半音音階的三個八度音階在表2.2a中用A、B、C、…表示。鋼琴上的黑鍵顯示為升音，例如C右邊的#代表c#等等，並且只顯示最高的八度。在半音音階中每一個連續頻率的變化都被稱為半音並且一個八度有12個半音。大調的間隔和表示這些間隔的頻率比的整數分別顯示在半音音階的上方和下方。除了這些基本間隔的倍數之外，大於10的整數產生的間隔對耳朵來說並不容易識別。在表2.2a中，最基本的音程是八度，高音的頻率是低音的兩倍。C和G之間的間隔稱為五度,C和G的頻率是2比3。大三度有四個半音，小三度有三個半音。與每個間隔相關聯的數字，例如4度中的4，是白色鍵的數量，沒有進一步的數學意義，包括C大調音階的兩個結束鍵。注意，「音階」在「半音音階」、「C大調音階」、「對數或頻率音階」(見下文)中有不同的含義，第二個是第一個的子集。

從上面我們可以看到四度和五度「加起來」是一個八度音，大三度和小三度「加起來」是五度。注意，這是對數空間中的一個加法，如下所示。下面還解釋了缺少的整數7。

「平均調」(ET)半音音階由「等」半音組成或每一個連續音符上升半音。它們是相等的，任何兩個相鄰音符的頻率之比總是相同的。此屬性確保每個音符與任何其他音符相同(除了音調)。音符的這種一致性允許作曲家或表演者使用任何鍵，而不會碰到不和諧，如下所述。在ET音階的八度中有12個相等的半音，每一個八度都是頻率2的精確因子。因此，每個半音的頻率變化是由

semitone12 = 2 or semitone = 21/12 = 1.05946 . . . . . . . . . 公式(2.1)

公式(2.1)定義了ET半程音階，並允許在此音階下計算「間隔」的頻率比。ET中的「間隔」與理想間隔的頻率比如何比較?對比結果如表2.2b所示，說明從ET音階得到的間隔極接近理想間隔。

第三個的誤差是最壞的，是其他間隔的五倍多，但仍然只有1%左右。儘管如此，這些錯誤還是很容易被聽到的，一些鋼琴愛好者慷慨地把它們稱為「三拍子」，而實際上，它們是不可接受的不和諧。如果我們要採用ET音階，這是一個我們必須學會適應的缺陷。四度和五度的錯誤在中央C附近產生了大約1赫茲的節拍，在大部分音樂中幾乎聽不到，然而，這個節拍的頻率在每一個較高的八度上加倍。

如果這個整數7包含在表2.2a中，那麼它將表示一個比值為7/6的區間，並對應於一個semitone2。7/6和semitone2之間的誤差超過4%，而且太大了，無法形成音樂上可接受的音程，因此被排除在表2.2a之外。12音符的半音音階產生如此多的接近理想音程的比率，這只是一個數學上的意外。只有數字7，偏離8個最小的整數，產生了完全不可接受的間隔。半音音階是基於自然的幸運數學的意外!它是通過使用可以給出最大的音程數的最小的音符數來構造的。難怪早期文明相信這種音階有某種神秘之處。在八度音中增加鍵的數量並不會對音程有很大的改善，直到數字變得很大，這使得這種方法對大多數樂器來說都不太實際。

