微分形式與同調論淺析

文/Shining Chen 2012.5.8初稿 2019.3.31校正

轉載請註明原作者及引用網址。

據說科大本科生就學過羣論和場論了，前兩天殷義豪學長又推薦了一本寫給本科生的弦論教材。那麼，本科生可不可以學同調論呢？在這篇文章裏，我們就來進行這種嘗試。為了易於理解，請允許我以物理學家們的直觀風格來闡述這極其抽象晦澀的數學理論。當然，雖然本文不需要很深數學基礎，但如果你對四大力學、張量和羣論的一點入門知識都不瞭解的話，文中某些論述也可能讓你感到莫名其妙。所以建議你先讀讀我以前的拙作《漫談抽象代數》或《現代微分幾何的基本概念》。

你可能讀過我的《漫談抽象代數》或《現代微分幾何的基本概念》，學過或自學過點集拓撲，但我還是想強調一下。現代數學是一種結構數學。現代物理中的數學方法是從（可微）流形開始的，而流形是從拓撲空間開始的，拓撲空間又是從集合論開始的。我們在集合上進行不同的運算，就構造了不同的空間。例如，引入加法和數乘，就定義了線性（矢量）空間，引入內積運算就定義了度量空間。事實上，我們也可以不引入距離的概念，只類比開區間的概念由鄰域來定義開集，通過一個點集的每個開鄰域都與n維歐式空間同胚（連續的一一映射）來定義流形。集合是靜態的，但映射是動態的，所以集合上就可以有導數與微分這些與運動相關的概念。例如U與V交集中的點P經f與g分別映射為x與y，則取f的逆映射將x映回P，再映到y就給出y與x的函數關係，於是可以求y對x的導數（這就是映射的微分）。流形的可微性使得我們能夠賦予它大量的結構，如微分形式、李導數（關鍵是構造一種拉回映射）、張量（纖維叢、聯絡）等。本文主要討論微分形式，關於叢上的羣結構和聯絡結構的討論留到下一篇日誌。好了，閑話少說，讓我們進入正題。什麼是同調，它與物理學什麼關係呢？為了從認識論的深度說清楚這個問題，我們需要一些預備知識。一、微分形式的基本概念

1.對偶空間

如前所述，對加法和數乘運算封閉的集合即為向量空間，我們用V表示。V的對偶空間V*是向量空間V上的線性函數構成的集合（用

,……表示這些函數），V* 中的元素稱為對偶向量（或線性微分式）。函數

在u上值用

表示。V*中的元素滿足左分配律

，

和右分配律

，

，即對於

和u 都是線性的，即定義了一個雙線性映射。在V 中，

；在V* 中，

，且

，故

為u 的對偶向量，

為

的對偶基向量（也稱具有上標的

為逆變基向量，具有下標的

為協變基向量）。2.格拉斯曼代數一個代數，是指這樣的一個集合A，在這個集合中可有三種運算：數乘、加法、乘法。A在前兩種運算下是一個向量空間，在後兩種運算下是一個環。格拉斯曼代數G(V)是由V構造的：對V中任意x，y，定義

，

稱楔形積

為外積（對兩個向量而言，外積即為矢量叉積），則對於V中一組基1，

，

，…，

，由1 可張成1維子空間

，由

可張成n維子空間

，由 $e_{i_1 } wedge e_{i_2 }$ 可張成

維子空間

，…，由 $e_{i_1 } wedge e_{i_2 } wedge cdots wedge e_{i_p }$ 張成 $C_n^p = frac{{n!}}{{p!(n - p)!}}$ 維子空間

，由

張成1維子空間

，這些子空間的直和 $G(V) = sumlimits_{p = 0}^n { oplus Lambda ^p (V)} = Lambda ^0 oplus Lambda ^1 oplus cdots oplus Lambda ^n$ 為

