彈簧振子的共振

彈簧振子的共振

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彈簧振子在週期性驅動力的作用下，將會發生共振（Resonance）現象。共振是物理學中一個很重要的概念，這個概念出現在物理學很多的分支上，如力學（彈簧振子共振）、電路系統（LC共振）、光學（諧振腔）等等。

下以彈簧振子共振為例，推導和分析共振現象（包括振幅-頻率響應曲線、驅動力平均功率-頻率響應曲線）。很多力學教材只給出了振幅-頻率響應曲線，而沒有推導驅動力平均功率的表達式。

考慮一個質量為，勁度係數為的彈簧振子，阻尼力為 ,且受到一個週期性的驅動力 $F=e^{-iomega t}$ 的作用。如下圖所示。（註：寫成指數形式只是為了求解方便，實際上只有實部有物理意義。）

由受力分析可列出運動方程：

$m ddot {x}(t) = -gamma dot x (t) -kx (t) +F e^{-i omega t}$ .

令 $omega_0 = sqrt{frac {k}{m}}, gamma_0=frac{gamma}{m}$ ,則上式可化為

$ddot {x}(t) +gamma_0 dot x (t) +omega_0^2 x (t) =frac{F}{m} e^{-i omega t}$ . （1）

這是一個非齊次的二階常微分方程。本文僅考慮穩態解，不考慮瞬態的情況，故可設解的形式為 $x(t)=Ne^{-i omega t}$ ,其中與無關。代入（1）式，可求得

$N=frac{F}{m(omega_0^2-omega^2-i gamma_0 omega)}$ .

可以看到與驅動力的頻率有關。

而且的形式很像光學中的洛倫茲介電函數。實際上，光學中的洛倫茲線性就是源自於共振現象的。

方程（1）的穩態解為 $x(t)=frac{F}{m(omega_0^2-omega^2-i gamma_0 omega)} e^{-i omega t}$ . （2）

注意（2）式是複數形式，只有實部是有物理意義的。

下面我們可以求得振子的振幅

$A=|x(t)|= frac{F}{m sqrt{(omega_0^2-omega^2)^2+(gamma_0omega)^2}}$ . （3）

可以看到，振幅與驅動力的頻率有關。也就是說，在不同的驅動力頻率下，振子的振幅有不同的響應，此即振幅-頻率響應曲線。

曲線的形態為單峯形，在某個特定的頻率處，振幅取得最大值。這個頻率便稱為共振頻率。

將（3）式對求導，利用極值條件 $frac{d A}{d omega}=0$ 可求得共振頻率為

$omega_{res}=sqrt{omega_0^2-frac{gamma_0^2}{2}}$ . （4）

可見，共振頻率和振子的固有頻率稍有偏移，在無阻尼的情形下，兩者才完全相等。

下面我們考慮兩種極端的情形：

情形1：當時， $A ightarrow frac{F}{m omega_0^2}=frac{F}{k}$ .此時驅動力為靜力。

情形2：當時， .此時驅動力的頻率很高，振子由於慣性跟不上驅動力，因此沒有響應，振幅為0.

下面我們取特定的參數值，直觀地觀察阻尼係數對振幅-頻率響應曲線的影響。

參數值的取值：， .

其中黑線、藍線和紅線分別代表阻尼依次增大。

可以看到，當阻尼為0時，振幅在共振頻率處趨於無窮大，且共振頻率等於振子的固有頻率。

當阻尼逐漸增大時，共振頻率與振子的固有頻率有所偏移，且振幅最大值逐漸下降。這是符合物理圖像的。

除了振幅，功率也是一個重要的物理量。下面對功率的表達式進行推導。這部分推導所用到的數學稍稍比上面複雜。要求功率，需要先求出速度。

把位移的解（即（2）式）中的第一項實際上是複數，因此其指數表達也帶有相位。把這部分相位吸收 $e^{-iomega t}$ ,可改寫為

$x(t)=frac{F}{m sqrt{(omega_0^2-omega^2)^2+(gamma_0 omega)^2}}e^{-i (omega t +phi)}$ . （5）

其中 $phi =arctan (frac{-gamma_0 omega}{omega_0^2-omega^2})$ ，代表位移的初相。

我們如果做出位移初相和頻率的曲線，可以發現，在共振頻率附近（但不嚴格重合），位移初相會有劇烈的變化，即相位突變。這個現象很有意思。在光學中，古斯-漢欣位移（Goos-Hanchen shift）與相位的變化率成比例關係。共振所引起的相位突變，往往伴隨著古斯-漢欣位移的增強。大的古斯-漢欣位移會有許多應用，如折射率感測器、生物感測器等等。

對上（5）式求導可求得速度的表達式

$v(t)= dot x(t)= -frac{i omega F}{m sqrt{(omega_0^2-omega^2)+(gamma_0 omega)^2}} e^{-i (omega t + phi)}$ .