無窮的本質

引言

早在古希臘時期，無窮就已經引起了數學家和哲學家的注意了。其中，關於無窮提出的悖論最早記錄之一是芝諾的（二分說），例如阿基里斯追龜，他被道路的無限分割所阻礙無法追上龜；伽利略在他的（兩門新科學）中也提出：兩個不等長的線段AB與CD上的點可以構成一一對應，從而可以想像它們含有同樣多的點，但AB長度卻不同於CD，這就會導致無窮大會出現不同點「數量級」，而他認為「無窮大量都是相同的，不可比較大小」；隨著17世紀微積分的問世，關於無窮問題已無法逃避，牛頓用「路程的改變數ΔS」與「時間的改變數Δt」之比表示運動物體的平均速度，讓Δt無限趨近於零，得到物體的瞬時速度。那麼，究竟Δt（變化量）是否等於零？如果說是零，怎麼能用它去作除法呢？但是人們認為，如果它不是零，計算機和函數變形時又怎麼能把包含著它的那些「微小的量」項去掉呢?最終，它又以柯西和魏爾斯特拉斯提出的「極限」形式迴避了關於無窮的問題。

那麼無窮的本質究竟是什麼，人們為什麼只捕捉到他的現象，而無法解釋它的原理。本文從數的根本原理出發，步驟緊扣，解法嚴謹，結構精簡（以後將會補充說明，這樣閱讀起來更方便），一步步走入了無窮的新天地。

正文

定義無窮

假定：

立某線段長度L作為單位「1"
此線段可任意進行同等份分割，份數為，每等份長度為。例如線段總長可分為： （註：它是由部分「區間」構成整體「區間」，而非點構成線，如果當 為0時，那麼第一個區間為（0，0]，它才由區間變為單個元素）

那麼可推論：

任意取其中某份線段 ,總有且僅有一個線段於其距離最短（在某同一個方向上，這個性質很關鍵）此性質可命名為：一一對應性

猜想：

當 （在不確定「無窮大」的性質時，你也可以認為是 ）時，仍可得出上面推論的性質？

因為：無窮大變數n中的一個元素 （「無窮大」是「n」的可取值）

補充說明此定義的支持條件：兩個等長的線段 長度為1， 的一個端點與 的一個端點重合， 以這個端點自由轉動，範圍屬於某個平面內（可以看作等長的「時針」與「分針」），這時 的另一個端點會在 上有投影（夾角在 $[0,frac{pi}{2}]$ 內時），這個「投影點」把 分為兩段，每段長度變化範圍都為 ；可推：上述線段 所分小份 的長度取值範圍同為 ，「無窮小」量 ，即它的倒數「無窮大」（你也可以認為它不為「無窮小」的倒數，但它總小於或等於「0」的倒數） $epsilon[1,frac{1}{0}]$ 「無窮大」 變數n中的一個元素。

可知：

當n可以取一個值，使得為「0」，即第一個區間為（0，0]時，推論的性質不成立，否則推論的性質成立

則：

當無窮大定義為「0」的倒數時，推論的性質不成立；當無窮大定義為不為「0」的倒數的任意正數時，推論的性質始終成立

定義無窮

定義1：無窮大若為「0」的倒數，相對地，無窮小為0，它滿足推論中的「一一對應」性質（暫捨去，因為它不好作除數）

定義2：無窮大若不為「0」的倒數，那麼它滿足推論中的「一一對應」性質，則：

無窮大為最大的正數，相對地，無窮小為最小的正數

定義二中的「無窮」解釋「無窮」現象

現象1：兩個直徑比為1:2的同心圓，以圓心為原點從兩個不同的角度作射線，分別與小圓和大圓交於a,b和A,B四點

問題1：由於（a,b]始終為1/2倍的（A,B] 而（a,b]與（A,B]卻可以一一對應

試用定義2分析

因為（a,b]可分為無窮大（最大的正數）份，每份量為無窮小（最小的正數）

（A,B]同理

得對應的量大小不同，且不可再分割（因為它滿足「一一對應」的性質）

問題2：如果（A,B] 取值為無窮小（最小的正數）時，（a,b]的大小值為？

因為（a,b]始終為1/2倍的（A,B]