維向量空間，稱為外向量空間或向量空間V的格拉斯曼代數，其中

為生成此外代數的一組基。類似地，對於對偶空間V*也有外代數 $G(V*) = sumlimits_{p = 0}^n { oplus Lambda ^p (V*)}$ .特別有意義的是，它的子空間的元素 ${Lambda ^p (V*)}$ 稱為向量空間V上的p次外微分形式，它是V上的反對稱p重線性函數。3.流形上的微分形式設M為n維（無窮階可微）流形，x為M上一點，U為M上點x的坐標鄰域，

為點x處M的切向量空間，

為

的對偶空間（或稱餘切空間）。對U中任意一點x，在餘切空間中構造一個元素

，它是一個從x到

的映射，稱

為1次微分形式。為了得到更高次微分形式，我們利用格拉斯曼代數。令

，

則

其中

是一維實矢量空間，

是元素為

的向量空間（以

為基），

是元素為 $sumlimits_{i_1 < i_2 } {a_{i_1 i_2 } dx^{i_1 } wedge dx^{i_2 } }$ 的向量空間（ ${dx^{i_1 } wedge dx^{i_2 } }$ 為基），

以 ${dx^{i_1 } wedge dx^{i_2 } wedge cdots wedge dx^{i_p } }$ 為基， $sumlimits_{i_1 < cdots < i_p } {a_{i_1 i_2 cdots i_p } dx^{i_1 } wedge dx^{i_2 } wedge cdots wedge dx^{i_p } }$ 為元素的 $C_n^p = frac{{n!}}{{p!(n - p)!}}$ 維向量空間，

是以

為基的一維向量空間。綜上所述，M上的p次微分形式

是M上的一個映射，它將M上任一點x映成

中的一個元素，即 $omega ^p :x o omega ^p (x) = a_{i_1 i_2 cdots i_p } dx^{i_1 } wedge dx^{i_2 } wedge cdots wedge dx^{i_p }$ 我們把該p次微分形式的全體的集合記為

4.霍奇星運算元為討論對偶微分式，引入*運算元作為一對向量空間

和 $Lambda ^{n - p} (M)$ 之間的線性變換，即 $* :Lambda ^p (M) o Lambda ^{n - p} (M)$ ，p=0,1,2,…,n.在規範意義下，該映射誘導出微分形式之間有同樣的映射 $* :F^p (M) o F^{n - p} (M)$ .設 $omega = sum {a_{i_1 i_2 cdots i_p } dx^{i_1 } wedge dx^{i_2 } wedge cdots wedge dx^{i_p } }$

則 $* omega = sum {eta _{i_1 i_2 cdots i_p j_1 j_2 cdots j_{n - p} } a_{i_1 i_2 cdots i_p } dx^{j_1 } wedge dx^{j_2 } wedge cdots wedge dx^{j_{n - p} } }$

例如 $df = frac{{partial f}}{{partial x^1 }}dx^1 + frac{{partial f}}{{partial x^2 }}dx^2 + frac{{partial f}}{{partial x^3 }}dx^3$ 經*運算後 $frac{{partial f}}{{partial x^i }}$ 不變，

變成 $eta _{ijk} dx^j wedge dx^k$ ，於是有 $* df = eta _{123} frac{{partial f}}{{partial x^1 }}dx^2 wedge dx^3 + eta _{213} frac{{partial f}}{{partial x^2 }}dx^1 wedge dx^3 + eta _{312} frac{{partial f}}{{partial x^3 }}dx^1 wedge dx^2$ 由於 $eta _{123} = eta _{312} = 1，eta _{213} = - 1，dx^1 wedge dx^3 = - dx^3 wedge dx^1$ ，故上式簡化為 $* df = frac{{partial f}}{{partial x^1 }}dx^2 wedge dx^3 + frac{{partial f}}{{partial x^2 }}dx^3 wedge dx^1 + eta _{312} frac{{partial f}}{{partial x^3 }}dx^1 wedge dx^2$ 5.微分形式的外微分設有一零次微分形式

，令 $X = sumlimits_{i = 1}^n {x^i frac{partial }{{partial x^i }}}$ 為切向量空間

中的一個向量，則 $df(X) = frac{{partial f}}{{partial x^i }}dx^i cdot x^j frac{partial }{{partial x^j }} = frac{{partial f}}{{partial x^i }}x^j delta _j^i = x^i frac{{partial f}}{{partial x^i }} = X(f)$ 這表明，d作為一個微分運算元是從

