编辑／陈致平

过年期间最重要的就是和家人、亲戚聚在一起，享受年节的气氛，更重要的是在吃完大鱼大肉后在牌桌上大杀四方，一股气势不战到三更半夜不罢休。其实打麻将除了有趣之外，从理牌到胡排开始，就需要使用一连串的技巧。

今年特别整理了过年麻将胡牌功略，让各位可以在麻将桌上战无不胜。国立台湾师范大学数学系副教授郭君逸教大家用数学破解麻将，从基本的组合开始观察胡牌牌型，不用靠著背牌照样赢光一堆老手。

▲一眼就知道胡牌了没，用数学冷知识专业打麻将。（图／取自UniMath／《呖咕呖咕新年财》电影剧照）

文／郭君逸

一个人会不会打麻将有一项基本的判断方法，「能够判断是否胡牌」。在实战中，判断的速度越快越好，如此才能在取舍牌的时候，很快的知道打哪张牌听的牌比较好，也不会因为停下来比画思考被看穿手里拥有的牌型。

要知道听什么牌，最快的方式是背起来。常打麻将的人，脑中自然背了不少牌型，常见牌型瞬间就能判断，除非拿了许多同花色的牌才会造成困扰。

电脑程式如何判断听牌？

要判断听牌，得先知道胡牌的牌型，如同要准备晚餐的食材之前，得先知道晚餐想吃什么。

一般都是删除「一刻 (3 张相同牌) 」或「一顺 (3 张连续牌)」，也就是所谓的「搭子」，再利用〈递回〉程序处理。这样做的效率并不太优，虽然判断一副牌还是瞬间完成，但若要判断十万副牌局，效率好坏造成的影响非常之大。

2017年，威廉斯堡大学数学系的李志光教授等人发表了一项麻将研究，论文中提出了一套高效率的判断胡牌演算法，以下版本由国立台湾师范大学数学系郭君逸副教授修改呈现。

定理1：一副牌 P，若把一个对子 (俗称眼睛) 拿掉后，假设此时数字最小的牌是 x，

●若 x 的张数是 3 张以上，则拿掉 3 张 x (一刻)后，剩下牌为 Q。

●否则拿掉 x, x+1, x+2 (一顺)之后，剩下的牌为Q。(若无法拿，则 P 没胡)

则「P 胡」若且唯若「 Q 胡」。

举个例子说明：

例1：判断 P = 33345678 是否胡牌？

P 中唯一能当眼睛的地方，就是 3，因此把 33 一对眼睛拿掉，变成 Q = 345678，Q 是胡牌型，所以 P 也是。

例2：判断 P = 55666777889 是否胡牌？

其中 55, 66, 77, 88 都可以当眼睛，每种情况都试一次。

●若 55 当眼，剩下 666777889；最小的 6 有三张，直接拿掉666，剩 777889，再拿 777，得 889，所以没胡。

●若 66 当眼，剩下 556777889；最小的是两张 5，但没有办法拿掉两个 567 了，所以没胡。

● 若 77 当眼，剩下 556667889；最小的是两张 5，但没有办法拿掉两个 567 了，所以没胡。

各种能拿掉眼睛的方式都试过，都无法胡，所以 P 不是胡牌型。

这样做的好处，只要拿掉一副牌的眼睛后，就可以一路由最小的牌取到最大的牌，依序检验，「线性时间」即可判断是否胡牌，避免来来去去的反复尝试，省下非常多的计算时间。

已经学会胡牌型之后，判断听牌就简单了。

只要试著加入任何一张牌，再尝试拿掉各种可能的眼睛，利用 定理1 判断是否可以胡牌即可得知听哪些牌，仅需要 O(n3 ) 的时间。

例3：判断 3456667888 听什么牌？

● 加入1，剩 13 开头，没胡

● 加入2，

      o 拿掉 66，剩 234567888，胡!!!

      o 拿掉 88，剩 234566678，没胡

● 加入3，

      o 拿掉 33，剩 456667888，没胡

      o 拿掉 66 或 88，剩 334 开头，没胡

● 加入4，

      o 拿掉 44，剩 35 开头，没胡

      o 拿掉 66 或 88，剩 3445 开头，没胡

● 加入5，略，胡

● 加入6，略，胡

● 加入7，略，胡

● 加入8，略，胡

● 加入9，略，胡

上述方法虽然是电脑的判断方式，但其实人脑判断，也是相同道理，先把可能的眼睛拿出来，然后最小牌能拿走一刻即拿走一刻，否则试著拿走一顺，由于人脑很强大，会自动省略一些无关紧要的判断步骤，因此执行速度并不会太慢。