可得當（A,B] 取值為無窮小，（a,b]值為無窮小/2

依照「定義2」，（a,b]值不可為無窮小/2

結論：

因為定義2的性質無法解釋該現象，而該現象真實可存在

所以定義2不存在（捨去）

因為現象是存在的，（例如：ΔS與Δt的比值為一個定值，線段AB與CD點一一對應，長度比卻1:2，阿基里斯在某一時刻追上了龜，等等）

那麼可推理一定存在某個原理支持此些現象（否則ΔS與Δt的比值為一個不定值，線段AB與CD點一一對應，長度比可任意為一值，等等）

又因為定義2無法解釋此些現象（因為定義2中的「無窮」取值涵蓋了所有 d 元素及其它們的倒數的性質，即：定義2中的「無窮」無法解釋的現象，它們同樣無法解釋）

所以有且僅有定義1可解釋此些現象 （在中非的元素為0）

以定義一中的「無窮」解釋「現象」

現象1，(同上）兩個直徑比為1:2的同心圓，以圓心為原點從兩個不同的角度作射線，分別與小圓和大圓交於a,b和A,B四點

問題1：由於（a,b]始終為1/2倍的（A,B] 而（a,b]與（A,B]卻可以一一對應

由「定義1」可知

因為（a,b]可分為無窮大（「0」的倒數）份，每份量為無窮小（「0」），（A,B]同理

得因為0的「多一對應性」（例：）可以不需要讓（a,b]與（A,B]一一對應，從而使問題化解

問題2：當（A,B] 取值為無窮小（「0」）時，（a,b]的大小值為？

因為（a,b]始終為1/2倍的（A,B]

得對應量為「0」與「0/2」

結論：

因為「0/2」與「0」對應，滿足「定義1」性質

則此定義可解釋以上現象（暫不考慮「0」作除數問題）

現象2，存在兩個長方體容器A，B，已知容器A的橫截面a是容器B的橫截面b的3倍，且容器B的液麪高度為「1」，那麼將B中的水倒入之前無水的A中後，A的液麪高度刻度為多少？（如果在數的進率為「3」的情況下，A的液麪高度刻度自然為「0.1」，但是會出現容器C，它的橫截面c為橫截面b的10倍，同樣問題還會出現）

如果液麪刻度為 0.3 ，則會多出體積量為 0.1 的水

如果液麪刻度為 0.33 ，則會多出體積量為 0.01 的水

......

如果液麪刻度為 0.33..3 ，則會多出體積量為 0.00...1 的水

由上可知：液麪刻度的值中最後一個「3」出現在十分位上，多出的體積量中的「1」就會出現在與之相同的分位中，顯然，液麪上不會存在「多出的一滴水」，也就是多出的水被分完了

那麼必須讓液麪刻度值中的最後一個「3」出現在某個分位上，使得多出水的體積為0

則這個分位僅能為「0」的倒數分位

結論：僅有「定義1」能夠解釋「可存在的現象2」

如果「定義1」成立，照理，微積分中ΔS與Δt的比值就是0與0的比值？那麼「0」與「0」之間則存在差異，這是荒誕的結論還是我們對它認識上存在根本上的謬誤呢？

分析「0」的多一對應性

「0」的性質

可定義「0」是一個沒有大小的量，數學定義為：

0=1-1

「0」的運算

1 0=0

2 0=0

3 0=0

這種多一對應的關係等價於：1=2=3

而這種性質自身是矛盾的，如何化解它？

如果把它們的值分別記作不同的0，如：2 0=0 2 -1/2 0 = -0 1/2 (這個方法數學家歐拉也使用過，雖然這種方法定義上存在疏漏，但可便於後面對「0」本質更加深入、全面的認識）

