第十二章對稱性和周視鏡頭（譯）

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第十二章對稱性和周視鏡頭

12.1 引言

第5章中介紹了光闌的概念，第6章中介紹了光闌位置對前、後風景物鏡設計的重要影響(如圖12.1所示)，第9章中介紹了用於降低球面像差分裂透鏡分裂方法。本章中綜合以上設計方法，在保持系統光焦度不變的情況下，將單透鏡分裂成兩個透鏡並組成一個對稱系統，它的優化將引出歷史上重要的周視鏡頭(periscopic lens)，如圖12.2所示。

圖12.1 前後風景物鏡

圖12.2 周視鏡頭

12.2 鏡頭初始半徑的確定

圖12.3a給出近軸透鏡的參數，設計之前首先根據4.6.2推導出的雙透鏡光焦度公式，將單透鏡分裂為兩個近軸透鏡。

具體過程如下：

計算中假設分裂後前後兩個透鏡的光焦度相同，則上式可以化簡為：

根據二項式定理，求解方程，得到：

進一步假設分裂後的兩個透鏡是相同的等凸透鏡，則可以根據透鏡表面半徑和光焦度的關係，計算得到透鏡表面半徑為：

計算求解，得到如圖12.3b)的雙透鏡結構，採用的是對稱結構，光闌在兩個透鏡的中間。

圖12.3 a)近軸單透鏡；b)等光焦度透鏡分裂

圖12.4 周視鏡頭的初始結構和評價函數

圖12.5 周視鏡頭的光路示意圖

12.3 在ZEMAX中進行初始化設置

設周視鏡頭的焦距為200mm，透鏡初始間隔為180mm，根據上面公式，計算得到單片透鏡的光焦度為0.0073或0.0038，本章選擇後面的光焦度0.0038。使用肖特的SF2玻璃，其在波長0.55μm條件下的折射率為1.65174，所以計算得到透鏡的表面半徑為343.02mm，透鏡厚度設為15mm，視場三個採樣，分別為0°、10.5°、15°。在ZEMAX軟體的Gen欄，選擇近軸工作F數（paraxial working f-number），並設值為10。

設計過程中，最開始光學系統的物距不在無限遠，因為對稱系統的某些特徵需要在單位放大率下體現，具體做法是在MFE中使用PMAG操作數。周視鏡頭的初始結構（PERClolb）和評價函數如圖12.4所示，系統光路示意圖如12.5所示。在系統的後透鏡上使用『pick up』解使其約束於前透鏡對應參數，從而優化中不用考慮前透鏡曲率和厚度的變化，而將使後透鏡的參數和前透鏡的參數保持一致，並進而保持對稱性。

P-solve的設置

通過雙擊感興趣參數右側的求解列來設置P-solve，從彈出菜單中選擇「拾取(pickup)」，另一個菜單出現在兩個需要輸入數字的地方：第一個數字表示請求從哪個表面選擇相應的參數值；第二個數字表示和選擇表面參數值的符號差異。本設計優化中，半徑符號相反，厚度恢復好相同。

圖12.6 單位放大率條件下的光路視圖

圖12.7 評價函數中顯示對稱系統慧差為零

從MFE中可以看到，相比之前使用了更多的操作數。權重為零的操作數是用來查看對應參數的實際情況，此設置對於查看各種優化前後Seidel像差值的變化非常有用（無需再使用「分析」查看）。作為對稱系統，這裡特別關注慧差COMA（即W131）。

優化中第一步是將空氣間隔設為變數來將系統優化到200毫米的EFL：

下一步，將空氣間隔設為不可變，並將物距設為變數，同時在MFE中設置PMAG的目標值為-1，權重為1，進行優化：

優化後的光路圖如圖12.6所示，此時系統的放大率為1，即單位放大率。可以看到，系統中物距和系統後像距相等back image distance (BID)。在看圖12.7MFE中所示的慧差，其幾乎為零，這是對稱光學系統在單位放大率下的理論結果。前透鏡中引入的慧差被後透鏡中的消除，同理，畸變和橫向色差（雖然還沒有討論它們）也幾乎為零。

圖12.8優化前的rayfan圖和場曲圖

12.4 物在無窮遠

對稱性在單位放大率下最有效，但是即使物體移動到無窮大，其仍然能保留一些好處。將前透鏡和光闌對應的空氣間隔設為變數，並插入TRAC操作數。關閉PMAG（刪除或將權重設為零）。優化之前，整個視場的RMS光斑尺寸（以微米為單位）為8、629、1400。主要問題是像散，約有56波長。如圖12.8a所示，從全場的子午和弧矢光線扇形圖中也可以看出這一點。 Rayfan中通過曲線通過原點的斜率不同，在弧矢圖中看到的輕微彎曲是由於慧差產生（-9h）。圖12.8b給出了場曲圖（坐標刻度為+ 100mm）。

優化後的斑點大小為48、76、111，有較大提升。像散仍然是主要的像差，但現在已降至-8λ。慧差是3.6λ。圖12.9所示的光路布局就是經典的周視鏡頭。光線扇圖如圖12.10a所示，可以查看視場邊緣的情況，場曲如圖12.10b所示。注意圖中坐標的比例有變化。

