給梨推（hei）的玻色弦概述（五）

鑒於沒有反饋，這次寫完光錐量子化之後我還是按照原定計劃寫SUSY吧~

光錐坐標

首先引入光錐量子化的基本坐標，

$X^{pm}=frac{1}{sqrt{2}}(X^{0}+X^{D-1})$ (1)

即維時空坐標 $X^{mu}$ 由兩個類光坐標 $X^{pm}$ 與個類空坐標構成。不難得到對任意矢量，，其指標升降滿足 $V^{+}=-V_{-}$ ， $V^{-}=-V_{+}$ ，這時內積形式改寫為

$egin{align}Vcdot W=V^{mu}W_{mu}&=-V^{0}W^{0}+V^{D-1}W^{D-1}+sum_{i=1}^{D-2}V^{i}W^{i}\ &=-V^{+}W^{-}-V^{-}W^{+}+sum_{i=1}^{D-2}V^{i}W^{i} end{align}$

我們在之後會看到這樣量子化方式對於處理弦論與粒子表示以及運動方程之間的對應是非常簡便的，但相應的，Lorentz 不變性在該量子化下就不是那麼顯然的了。

規範固定

在這套坐標下重新表示規範選取的條件，第二篇中已經知道了 Virasoro 約束 $(dot{X}pm X)^{2}=0$ ，這裡主要考慮它的變化。重參數化不變性仍然存在，對光錐坐標有 $sigma^{pm} ightarrowxi^{pm}(sigma^{pm})$ ，相應的度規變為

$egin{align} ilde{h}_{alphaeta}&=frac{partialsigma^{a}}{partial ilde{sigma}^{alpha}}frac{partialsigma^{b}}{partial ilde{sigma}^{eta}}(e^{ ho}eta_{ab})\ &=frac{1}{2}e^{ ho}frac{partialsigma^{+}}{partial ilde{sigma}^{alpha}}frac{partial{sigma^{-}}}{partial ilde{sigma}^{eta}}+frac{1}{2}e^{ ho}frac{partial{sigma^{-}}}{partial ilde{sigma}^{alpha}}frac{partialsigma^{+}}{partial ilde{sigma}^{eta}} end{align}$

注意 $left(egin{array}{cc} eta_{++} &eta_{+-}\ eta_{-+}&eta_{--} end{array} ight)=frac{1}{2}left(egin{array}{cc} 0 &1\ 1&0 end{array} ight)$ ，從而 $ilde{h}_{++}= ilde{h}_{--}=0,quad ilde{h}_{+-}= ilde{h}_{-+}=frac{1}{2}e^{Lambda}$ 。即對稱變換 $sigma^{pm} ightarrowxi^{pm}(sigma^{pm})$ 給出規範選取 $h_{ab}=e^{ ho}eta_{ab}$ .

類似地，坐標參數與時間參數變為

$au ightarrow ilde{ au}=frac{1}{2}(xi^{+}(sigma^{+})+xi^{-}(sigma^{-}))$

$sigma ightarrow ilde{sigma}=frac{1}{2}(xi^{+}(sigma^{+})-xi^{-}(sigma^{-}))$

同時考慮到 $X^{mu}( au,sigma)=f^{mu}(sigma^{+})+g^{mu}(sigma^{-})$ 為波動方程 $square X^{mu}=0$ 的通解，重參數化不變性給出

$ilde{ au}sim f^{mu}(sigma^{+})+g^{mu}(sigma^{-})sim extrm{$X^{mu}$}$ 的一個解。再引入光錐坐標變換有

$ilde{ au}=frac{X^{+}}{2alphap^{+}}+const.Rightarrow X^{+}( ilde{ au}, ilde{sigma})=x^{+}+2alphap^{+} ilde{ au}$

忽略tilde符號，即 $X^{+}({ au},{sigma})=x^{+}+2alphap^{+}{ au}$ 。這意味著

$alpha^{+}_{n}=0(n eq0)$ (2)

即在光錐量子化下 $X^{+}$ 不存在振動模式。將其代入 Virasoro 約束，

$egin{align} (Xpmdot{X})^{2}&=-2(dot{X}^{+}pm X^{+})(dot{X}^{-}pm X^{-})+sum_{i}(dot{X}^{i}pm X^{i})^{2}\ &=-4alphap^{+}(dot{X}^{-}pm X^{-})+sum_{i}(dot{X}^{i}pm X^{i})^{2}=0\ &Rightarrow(dot{X}^{-}pm X^{-})=frac{1}{4alpha p^{+}}sum_{i}(dot{X}^{i}pm X^{i})^{2} end{align}$