的映射。相應地，可定義 $d:F^p (M) o F^{p + 1} (M)$ 為由p次微分形式的空間到p+1次微分形式的空間的映射，稱為微分形式的外微分，它將p次微分形式

$omega = sumlimits_{i_1 < cdots < i_p } {a_{i_1 i_2 cdots i_p } dx^{i_1 } wedge dx^{i_2 } wedge cdots wedge dx^{i_p } }$

變成 $egin{eqnarray*} domega = & sumlimits_{i_1 < cdots < i_p } & { d a_{i_1 i_2 cdots i_p } wedge dx^{i_1 } wedge dx^{i_2 } wedge cdots wedge dx^{i_p } } \ & & + ( - 1)^0 a_{i_1 i_2 cdots i_p } d(dx^{i_1 } wedge dx^{i_2 } wedge cdots wedge dx^{i_p } ) end{eqnarray*}$ 經過p次交換d運算元的位置，可以由證明上式第二項為零（p個零之和），於是有 $domega = sum {frac{{partial a_{i_1 i_2 cdots i_p } }}{{partial x^j }}dx^j wedge dx^{i_1 } wedge dx^{i_2 } wedge cdots wedge dx^{i_p } }$ 則 $d^2 omega = d circ domega = frac{{partial ^2 a_{i_1 i_2 cdots i_p } }}{{partial x^j partial x^k }}dx^k wedge dx^j wedge dx^{i_1 } wedge dx^{i_2 } wedge cdots wedge dx^{i_p }$ 交換指標k和j，由於

dx^k wedge dx^j = - dx^j wedge dx^k，於是d^2 omega = - d^2 omega

，故

6.梯度、旋度、散度、拉普拉斯運算元

（1），即零次微分形式的一次外微分運算即為標量函數的梯度。

（2）設

， $egin{eqnarray*} & & d(a_1 dx^1 + a_2 dx^2 + a_3 dx^3 ) \ & = & (frac{{partial a_1 }}{{partial x^1 }}dx^1 wedge dx^1 + frac{{partial a_1 }}{{partial x^2 }}dx^2 wedge dx^1 + frac{{partial a_1 }}{{partial x^3 }}dx^3 wedge dx^1 ) \ & & + (frac{{partial a_2 }}{{partial x^1 }}dx^1 wedge dx^2 + frac{{partial a_2 }}{{partial x^2 }}dx^2 wedge dx^2 + frac{{partial a_2 }}{{partial x^3 }}dx^3 wedge dx^2 ) \ & & + (frac{{partial a_3 }}{{partial x^1 }}dx^1 wedge dx^3 + frac{{partial a_3 }}{{partial x^2 }}dx^2 wedge dx^3 + frac{{partial a_3 }}{{partial x^3 }}dx^3 wedge dx^3 ) \ end{eqnarray*}$ 由於

dx^1 wedge dx^1 = dx^2 wedge dx^2 = dx^3 wedge dx^3 = 0

，

，

，

故 $egin{eqnarray*} domega & = & (frac{{partial a_2 }}{{partial x^1 }} - frac{{partial a_1 }}{{partial x^2 }})dx^1 wedge dx^2 \ & + & (frac{{partial a_3 }}{{partial x^2 }} - frac{{partial a_2 }}{{partial x^3 }})dx^2 wedge dx^3 + (frac{{partial a_1 }}{{partial x^3 }} - frac{{partial a_3 }}{{partial x^1 }})dx^3 wedge dx^1 \ end{eqnarray*}$ 由於 $* (dx^2 wedge dx^3 ) = eta _{231} dx^1$ ， $* (dx^3 wedge dx^1 ) = eta _{312} dx^2，* (dx^1 wedge dx^2 ) = eta _{123} dx^3$ 故 $* domega = (frac{{partial a_2 }}{{partial x^1 }} - frac{{partial a_1 }}{{partial x^2 }})dx^3 + (frac{{partial a_3 }}{{partial x^2 }} - frac{{partial a_2 }}{{partial x^3 }})dx^1 + (frac{{partial a_1 }}{{partial x^3 }} - frac{{partial a_3 }}{{partial x^1 }})dx^2$

