教育到教育數學》
  2. 《初等數學論叢》楊路《談談重心坐標》

推薦閱讀：

相關文章