以開弦的模式展開為例，由上式可以得到

$partial_{pm}X^{-}=frac{1}{2alpha p^{+}}sum_{i}(partial_{pm}X^{i})^{2}$ (3)

$X^{-}$ 的模式展開為

$X^{-}=x^{-}+2alpha p^{-} au+isqrt{2alpha}sum_{n eq0}frac{1}{n}alpha_{n}^{-}e^{-in au}cos nsigma$ (4)

那麼光錐化 Virasoro 條件 (3) 的左邊為

$partial_{+}X^{-}=sqrt{frac{alpha}{2}}sum_{n=-infty}^{infty}alpha_{n}^{-}e^{-in( au+sigma)}quad(alpha_{0}^{-}=sqrt{2alpha}p^{-})$

而右邊為

$egin{align}frac{1}{2alpha p^{+}}sum_{i}(partial_{+}X^{i})^{2}&=frac{1}{4p^{+}}sum_{i,k,m}alpha_{k}^{i}alpha_{m}^{i}e^{-i(k+m)( au+sigma)}=frac{1}{4p^{+}}sum_{n,i,m}alpha_{n-m}^{i}alpha_{m}^{i}e^{-in( au+sigma)} end{align}$

代回 (3) 得到 $alpha_{n}^{-}$ 的展開解

$alpha_{n}^{-}=frac{1}{sqrt{2alpha}p^{+}}left(frac{1}{2}sum_{i=1}^{D-2}sum_{m}:alpha_{n-m}^{i}alpha_{m}^{i}:-adelta_{n,0} ight)$ (5)

對於閉弦，依照同樣的方式可以變換得到左行與右行的模態解

$egin{align} X^{+}( au,sigma)&=x^{+}+alpha p^{+} au,\ X^{-}( au,sigma)&=x^{-}+alpha p^{-} au+sqrt{alpha}{2}sum_{n eq0}frac{1}{n}[alpha_{n}^{-}e^{-in( au+sigma)}+ ilde{alpha}_{n}^{-}e^{-in( au-sigma)}] end{align}$

其中

$alpha_{n}^{-}=sqrt{frac{2}{alpha}}frac{1}{p^{+}}left(frac{1}{2}sum_{i=1}^{D-2}sum_{m}:alpha_{n-m}^{i}alpha_{m}^{i}:-adelta_{n,0} ight)\ ildealpha_{n}^{-}=sqrt{frac{2}{alpha}}frac{1}{p^{+}}left(frac{1}{2}sum_{i=1}^{D-2}sum_{m}: ildealpha_{n-m}^{i} ildealpha_{m}^{i}:-adelta_{n,0} ight)$

所以在光錐規範量子化下， $X^{-}$ 和 $X^{+}$ 都是可以消去的自由度，只有類空坐標 $X^{i}$ 對應真正的粒子激發態。

的約束

由於只有類空模態 $alpha_{n}^{i}$ 產生真正的激發態，第一激發態 $alpha_{-1}^{i}|0;k angle$ 可以構成的維矢量表示。從場論觀點看這是很顯然的，Lorentz 不變性總會誘導物理態為無質量態（或有質量態）的表示。以的 Lorentz 羣單粒子態為例，

$p^{2}=-M^{2}<0, p^{0}>0$ 為有質量正能態，服從變換，小羣 (little group，貌似有些翻譯是迷向子羣) 為。
$p^{2}=-M^{2}<0, p^{0}<0$ 為有質量負能態，服從變換，小羣為。
$p^{2}=0, p^{0}>0$ 為無質量正能態，服從變換，小羣為。
$p^{2}=0, p^{0}<0$ 為無質量負能態，服從變換，小羣為。
$p^{2}=N^{2}>0$ 為快子態，服從變換，小羣為。
$p^{mu}=0$ 為真空態，服從變換，小羣為。