這和旋度的表達式一摸一樣，故

（3）仍設

omega ^1 = a_1 dx^1 + a_2 dx^2 + a_3 dx^3

，同理可得 $* d * omega ^1 = frac{{partial a_1 }}{{partial x^1 }} + frac{{partial a_2 }}{{partial x^2 }} + frac{{partial a_3 }}{{partial x^3 }} = abla cdot A = div A$ （4）給定一個球坐標下的零次微分式

，在彎曲時空中作一次外微分運算，得 $df = frac{{partial f}}{{partial r}}dr + frac{{partial f}}{{partial heta }}d heta + frac{{partial f}}{{partial varphi }}dvarphi$ 為了進行*運算，需要變換到平直空間：

dx^1 = dr，dx^2 = rd heta，dx^3 = rsin heta dvarphi

，於是 $df = frac{{partial f}}{{partial r}}dx^1 + frac{1}{r}frac{{partial f}}{{partial heta }}dx^2 + frac{1}{{rsin heta }}frac{{partial f}}{{partial varphi }}dx^3$ 現在，作一次*運算，得 $* df = frac{{partial f}}{{partial r}}dx^2 wedge dx^3 + frac{1}{r}frac{{partial f}}{{partial heta }}dx^3 wedge dx^1 + frac{1}{{rsin heta }}frac{{partial f}}{{partial varphi }}dx^1 wedge dx^2$ 為了進行外微分運算，需要變換到彎曲空間：

$* df = r^2 sin heta frac{{partial f}}{{partial r}}d heta wedge dvarphi + sin heta frac{{partial f}}{{partial heta }}dvarphi wedge dr + frac{1}{{sin heta }}frac{{partial f}}{{partial varphi }}dr wedge d heta$

現在，作一次外微分運算，得 $egin{eqnarray*} d * df & = & sin heta frac{partial }{{partial r}}(r^2 frac{{partial f}}{{partial r}})dr wedge d heta wedge dvarphi \ & + & frac{partial }{{partial heta }}(sin heta frac{{partial f}}{{partial heta }})d heta wedge dvarphi wedge dr + frac{1}{{sin heta }}frac{{partial ^2 f}}{{partial varphi ^2 }}dvarphi wedge dr wedge d heta end{eqnarray*}$ 為了進行*運算，再變換到平直空間，得 $egin{eqnarray*} d * df & = & [frac{1}{{r^2 }}frac{partial }{{partial r}}(r^2 frac{{partial f}}{{partial r}}) + frac{1}{{r^2 sin heta }}frac{partial }{{partial heta }}(sin heta frac{{partial f}}{{partial heta }}) \ & + & frac{1}{{r^2 sin ^2 heta }}frac{{partial ^2 f}}{{partial varphi ^2 }}]dx^1 wedge dx^2 wedge dx^3 \ end{eqnarray*}$ 現在，在進行一次*運算，得 $* d * df = frac{1}{{r^2 }}frac{partial }{{partial r}}(r^2 frac{{partial f}}{{partial r}}) + frac{1}{{r^2 sin heta }}frac{partial }{{partial heta }}(sin heta frac{{partial f}}{{partial heta }}) + frac{1}{{r^2 sin ^2 heta }}frac{{partial ^2 f}}{{partial varphi ^2 }}$ 這正是球坐標下拉普拉斯運算元的表達式，故有

