CPT理論

分散式能源的間歇性、波動性等特性對功率理論和補償技術造成了全新的挑戰。當微網運行在孤島模式時，其幅值和頻率波動會降低系統電能質量與穩定性。由於微電網容量有限，電壓畸變後果更加嚴重。因此，需要對功率理論重新審視。對諧波與無功補償設備的控制技術也需要修正，因為在極強的交互環境中，它們需要協同以應對系統動態變化，保證系統電能質量，減少輸電損耗。

2003年Paolo Tenti 和 Paolo Mattavelli 首次提出CPT（Conservative Power Theory）理論。

之後一直對該理論進行改進，在2011年，提出了基於CPT理論的微網描述和控制問題的框架。

CPT理論的一個大前提是：波形是周期的。因此它無法描述時變負載的情形。

運算元

為了表達方便，先定義一些運算元（周期為T，頻率為 ,角頻率為）：

平均值： $ar{x}=<x>=frac{1}{T}int_{0}^{T}xdt$ 微分： $reve{x}=frac{dx}{dt}$ 積分： $x_{int}=int_{0}^{t}x( au)d au$

無偏積分： $hat{x}=x_{int}-ar{x}_{int}$ 內積： $<x,y>=frac{1}{T}int_{0}^{T}xydt$ 2範數(均方根)：

正交性：

對於N維向量 ,定義如下運算元：

標量積： $underline{x}circunderline{y}=sum_{n=1}^{N}x_{n}y_{n}$ 內積： $<underline{x},underline{y}>=sum_{n=1}^{N}<x_{n},y_{n}>$

2範數： $mathbf{X}=|underline{x}|=sqrt{sum_{n=1}^{N}<x_{n},x_{n}>}=sqrt{sum_{n=1}^{N}X_{n}^{2}}$

上述量有如下性質：

$egin{gather} <x,reve{x}>=0qquad<x,hat{x}>=0\ <x,reve{y}>=-<reve{x},y>qquad<x,hat{y}>=-<hat{x},y>\ <x,y>=-<reve{x},hat{y}>=-<hat{x},reve{y}> end{gather}$

正文

考慮一個多相系統，電壓向量，電流向量分別為： ,電壓的無偏積分為： .

定義如下守恆量：

瞬時功率：瞬時無功能量：

有功功率：無功能量：

上述定義只要求周期性，對電壓電流的波形沒有要求。上述計算在時域中進行，只需要積分和低通濾波即可。

將上述公式，應用到簡單的無源網路中，有：

電阻R: $u_{R}=Ri_{R}qquad P_{R}=frac{U_{R}^{2}}{R}qquad W_{R}=0$

電感L: $u_{L}=Lreve{i}_{L}qquad P_{L}=0qquad W_{L}=Li_{L}^{2}=frac{1}{2}ar{varepsilon}_{L}$

電容C： $i_{C}=Creve{u}_{C}qquad P_{C}=0qquad W_{C}=-CU_{C}^{2}=-frac{1}{2}ar{varepsilon}_{C}$

因此，與電壓電流波形無關，電阻只消耗有功功率，電感電容吸收的無功能量與儲存的能量成正比。

與其他功率理論一樣，不守恆的視在功率定義如下：

視在功率：功率因數： $lambda=frac{|P|}{A}$

其中， $mathbf{U}=sqrt{<underline{u},underline{u}>}=sqrt{sum_{n=1}^{N}U_{n}^{2}}qquad mathbf{I}=sqrt{<underline{i},underline{i}>}=sqrt{sum_{n=1}^{N}I_{n}^{2}}$

為了詳細分析與有功、無功相關的電流分量，可相電流 $i_{n}$ 進行分解如下：

n相有功電流：

$egin{equation} egin{split} i_{an}&=frac{<u_{n},i_{n}>}{|u_{n}|^{2}}u_{n}=frac{P_{n}}{U_{n}^{2}}u_{n}=G_{n}u_{n}qquad n=1,2,...,N \ &Rightarrow mathbf{I}_{a}=sqrt{sum_{n=1}^{N}I_{an}^{2}}=sqrt{sum_{n=1}^{N}(frac{P_{n}}{U_{n}})^{2}} end{split} end{equation}$

其中 $G_{n}=frac{P_{n}}{U_{n}^{2}}$ 為等效電導。

n相無功電流：

$egin{equation} egin{split} i_{rn}&=frac{<hat{u}_{n},i_{n}>}{|hat{u}_{n}|^{2}}hat{u}_{n}=frac{W_{n}}{hat{U}_{n}^{2}}hat{u}_{n}=B_{n}hat{u}_{n}qquad n=1,2,...,N \ &Rightarrow mathbf{I}_{r}=sqrt{sum_{n=1}^{N}I_{rn}^{2}}=sqrt{sum_{n=1}^{N}(frac{W_{n}}{hat{U}_{n}})^{2}} end{split} end{equation}$

其中 $B_{n}=frac{W_{n}}{hat{U}_{n}^{2}}$ 為等效電納。

n相無效電流

$i_{vn}=i_{n}-i_{an}-i_{rn}quad n=1,2,...,N$

這三個電流是互相正交的：

$I_{n}=sqrt{I_{an}^{2}+I_{rn}^{2}+I_{vn}^{2}}Rightarrowmathbf{I}=sqrt{mathbf{I}_{a}^{2}+mathbf{I}_{r}^{2}+mathbf{I}_{v}^{2}}$

針對供電電源非正弦，負荷不對稱情況，可將電流分解如下：

對稱有功電流：

$underline{i}_{a}^{b}=frac{<underline{u},underline{i}>}{|underline{u}|^{2}}underline{u} =frac{P}{mathbf{U}^{2}}underline{u}=G^{b}underline{u}Rightarrowmathbf{I}_{a}^{b}=frac{P}{mathbf{U}}$ ,

其中， $G^{b}=P/mathbf{U}^{2}$ 為等效對稱電導。

對稱無功電流：

$underline{i}_{r}^{b}=frac{<underline{hat{u}},underline{i}>}{|underline{hat{u}}|^{2}}underline{hat{u}} =frac{W}{mathbf{hat{U}}^{2}}underline{hat{u}}=B^{b}underline{hat{u}}Rightarrowmathbf{I}_{r}^{b}=frac{W}{mathbf{hat{U}}}$ ,其中， $B^{b}=W/mathbf{hat{U}}^{2}$ 為等效對稱電導。

不對稱有功電流：

$egin{equation} egin{split} i_{an}^{u}&=(G_{n}-G^{b})u_{n}qquad n=1,2,...,N\ &Rightarrow mathbf{I}_{a}^{u}=sqrt{sum_{n=1}^{N}(frac{P_{n}}{U_{n}})^{2}-(frac{P}{mathbf{U}})^{2}} end{split} end{equation}$

對稱有功電流和不對稱有功電流互相正交：

$<underline{i}_{a}^{u},underline{i}_{a}^{b}>=0Rightarrowmathbf{I}_{a}^{u} =sqrt{mathbf{I}_{a}^{2}-(mathbf{I}_{a}^{b})^{2}}$

不對稱無功電流：

$egin{equation} egin{split} i_{rn}^{u}&=(B_{n}-B^{b})hat{u}_{n}qquad n=1,2,...,N\ &Rightarrow mathbf{I}_{r}^{u}=sqrt{sum_{n=1}^{N}(frac{W_{n}}{hat{U}_{n}})^{2}-(frac{W}{mathbf{hat{U}}})^{2}} end{split} end{equation}$