使用虛擬表面作為可變的最後表面，並且將透鏡厚度從15mm減小到5mm，確實增加了一些改進，點列圖半徑變為44、33、68。

圖12.9 使用TRAC優化後的系統光路圖

圖12.10 優化後的Rayfan圖和場曲圖

12.5 平場曲

之前，設計師需要進行子午面內的平場曲設計，以便可以得更好的像質。ZEMAX中使用操作數FCGT來進行平場曲優化，如圖12.11所示。注意FCGT使用了三次，每個視場使用了一次。

圖12.12a)中給出的場曲圖驗證了優化後子午場曲的變化，不過點列圖比之前系統PERC1o3a的大，為72、103、141。同樣可以使用FCGS優化弧矢面內的場曲，在PERC1o5b中就將FCGT替換為FCGS進行了優化，優化後的場曲如圖12.12b)所示，點列圖半徑為374、333、300，比優化子午面內場曲的點列圖更差。

圖12.11 使用FCGT進行平場曲優化

圖12.12 場曲圖 a)子午面內平場曲；b)弧矢面內平場曲

12.6 與後風景物鏡的比較

通過對比後風景物鏡和周視物鏡，可以得到什麼？後風景物鏡有3個變數：2個曲率和1個空氣間隔。周視鏡頭，前半組透鏡使用和風景物鏡相同的變數數。為了進行適當的比較，修改WOLRlo4a（第6.4節）（SF2，λ = 0.55，D = 15）並重新優化，使其具有與周視鏡頭相同的一階屬性。

優化後的光路布局如圖12.13所示。點列圖半徑為52、28、 59。於此相比，PERClo4a的點列圖為44、33、68，如圖12.14a和b所示。最大視場的Rayfan圖如圖12.15 a和b所示。，其中風景鏡頭是兩者中的左手圖。

圖12.13 修改後風景物鏡的光路圖

圖12.14 場曲圖 a)後風景物鏡的場曲圖；b)周視鏡頭的場曲圖

兩個系統的賽德爾像差如下表所示：

對於周視鏡頭，RMS點在軸上稍好一些，但是後風景物鏡在離軸上好一些。後風景物鏡的場曲圖在邊緣處也稍優。除周視鏡頭上有較大的慧差外，光線扇形圖中兩者值量級基本相等。另一方面，除了球面像差和畸變之外，後風景物鏡在表12.1的每個類別中都顯示出更好的值。總而言之，周視鏡頭與後風景物鏡相比，像質並沒有顯著改善，但是當去除周視鏡頭的對稱約束時，像質會有巨大變化。

圖12.15 光線扇形圖 a) 後風景物鏡的Rayfan圖；b) 周視鏡頭的Rayfan圖

12.7 打破對稱

如上所示，這裡打破對稱，看看像質如何變化。將周視鏡頭的後鏡頭參數與前鏡頭參數約束關係放開，優化後看系統像質改進情況。由於物和像不再對稱，因此鏡頭中的某些不對稱可能對系統像質有所幫助。從具有所有曲率變數的PERC104a開始，保留虛擬表面，並使用TRAC（無FCGT操作數）

點列圖半徑為40、27、59，相比於PERClo4a略有改進。從PERClo4a重新開始設計，並保留斑點尺寸為40.27; 59。這比PERClo4a略有改進。從PERClo4a重做優化，並放開光闌面的空氣間隔，現在所有的曲率和空域都是可變的。

按照上述優化後，系統光路圖如圖12.16所示，點列圖如圖12.17所示，現在點列圖半徑是7、7、 9，同時可以在圖中看到艾利斑。由於優化自由度由3個增加到6個，系統性能有顯著的改進。全視場的光線扇形圖如圖12.18a所示，場曲圖如圖12.18b所示。

注意事項：上面例子中，通過使用系統所有曲率和空間變化來獲得良好的結果，但是這種操作方法有時候不起作用。在獲得良好結果之前，可能需要在幾個單獨的優化階段分步執行相關操作，換句話說，優化演算法在尋找到全局最優解之前往往會被局部最優解束縛，為盡量快的跳出局部最優解進而尋找到全局最優解，適當的階段優化非常有幫助。

圖12.16 非對稱優化的周視鏡頭

圖12.17 非對稱周視鏡頭的點列圖

圖12.18 非對稱鏡頭的Rayfan圖和場曲圖

12.8 歷史小課堂：Carl Steinheil

Carl A. Steinheil（圖12.19）於1801年出生於阿爾薩斯(Alsace)，他曾跟隨高斯(Gauss)和貝塞爾(Bessel)等人學習，其中貝塞爾還是他的博士導師。 Steinheil於1825年在Konigsberg獲得博士學位，1832年之前，他是慕尼黑的物理和數學教授。從1849年到1852年，他幫助建立了一個巴伐利亞州和瑞士遠程圖形系統。 1854年，他在兒子阿道夫(Adolph)的幫助下（在慕尼黑）建立了Steinheil光學研究所，並在1856年與福柯合作，研究瞭望遠鏡主鏡和副鏡的銀沉積過程。 1865年，卡爾申請了一個f /15的鏡頭專利，他稱之為Periskop（圖12.2）。 Carl A. Steinheil於1870年去世。