從而要使光錐量子化下的玻色弦理論為 Lorentz 不變的， $alpha_{-1}^{i}|0;k angle$ 必須是無質量態。即

$M^{2}=frac{1-a}{alpha}=0Rightarrow a=1$ ，

這與我們在正則量子化時給出的結果是一致的。

臨界維度

接下來再給出維數的要求，我們從 $L_{0}$ 中心擴張給出正則排序常數的步驟出發，

$frac{1}{2}sum_{i=1}^{D-2}sum_{n=-infty}^inftyalpha_{-n}^{i}alpha_{n}^{i}=frac{1}{2}sum_{i=1}^{D-2}sum_{n=-infty}^inftyleft(:alpha_{-n}^{i}alpha_{n}^{i}:+[alpha_{n}^{i},alpha_{-n}^{i}] ight)=frac{1}{2}sum_{i=1}^{D-2}sum_{n=-infty}^infty:alpha_{-n}^{i}alpha_{n}^{i}:+frac{1}{2}(D-2)sum_{n=1}^{infty}n$

其中 $sum_{n=1}^{infty}n$ 顯然是發散的，利用場論中的正規化，將該級數表示為函數。

$zeta(s)=sum_{n=1}^{infty}n^{-s}$ (6)

從場論裏 Casimir 效應 $^{[1]}$ 知道 $zeta(-1)=sum_{n=1}^{infty}n=-frac{1}{12}$ 。這裡我們仿照一般正規化的步驟簡單推導該結論。

為 $sum_{n=1}^{infty}n$ 賦予一項收斂因子 $e^{-epsilon n}$ ( ) 得到

$sum_{n=1}^{infty}n e^{-epsilon n}=-frac{d}{depsilon}sum_{n=1}^{infty}e^{-epsilon n}=frac{e^{-epsilon}}{(1-e^{-epsilon})^{2}}=frac{1}{epsilon^{2}}-frac{1}{12}+mathcal{O}(epsilon^{2})$

而至於為什麼可以在令時丟掉 $frac{1}{epsilon^{2}}$ 項，則需要考慮到 Weyl 不變性，對於一般弦理論，收斂因子的冪往往還與弦長有關，而這樣一項會由作用量中的 $int,d^{D}xsqrt{-g}$ 抵消，詳見 Polchinski 1.3。所以

$frac{1}{2}(D-2)sum_{n=1}^{infty}n=-frac{D-2}{24}$ ，

這一項需要抵消的效應，從而

$frac{D-2}{24}=1Rightarrow D=26$ (7)

即在不考慮相互作用的玻色弦理論中，兩種量子化方式是互相自洽的。除了這兩種基本的量子化以及路徑積分量子化外，還有一種純粹的代數方式可以用於確定玻色弦要求的與。其基本思路是通過驗證滿足 Lorentz 代數的 Lorentz 生成元，從最基本的 Lorentz 對稱性出發來確定和的值。詳見 $^{[2]}$ (David Tong 2.4 也有簡單介紹)。

開弦的譜分析

最後來討論自洽玻色弦的譜性質。開弦質量譜為 $M^{2}=frac{N-a}{alpha}$ ， $N=sum_{i=1}^{D-1}sum_{n=1}^{infty}alpha_{-n}^{i}alpha_{n}^{i}$ 。

Examples 1:

時有態， $M^{2}=-frac{1}{alpha}$ 。該負質量對應快子態。
時有 $alpha_{-1}^{i}|0;k angle$ 態， $M^{2}=0$ 對應矢量玻色子，構成的矢量表示。
時給出正質量 $M^{2}=frac{1}{alpha}$ 的第一激發態。分別有 $alpha_{-2}^{i}|0;k angle$ 與 $alpha_{-1}^{i}alpha^{j}_{-1}|0;k angle$ 兩類可能的態。它們共同構成的 $(D-2)+frac{(D-2)(D-1)}{2}=24+300=324$ 個態表示。注意到 $(D-2)+frac{(D-2)(D-1)}{2}=frac{(D-1)D}{2}-1$ ，這意味著的表示中存在對稱無跡的 2 階張量。從而在此質量層級，譜中一定會產生一個有質量的自旋為 2 的粒子態。
時質量譜 $M^{2}=frac{2}{alpha}$ 給出的可能態有 $alpha_{-3}^{i}|0;k angle$ ， $alpha_{-2}^{i}alpha_{-1}^{j}|0;k angle$ ， $alpha_{-1}^{i}alpha^{j}_{-1}alpha_{-1}^{k}|0;k angle$ ，共有個不同表示。