綜上所述，

df^0=
abla f=grad f，*dA=
abla imes A=rot A

.需要注意的是，求上述量在彎曲坐標系的表達式時，進行d運算前要變換到彎曲空間，進行*運算前要變換到平直空間。

二、同調論的基本概念

1.同倫與同調的基本思想：設二維平面上有一個圓環，環上有三條封閉曲線l，m，n，其中l不跨過中心的洞，m包圍中心的洞，n包圍了m.考慮曲線積分

，這裡p=p(x,y),q=q(x,y) 是兩個變數的連續函數，它們的偏導數連續且滿足 $frac{{partial p}}{{partial y}} = frac{{partial q}}{{partial x}}$ 那麼，沿著閉曲線l的積分為零，沿著閉曲線m和n的積分相等且不為零。拓撲學是專門研究一個物體的「洞」的情況的幾何學，只管洞得有無、多少，不管大小，例如，耳洞數相同的女生在拓撲學的意義下是等價的。因為拓撲學的本意是橡皮泥幾何學，橡皮泥是可以連續形變的，形變過程中不保距也不保角（這就是為什麼我們前面引入拓撲空間時一再強調要暫時忽略距離等度量性質的原因），只保洞數（連續性）不變。我們稱能夠經過連續形變由此及彼的兩個幾何對象是同倫的，例如上述閉曲線m 和n 同倫（但都與l不同倫）.實際上，圓環上任何跨過中心洞的閉曲線都能互相由此及彼，因而都是同倫的。特別地，不跨過中心洞的閉曲線經過連續形變可以收縮為一點，稱之為同倫於常值道路（一條曲線就是一條道路）。為什麼叫同倫？呵呵，具有相同耳洞數的女生的倫理觀念可能是相同的吧。至少，有耳洞的與沒耳洞的女生人生價值觀不同。那麼，什麼是同調呢？通俗地說，如果兩條曲線共同圍成一個區域的邊界，就稱它們是同調的。例如上述閉曲線m和n.由於中心洞的存在，m和n都沒能圍成一個區域（l與洞無關，自身就圍成一個區域）。但m與n放在一起（嚴格地說，曲線是有方向的，應該說m與-n，或m-n）卻圍成了一個區域，所以它們共同構成一個區域的邊界，即它們是同調的。為什麼叫同調？「調」本來是音樂術語，經常聽說某某唱歌跑調，那就是不能和原唱所唱的調吻合。特別地，兩個人一起唱歌，一個比另一個慢半拍，或比另一個低八度，那麼兩人一起唱出來的歌就很難聽。所以，「調」需要兩個人配合。那麼，怎麼讓兩條曲線配合？那就是夫唱妻隨兩人一起共同構成某區域的邊界，如上述m與-n.特別地，世上也有奇人，一個人能唱兩個調，譬如李玉剛，既能唱男聲也能唱女聲，所以就不需要人配合。類似地，某些曲線不需要其他曲線配合，自己就能構成一個區域的邊界，例如上述曲線l.不需要任何曲線配合，那就同調於零唄。二維閉曲面可以構成三維區域的邊界，一維閉曲線可以構成二維區域的邊界，那麼一個點（零）也可以構成一維區域（線段）的邊界，那就是端點呀。我們把一條曲線稱為一條道路，所有同倫的道路構成一個集合，稱為（道路）同倫類。一條道路有起點也有終點。如果像羽泉《哪一站》所唱「終點也是起點」，即一條道路的終點是另一條道路的起點時，我們不就可以從這條路走向那條路嗎？真是山重水複疑無路，柳暗花明又一村啊。我們把從一條路走向另一條路稱為道路的乘積（即定義一種乘法）。設由A到B再到C三條小道連成一條康莊大道，顯然，走完AB歇一會再走C，與走完A就歇一會，然後一口氣走完BC，結果是一樣的。所以，道路的乘法滿足結合律。由於任何道路P與常值閉道路l的乘積仍是P，所以常值閉道路可以看作道路的單位元。而道路不是二極體，我們也可以沿著與原來相反的方向走，並稱這是逆路。不過，這裡倒不用擔心不進則退，因為沒有水；也不用擔心狹路相逢，即使千軍萬馬過獨木橋也不會掉河裡。綜上所述，道路滿足封閉性、結合律、有單位元、逆元，所以構成一個羣，稱為道路的基本（同倫）羣。基本羣的思想很簡單，但計算上不方便。尤其到了高維同倫羣，更是蜀「道」之難，難於上青天。於是，人們轉入同調（羣）論的研究。