那麼 1理所當然的等於0 0/1 （多一對應的關係就解除了）

但隨之而來的問題越來越多，例如：

由

1-1=01 =0 1

-1+1=0 （-1）=0 -1

得

1 - 1 - 1 + 1

這就表示運算中每個量都不可以互換位置，而我們平常在使用計算當中，結果並不受它影響

而問題的根本：既然承認0的量可以相互比較，存在意義，那麼0自身的值還是否可以忽略？

如果不可忽略，則它就失去「0」本身的性質（"多一對應"的性質），將不再是「0」（與最小的正數沒有區別）

「有量數」與「無量數」的本質

（註：有量數為有大小的實數；無量數為無大小的實數）

重新梳理問題：為什麼現實現象選擇了定義1，而不是定義2？其本質的區別在於什麼？

定義1：由「0」構成1，（多一對應）

定義2：由「最小的正數」構成1，（一一對應）

（雖然兩者的值很相近，但本質上截然不同）

然而微積分上也「不謀而合」地選擇了這樣的「類型」, 牛頓對導數的定義為：

當增長為時，的立方（記為 $x^{3}$ ）成為的立方（記為），即的立方結果為 $x^{3}$ + $3x^{2}h+3h^{2}x+h^{3}$ 。與 $x^{3}$ 的增量分別為和 $3x^{2}h+3h^{2}x+h^{3}$ 。 $x^{3}$ 的增量除以的增量的結果為 $3x^{2}+3hx+h^{2}$ ，然後代入讓增量消失，則它們的最後結果為 $3x^{2}$

即

要求1：增量「h」必須不為「0」，這樣才能讓「」與「 $3x^{2}h+3h^{2}x+h^{3}$ 」只有一個比值（而「0」不具備一一對應性： $frac{0}{0}=？$ ）

要求2：增量「h」必須為「0」才滿足瞬時速度，才會讓「 $3hx+h^{2}$ 」消失（因為只有「0」的具有多一對應性：）

得出定義： 我們需要的量既要求其自身有大小，避免多一對應，同時又要求其自身又沒有大小，以便忽略不計

然而 因為有現象必然有原理，即必然有滿足這樣條件的量存在

那麼，再審查「無量運算」的根本問題，我們會不會用思維慣性誤認或疏漏了一些問題，上述的定義在什麼條件下不兼容？「既要求其自身有大小，同時又要求其自身又沒有大小」這樣的要求如果不在同一個「參考系」內呢？（即：在某個參考系內有大小，在另一個參考系內沒有大小）

依照牛頓對導數的定義：

得到的除數值「 $3x^{2}$ 」為「 $x^{3}$ 」的增量與「」的增量的「比值」

$left( 3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3} ight)$ $h=3x^{2}$

即說明 $x^{3}$ 的增量是相對的增量存在大小的，也就是 $3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}$ 相對存在大小

而後 $3hx+h^{2}$

說明 $3hx+h^{2}$ 相對 $3x^{2}$ 不存在大小

當h=0時，

$3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}$ 與都是「無量數」（且當x 為「有量數」時）

而 $3hx+h^{2}$ 與 $3x^{2}$ 分別為「無量數」與「有量數」（且當x 為「有量數」時）

恰好前者的「無量數」參考系是「無量數」；後者的「無量數」參考系是「有量數」

我們知道「無量數」相對於「有量數」是可以忽略的；但是對於「無量數」與「無量數」的比值，好像並沒有明確定義它不是「一一對應」的，因為它的「多一對應」性質始終體現在「0」相對於「1」的比較當中: ,而出現這種現象我們也不會發現，因為它們始終被我們用「單位一」作為參照物（因為不存在的量無法直接觀察，更不能直接去比較），所以我們天性的：這樣間接的比較，而非 $（0 efrac{0}{2}）$ 這樣直接的比較，當有了必須同時體現直接比較與間接比較的微積分公式時，它終於被發掘出來。

那麼可得出結論：數的大小取決於它的參考系，兩數之間的比不取決於它們共同的「單位一」，而是它們自身，那麼等式成立不是因為差值為相對於它們「單位一」的「0」，而是等式兩邊差值為相對於某一邊的「0」。