奴役电脑帮你办事

有了快速判断听牌、胡牌的方法后，就可以开开心心奴役电脑帮我们做一些血汗计算了。

李志希的电脑帮忙跑了所有的情况，发现十三张麻将除了〈国士无双，俗称十三么〉可以听十三张牌之外
听九个洞的情况只有一种 1112345678999，俗称〈九连宝灯〉。
听八个洞的情况有 16 种；
听七个洞的情况有 79 种。

由郭君逸计算了台湾麻将十六张的情况：
听九个洞的情况有 11 种，有 1122233345678999、1112345667788999、1112345666777888、1112345566778999、1112344556678999，或是上述平移、对称的牌型。
听八洞的情况有 94 种；
听七个洞的则有 532 种。

眼睛的判断

李教授的方法告诉我们判断胡牌与否，先找出眼睛会比较快。一旦眼睛的选择多，事情就变得越复杂，电脑当然没问题，但人脑判断可能稍微慢了一点。此时，数学可以派上用场。

方法是这样的，先只看同个花色，把所有的牌分成３堆：(一四七)堆，(二五八)堆，(三六九)堆，接著观察每堆的张数。

例如上面的牌型，其中三六九牌共 7 张，二五八牌共 6 张，一四七牌共 4 张。
这样一眼就知道没有胡牌！
这样一眼就知道没有胡牌！
这样一眼就知道没有胡牌！
完全不用去试。

什么！！！为什么可以这么快？因为我有独门秘技！

独门秘技
若要胡牌的话，要抓成三个三个一组的搭子再搭配一对眼睛，
搭子若是「顺」，贡献这三堆的个数必同时都加 1；
搭子若是「刻」，则某一堆会加 3。

因此，若先不看眼睛，这三堆的牌数除以 3 的余数应该要相等。再加上眼睛，就只会让某一堆个数与其他两堆不同。

以上例来说，三堆的张数分别为 7, 6, 4 张，除以 3 的余数为 1, 0, 1，于是，眼睛只有可能出现在第二堆，也就是二五八。若 55 拿掉，前半的 33344 无法凑成两搭，因此没胡；若 88 拿掉，依 定理1，333 也可以拿掉，剩下的局部44556 也无法凑成两搭，所以也无法胡牌。

我们再将这个结果写成定理 (没办法，数学家就是喜欢这样XD)

定理2：一副牌，依一四七、二五八、三六九分成三堆，每堆的张数除以三的余数必有一个与另两个不同，则眼睛就在不同的那堆里。

回到古天乐手上拿的牌型来说：23333444455556666 是否胡牌呢？

因为一四七有 4 张，二五八有 5 张，三六九有 8 张，除以 3 分别余 1, 2, 2，所以眼睛只可能是 44，接著把 44 拿掉，剩下 233334455556666，然后利用 定理1 依序去拿，得到 234, 333, 456, 555, 666 ，所以是胡牌型。

有了 定理2，判断胡牌时眼睛的可能性，可缩减到一堆，检验至多三次，大幅提升计算效率。

当整副牌同时有万、筒、条、字的时候，因为眼睛只会在其中一种花色，因此其它花色一定都是 3 的倍数，利用张数就可以推判眼睛在哪个花色，所以只要能判断其中一种花色即可。

假想一个更困难的例子，每张牌可以超过 4 张的话，

● 请问：33333444555566777888899999 有没有胡牌？

三六九，共 12 张，除以 3 余 0；

一四七，共 6 张，除以 3 余 0；

二五八，共 8 张，除以 3 余 2，

所以若能胡牌的话，眼睛必是 55 或 88：

假设是55，利用 定理1，由小到大拿成333, 345, 345后剩 466777888899999，而 4 的后面断了，所以没有胡。

假设是88，利用 定理1，由小到大拿成333, 345, 345, 456, 567, 789, 789, 999，胡牌。

文章来源：UniMath

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●作者简介：

郭君逸 － 国立台湾师范大学数学系副教授、魔术方块收藏家，主要研究兴趣为组合、图论、演算法。近年来致力于科普的推广，喜爱玩各种数学游戏、益智玩具以及各类型魔术方块。目前为世界魔方联盟(WCA)台湾地区认证员。曾开设整个学期的魔术方块通识课程，跑遍全台进行魔术方块系列演讲。

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