如前所述，能一起構成某一區域邊界的兩條閉曲線是同調的，獨自一人就能構成某一區域邊界的閉曲線同調於零。所有同調的曲線構成一個等價類，稱為同調類。那麼，同調的曲線如何構成羣呢？讓我們來考察汽車輪胎的內胎，它是三維空間中的二維環面。在環面上有很多封閉曲線，但基本上可分成兩類：經圓類m和緯圓類p（類似於地球經緯線，一類沿汽車輪子滾動方向，另一類垂直於該方向）。如果一條閉曲線既沿經圓方向環繞又沿緯圓方向環繞，則可以表示為m與p的線性組合。例如繞經圓2圈繞緯圓3圈，則表示為2m+3p.環面上任意閉曲線具有形式；另外同調類之間可以加減。所以，環面上全體同調類的集合構成一個羣，它是具有兩個生成元m，p的（自由交換）羣，同構於兩個整數加羣的直和。類似地，雙環面（兩個車胎對接）是具有4個生成元的自由交換羣，每一同調類具有 .

當然，這剛剛定義了同調類。要定義同調羣，還需要做進一步考察：所有閉曲線構成一個羣，稱為閉路羣。在這些閉路（閉曲線）中，有的自己一人就構成某區域的邊界，有的不能界住任何區域，需要配合其他閉曲線一起才能構成某區域的邊界。我們把那些能獨自構成某區域邊界的閉路稱為邊緣閉路。所有這些邊緣閉路構成一個羣，稱為邊緣羣，它是閉路羣的一個子羣。既然是子羣，那麼就可以對它作（母羣的）商羣，也就是在這些閉路中除去那些邊緣閉路。我們把這一商羣稱為同調羣。為什麼要除掉那些邊緣閉路呢？我們還要引入一些概念，請繼續往下看。2.曲面的多邊形表示與三角剖分：為了計算同調羣，我們要化曲為直，即把用直面等價代替曲面進行討論。如果你看過足球烯，你就會明白，球面其實是與凸多面體同胚（連續的一一映射）的。所以，我們完全可以用多邊形來表示曲面。在曲面上像經緯線那樣畫一個有限網路，它由有限個頂點和連接這些頂點的有限條弧組成。若它能將曲面分割成有限個同胚於圓盤的區域，我們就稱該曲面能剖分成多邊形。在平面上畫一些多邊形，在多邊形頂點上標上字母，在邊上標上箭頭代表方向，把相同的字母和方向相同的邊粘合在一起，將得到一個曲面（特別是如果多邊形分佈合理的話能構成閉曲面），稱為曲面的多邊形表示。給定一個曲面，它的多邊形表示不止一種。不同曲面能剖分成的多邊形種類不同，有些不能剖分成任意給定的一種多邊形。但是，任何曲面都能剖分成三角形。所以，我們今後主要研究曲面的三角剖分。當然，即使只採取三角剖分，剖分方式也不止一種。例如，正四面體、正八面體、正二十面體都是球面的三角剖分。但對於給定的一種曲面，存在最小的三角剖分（即用最少的三角形數，如球面的最小剖分為正四面體）。下面，我們就來看看如何進行三角剖分。首先，剖分要保證每個頂點和每條棱都是某個三角形的頂點和棱；每條棱都是（或至多是）兩個三角形公共邊；對任意兩個三角形，都有一個三角形序列把它們連接起來，使得相鄰兩個三角形有公共邊；其次，在每個頂點標上字母，由字母的順序誘導三角形的邊及其三角形本身的方向。如果所有相鄰三角形的公共邊反向，則稱這些三角形是協合的。如果一個曲面的三角剖分能指定協合方向，則稱該曲面是可定向的。球面、環面都是可定向的，莫比烏斯帶是不可定向的。3.閉鏈、邊緣鏈和同調羣：為了便於計算同調羣，我們只研究一類特殊的空間，它可以看成由一小塊一小塊我們熟悉的空間「很好地」拼湊（或規則相處，指要麼不相交，要麼公共部分為它們的公共面單形）起來的，即所謂的可單純剖分的空間。曲面是二維的，可以用三角形剖分；對高維空間，就要用相當於三角形的「高維磚塊」來砌成我們的建築物了（呵呵，建築也是一門藝術呢，公園裡平面鑲嵌的設計者一定是位數學家兼藝術家）。我們把由一點組成的圖形叫做0維單（純）形，記作

