Introduction

在譞譞：Erd?s-Lax Theorem(1) 中我們討論了多項式 P(x) 的根的模長均較大的情況，接下來我們就來講講根的模長均較小的情況。Turán發現瞭如下定理：

extbf{[Theorem 1]}n次多項式P(z)的根均在|z|le1中,則left|P^{prime} ight|_{infty} geq frac{n}{2}|P|_{infty}\ 當且僅當P(z)的根均在單位圓上時取等號

可以發現它和上一篇文章中的Erd?s-Lax Theorem簡直就是對偶命題。接下來我們用一個例子來感受一下這個「反向」Erd?s-Lax Theorem。

Example

以n=2為例。

多項式f(z)=az^2+bz+c的根滿足 |z|le 1,證明:max_{|z|=1}|f(z)|gemax_{|z|=1}|f(z)|

證：我們還是直接設 f(z)=a(z-z_1)(z-z_2) ，只不過這裡|z_1|,|z_2|le1

不妨設 |a|=1 ，則由幾何意義得 max_{|z|=1}|f(z)|= 2+|z_1+z_2| ，這和上一篇文章是一致的，本文不再贅述。

那max_{|z|=1}|f(z)|呢？

這仍然是不易求得的，因此我們要對它進行另一種放縮。

egin{align} f(z) &=|z-z_1||z-z_2|lefrac{1}{2}(|z-z_1|^2+|z-z_2|^2)\ &=left|z-frac{z_1+z_2}{2} ight|^2+frac{1}{4}|z_1-z_2|^2 ag{1}\ &leleft(1+left|frac{z_1+z_2}{2} ight| ight)^2+frac{1}{4}|z_1-z_2|^2\&=1+|z_1+z_2|+frac{1}{2}(|z_1|^2+|z_2|^2)\&le2+|z_1+z_2| end{align}

其中式(1)的恆等變換從中線長公式的角度理解是非常清晰的。如圖所示，點P對應z，點A,B對應z_1,z_2，C為線段AB的中點，則有 PC^2=frac{1}{2}(PA^2+PB^2)-frac{1}{4}AB^2 。

因此 max_{|z|=1}|f(z)|lemax_{|z|=1}|f(z)| ，Quite Easily Done!

取等條件同樣是 |z_1|=|z_2|=1 ，驗證過程和上一篇文章相同，這裡也不再贅述。

Proof

我們直接證明一個加強命題。這個命題的證明最早由Malik完成。事實上，在上一篇文章的generalization部分我們已經提到了他把Erd?s-Lax Theorem推廣到了 Rge1 的情況，這裡他把Turán的工作推廣到了 Rle1 的情況。

extbf{[Theorem 2]}n次多項式P(z)的根均在|z|le R(Rle1)中,則left|P^{prime} ight|_{infty} geq frac{n}{1+R}|P|_{infty}

egin{align} &證明: 設P(z)=aprod_{k=1}^{n}(z-w_k)(|w_k|le R),並不妨設a=1\ &則forall|z|=1,frac{zP(z)}{P(z)}=sum_{k=1}^{n}frac{z}{z-w_k}=sum_{k=1}^{n}frac{1}{1-w_koverline{z}}\ &ecause|w_koverline{z}|le R,故可設w_koverline{z}=r_kmathrm{e}^{i heta_k}(r_kle R)\ & herefore Re(frac{1}{1-w_koverline{z}})=frac{1-r_kcos heta_k}{(1-r_kcos heta_k)^2+r_k^2sin^2 heta_k}\&hspace{16.2ex}=frac{1-r_kcos heta_k}{1-2r_kcos heta_k+r_k^2}gefrac{1-r_kcos heta_k}{1+R^2-2r_kcos heta_k}\&hspace{16.2ex}gefrac{1}{1+R}\ & herefore left|frac{P(z)}{P(z)} ight|=left|frac{zP(z)}{P(z)} ight|ge Re(frac{zP(z)}{P(z)})=sum_{k=1}^{n}Re(frac{1}{1-w_koverline{z}})\&hspace{22.ex}gefrac{n}{1+R}\ & herefore left|P^{prime} ight|_{infty} geq frac{n}{1+R}|P|_{infty},Q.E.D end{align}

例如 P(z)=(z+R)^n 可以取到等號

Generalizations

1.「反向」Erd?s-Lax Theorem的推廣與Erd?s-Lax Theorem的推廣幾乎可以一一對應，例如Proof中我們證明的加強命題。但下面這個命題是個例外：Govil證明瞭

n次多項式P(z)的根均在|z|le R(Rge1)中,則left|P^{prime} ight|_{infty} geq frac{n}{1+R^n}|P|_{infty}

而在上一篇文章中我們提到Erd?s-Lax型的該命題是不正確的。

一個反例是 P(z)=(z-frac{1}{2})(z+frac{1}{3}) ，則這裡 R=frac{1}{3}

易得 ||P||_{infty}=2+frac{1}{6}=frac{13}{6}

而 egin{align}|P(z)|^2&=|z^2-frac{1}{6}z-frac{1}{6}|^2=(z^2-frac{1}{6}z-frac{1}{6})(overline{z}^2-frac{1}{6}overline{z}-frac{1}{6})\&=-frac{1}{6}(z^2+overline{z}^2)-frac{5}{36}(z+overline{z})+frac{19}{18}\&=-frac{1}{6}(z+overline{z})^2-frac{5}{36}(z+overline{z})+frac{25}{18}\&=-frac{2}{3}Re(z)^2-frac{5}{18}Re(z)+frac{25}{18}\&lefrac{1225}{864} end{align}

因此 frac{2}{1+(frac{1}{3})^2}||P||_{infty}=frac{7sqrt{6}}{8}<frac{13}{6}=||P||_{infty} ，不成立

2.Aziz and Dawood證明瞭Turán的加強命題

n次多項式P(z)的根均在|z|le1中,則left|P^{prime} ight|_{infty} geq frac{n}{2}(|P|_{infty}+min_{|z|=1}|P(z)|) 並且不等式在 P(z)=alpha z^n+eta(|eta|le|alpha|) 時可以取到等號

3.Govil再次出手，把所有情況都討論並加強了一遍

egin{align} &n次多項式P(z)的根均在|z|le R中,則\ &(1)若Rle 1,則left|P^{prime} ight| _inftyleqfrac{n}{1+R}|P|_infty+frac{n}{R^{n-1}(1+R)} min _{|z|=R}|P(z)|\ &hspace{3ex}例如P(z)=(z+R)^n時可以取到等號\ &(2)若Rge 1,則left|P^{prime} ight|_infty geqfrac{n}{1+R^{n}}(|P|_infty+min _{|z|=R}|P(z)|)\ &hspace{3ex}例如P(z)=z^n+R^n時可以取到等號 end{align}

Remarks

1. 命題的證明中又用到了考慮實部的技巧，可以與上一篇文章配合食用

2.感覺沒什麼remark了，這個定理應該是目前幾個多項式相關的問題中證明最簡潔的了。

References

[1]N.K. Govil and R.N. Mohapatra,Markov and Bernstein Type Inequalities for Polynomials [J]J. of lnequal. & Appl., 1999, Vol. 3, pp. 349-387


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