注意，四度和五度的頻率比值加起來並不等於八度(1.5000 + 1.3333 = 2.8333 vs 2.0000)。相反，它們在對數空間中相加更加合理，因為(3/2)x(4/3) = 2。在對數空間中，乘法變成加法。為什麼這很重要?答案是，因為耳蝸的幾何結構似乎有一個對數分量。在對數音階上探測聲波頻率可以實現兩件事:在給定的耳蝸尺寸下，你可以聽到更大的頻率範圍；分析頻率的比率變得很簡單，因為你不需要分割或相乘兩個頻率，只需要減去或增加它們的對數。例如，如果C3在一個位置被耳蝸檢測到，C4在2毫米之外的另一個位置被檢測到，那麼C5將在4毫米的距離被檢測到，就像計算尺計算器一樣。為了向你展示這有多有用，給出F5，大腦就知道F4會2毫米後被發現!因此，間隔(記住，間隔是頻率劃分)在對數構造的耳蝸中特別容易分析。當我們演奏音程時，我們在一個叫做鋼琴的機械計算機上進行對數空間的數學運算，就像20世紀50年代用計算尺所做的那樣。因此，半音音階的對數性質比僅僅提供更寬的頻率範圍有更多的影響。對數音階保證了每個音程的兩個音符之間的距離是相同的，無論你在鋼琴上的哪個位置。通過採用對數半音音階，鋼琴鍵盤以機械的方式與人的耳朵進行數學匹配!這可能是為什麼和聲對耳朵來說是愉快的原因之一——和聲最容易被人類的聽覺機制破譯和記住。

假設我們不知道公式2.1，我們能從間隔關係中生成ET半音音階嗎?如果答案是肯定的，鋼琴調音師可以不需要做任何計算就能調好鋼琴。事實證明，這些間隔關係，完全決定了12個半音音階的所有音符的頻率。音律是一組間隔關係，提供了這種判斷。從音樂的角度來看，沒有一個單一的「半音音階」是最好的，儘管ET有它允許自由變換的獨特屬性。毋庸置疑，ET並不是唯一一種音樂上有用的音律，下面我們將討論其他音律。音律不是一種選擇，而是一種需要，為了適應這些數學難題，我們必須選擇一種音律。沒有基於半音音階的樂器是完全沒有音律的。例如，管樂器上的洞和吉他的顫動必須以特定的調和音階為間隔。小提琴是一種非常聰明的樂器，因為它可以將張開的琴弦以五度間隔來避免所有的音律問題。如果你正確地調A(440)弦並以五度調所有其他弦，這些其他弦將會很接近，但不會被調和，除了一個音符(通常是A-440)，不過你仍然可以通過捻弄所有音符來避免音律問題。此外，顫音比音律矯正更大，使音律差異聽不清。

需要上升音律的原因是從一個半音音階調到一個音階的過程中，(如擁有完美音程的C大調)在其他音階中不能產生可接受的音程。如果你用C大調寫了一篇有很多完美間隔的樂譜，然後把它調換一下，就會產生嚴重的不和諧。還有一個更根本的問題，在一個音階中完美的音程也會在同一樂曲中產生其他音階的不和諧。因此，我們設計了調和方案，通過在最重要的間隔中最小化完美間隔的調音，並將大部分不和諧的間隔轉換為較少使用的間隔來最小化這些不和諧。與最壞的間隔有關的不和諧被稱為「狼來了」。

當然,主要問題是間隔純潔。上面的討論表明,無論你做什麼,總會有某處失調。它可能會讓一部分人感到震驚，鋼琴從根本上是一個不完美的樂器！幾乎在每一個音階我們只能永遠處理一些妥協間隔。

「半音音階」這個名字通常適用於任何音律的12音符音階。不言而喻,鋼琴的半音音階不允許在音符間使用頻率(可以用小提琴),所以有無限個失蹤的音符。從這個意義上說,半音音階是不完整的。然而,12音符音階足夠完成對於大多數音樂應用程序。情況類似於數碼攝影。當解析度足夠時,你無法看到數碼照片和信息密度要高得多的模擬照片之間的差別。同樣,12音符音階對於足夠多的音樂應用程序來說顯然有足夠的音高解析度。對於一個給定的樂器或音符數量有限的音樂符號系統來說，這12音符音階是在為了儘可能保證完整性使得每八度有更多的音符和為了擴大人耳範圍從而擁有足夠的頻率之間很好的一個妥協。

關於哪種音律是最好的音樂的爭論是良性的。從最早的調音歷史中ET被了解。把一種音律標準化是有一定好處的，但考慮到音樂觀點的多樣性以及現在存在著許多音樂這一事實，這可能是不可能的，甚至是不可取的，因為這些音樂都是以特定的音律寫成的。因此，我們現在要探討各種各樣的音律。

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