；閉線段稱為1維單形，記作

；三角形稱2維單形，記作

；四面體稱3 維單形，記作

…單形

的0維面（即頂點）為<v_0 > , <v_1 > , <v_2 > , <v_3 >；1維面（即棱）有<v_0 , v_1 > , <v_0 , v_2 > , <v_0 , v_3 > , <v_1 , v_2> , <v_1 , v_3 > , <v_2 , v_3 >；2維面有<v_0 , v_1 , v_2 > , <v_0 , v_1 , v_3 > , <v_0 , v_2 , v_3 > , <v_1 , v_2 , v_3 >.有限個規則相處（要麼不相交，要麼公共部分為它們的公共面單形）的單形之和稱為一個（單純）復形，記作K.閉曲面的三角剖分稱為單純剖分。下面，我們來考慮環面的一個選定的單純剖分K，考慮這個剖分下的定向多邊形曲線，方向由頂點的字母順序誘導，並標在多邊形的棱上。若一條棱的頂點為v，w，則用<v,w>表示這條棱，方向由v到w.類似地，若u,v,w是K 的一個三角形頂點，則<u,v,w>表示按頂點順序u，v，w定向的二維單形。只要保證三角形的頂點環繞方向不變，從哪個頂點開始寫沒有關係。序向的改變用一個負號表示，即滿足<w,v> =-<v,w> , <v,u,w> =-<u,v,w>.定向棱<v,w>的邊緣定義為

，定向三角形的邊緣定義為

，即它的定向棱之和。0 維單形的邊緣定義為零。任意多邊形曲線可以看作其各定向棱之和，其邊緣定義為其各定向棱的邊緣之和。如果計算得其邊緣值為零，則稱該多邊形曲線沒有邊緣，即它是閉的。現在考慮一般情形。K的定向棱以整係數的線性組合為 $z=lambda_{1}<u_{1},v_{1}> +cdotslambda_{k}<u_{k},v_{k}>$ . 如果它的邊緣

，我們就稱z 是K 的一維閉鏈。對於K的任意兩個1維閉鏈 $sum {lambda _i langle u_i ,v_i angle }$ 及 $sum {mu _i langle u_i ,v_i angle }$ ，定義加法 $sum {lambda _i langle u_i ,v_i angle } + sum {mu _i langle u_i ,v_i angle } = sum {(lambda _i + mu _i )langle u_i ,v_i angle }$ ，則K 的全體一維閉鏈在這個加法下構成一個（交換）羣，稱為一維閉鏈羣，記作

. 如果一個閉鏈能找到定向三角形的一個整係數的線性組合，使得它的邊緣恰是這個閉鏈，就稱該閉鏈為一個邊緣鏈。全體一維邊緣鏈構成一維閉鏈的一個子羣，稱為一維邊緣鏈羣，記作

. 我們感興趣的是包圍一個洞的閉鏈，即非邊緣的閉鏈。為了從閉鏈中除去那些邊緣鏈，我們將閉鏈對邊緣鏈作商羣運算，即 $[ H_1 (K) = frac{{Z_1 (K)}}{{B_1 (K)}} ]$ ，並把該商羣稱為一維同調羣。該定義可推廣到p 維。據定義，若兩個閉鏈相差一個邊緣鏈（如前述的閉曲線m與n），則它們是同調的。三、微分形式與同調論的聯繫1.閉形式與恰當形式：

；

。因為

，故恰當形式一定是閉形式，這稱為龐加萊引理。一般情況下，其逆命題不成立。但是可以證明，在局域單連通鄰域上，閉形式也是恰當形式。2.微分形式的積分：在R^1中，取一閉區間[a,b]=D，將D的有向邊緣記為