總結

數的比較需要參照數「單位一」，與其大小存在意義（既有方向又有大小）的數統稱「同階量數」
單位一與與其大小相同的量之間的差為「0」，與「0」同階的數統稱「低一階量數」，與「0」倒數（立名：無數）同階的數統稱「高一階量數」，依次還有二階、三階...
無窮大與無窮小定義為：絕對值各為同階量中的最值
等式成立的依據為：等式雙邊的差值為某一邊的量低階量（註：等式兩邊同加、減的量不得為等式某邊的高階量；乘、除不會改變等式）

經過嚴密的推論得到了唯一的無窮定義，並且得到目前所有實踐的證實。

用新的定義解除關於無窮的悖論，及其原理

在區分參考系的情況下，檢驗「無量」的運算是否出現矛盾
新定義下的「無窮」能否解除悖論

例1，考慮以下這個無窮級數

方法1，歸納相鄰項計算

計算這個無窮級數的和是困難的，但明顯看出和是比1/2大的數

方法2，如果把加法和減法各自分開計算

被減數與減數同時加上

再減去同樣的項，答案應該是

到底哪個答案是正確的呢？

原因在於

這個數列的元素的數量被模糊，由於 $（1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+......）$ 數量為「無窮」，而如果把它分為 $（1+frac{1}{3}+frac{1}{5}+frac{1}{7}+......）$ 與 $（frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{6}+frac{1}{8}+......）$ ，則分開數列的元素總和等於分開之前的數量（而人們之前把無窮定義為「部分等於整體」），

如果設 $S_{a_n}=（1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+......）$

$S_{b_n}=（1+frac{1}{3}+frac{1}{5}+frac{1}{7}+......）$

$S_{c_n}=（frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{6}+frac{1}{8}+......）$

那麼有：中的「」為與中的「」的二倍

則

$2S_{c_n}=2 imes（frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{6}+frac{1}{8}+......）=S_{a_frac{n}{2}} e$ $S_{a_n}$

得：方法2不成立（悖論解除，並不是計算順序改變了結果，而是對無窮認識的不同）

例2、交替出現的級數

因為不知道最後一個是以「+1」結束還是「-1」結束，所以答案既為1也為0，或既不為1也不為0

當然還是存在其它運算方法的

設

原式=

得值為 $frac{1}{2}$ （雖然答案很奇怪但是至少不是同時有兩個答案或沒有答案）

那麼用無窮定義解

因為1的個數為 $frac{1}{0}$ ，即

原式

（「0」的個數減半）

$=0 imesfrac{1}{0} imesfrac{1}{2}$

$=frac{1}{2}$

或

原式

（「0」的個數為 $（frac{1}{0}-1）div2=frac{1}{0 imes2}$ ）

$=1-frac{1}{2}$

$=frac{1}{2}$

解法不同結果相同，也得到了奇怪的 $frac{1}{2}$ （記住它，待會解釋）

接著，如果把原式乘以「-1」，就得其結果為 $-frac{1}{2}$

分析可得出，導致結果不一樣的原因是

與的差別放大 $frac{1}{0}$ 倍所致

如何看待這樣的區別？又為何會出現奇怪的 $frac{1}{2}$ ？

（生活中的例子：比如煤氣的使用，因為需要煤氣罐，甲選擇了先支付煤氣罐的錢，等到使用煤氣的用完時候再將它退回，得回原先支付的錢，再去支付另一個的裝滿煤氣的煤氣罐；乙則選擇不支付煤氣罐的錢，等到使用煤氣用完的時候，將煤氣罐換另一個裝滿煤氣的煤氣罐，只需支付煤氣的錢。實際式，雙方如果都停止使用時，甲歸還了煤氣罐得回原先支付的錢，乙也歸還了煤氣罐沒有虧欠支付煤氣罐的錢。但如果雙方都不停止使用煤氣罐（不考慮其他因素），是否就意味著乙比甲少支付了煤氣罐的錢？）

這個例子，既印證了在區分參考系後，「無量」運算的精準，又用新定義下的無窮化解了其相悖的地方，同時還讓我們瞭解的"0"構成「1」原理

（註：本文為作者原著，禁止侵權）