，其中

稱為邊緣運算元。於是牛頓-萊布尼茨公式為 $int_D {df} = f(b) - f(a) = int_{partial D} f$ ，該公式反映了1維體積分和（2-1）維邊界上的積分的聯繫。在R^2中，令

，則 $domega ^1 = (frac{{partial Q}}{{partial x}} - frac{{partial P}}{{partial y}})dx wedge dy$ 於是格林公式 $int_D {(frac{{partial Q}}{{partial x}} - frac{{partial P}}{{partial y}})dxdy} = int_{partial D} {Pdx + Qdy}$ 即簡化 $int_D {domega } = int_{partial D} omega$ ，該公式揭示了2維體積分與（2-1）維邊界上積分的聯繫。在R^3中，令

，則斯托克斯定理簡化為 $[ iint {Ddomega ^1 } = oint {partial Domega ^1 } ]$

在R^3中，令，則高斯定理簡化為

$[ iiint {Ddomega ^2 } = mathop{{int!!!!!int}mkern-21mu igcirc} {partial Domega ^2 } ]$

上述四個公式可統一地寫成 $int_D {domega } = int_{partial D} omega$ ，稱為廣義斯托克斯公式。由此可見，採用微分形式的表述方式，不僅反映了定理本身內容，而且反映了坐標變換時表達式的協變規律。

在微分形式框架下表述的廣義斯托克斯公式，可推廣到n維域D上n次微分形式ω和（n-1）維邊界上（n-1）次微分形式之間。在n維流形M中取一有界閉區域D，其定向與M一致。D的邊界為，其定向由D誘導。只要有界區域D 能被基本單純形（點、線段、三角形、四面體等）剖分，則在D上的積分就是在用來剖分的單純形上的積分之和。在上的積分就是沿每個單純形邊界的積分之和。當沿內部邊界積分相加時，兩次取向相反的每兩個積分抵消，從而得到沿整個區域邊界上的積分。

積分區域的三角剖分與前面講的閉曲面的三角剖分完全類似，將一小塊一小塊區域累加起來得到等於一大圈邊界上面積的思想也與拓撲學中將一毫升空氣一毫升空氣吹進氣球得到整個氣球體積的思想不謀而合，這就預示著我們可以類比閉曲面的同調理論建立微分形式的同調理論，這就是我們下面要講的德拉姆上同調。

3.德拉姆上同調：

類似於「若兩個閉鏈相差一個邊緣，則這兩個閉鏈是同調的」，我們可以定義微分形式的同調：若兩個p次閉微分形式僅僅相差一個恰當微分形式，即，則稱這兩個閉形式是同調的，記作 .

類似於閉曲面的同調羣是閉鏈羣對邊緣鏈羣的商羣，我們將p次閉微分形式構成的向量空間 $mathop {F^p }limits^ circ (M)$ 對p次恰當微分形式構成的向量空間dF^{p - 1} (M)的（同餘）商空間

{{mathop {F^p }limits^ circ (M)} mathord{left/

{vphantom {{mathop {F^p }limits^ circ (M)} {dF^{p - 1} (M)}}}
ight.

kern-
ulldelimiterspace} {dF^{p - 1} (M)}}

定義為微分形式的同調羣，記作

H^p (M) = {{mathop {F^p }limits^ circ (M)} mathord{left/

{vphantom {{mathop {F^p }limits^ circ (M)} {dF^{p - 1} (M)}}}
ight.

kern-
ulldelimiterspace} {dF^{p - 1} (M)}}

例如，球面S^2的德拉姆上同調羣H^1 (S^2)=0，即球面上每個（1次）閉微分形式都是恰當微分形式。

類似於前面閉曲面「邊緣的邊緣等於零」，即，我們有，即恰當微分形式上同調於零，

{dF^{p - 1} (M)}是上同調於零的若干個p次（恰當）微分形式構成的羣（集合）。以元素

標記閉微分形式對特指的等價關係的等價類，稱為上同調類，矢量空間 H^p (M)的維數就是線性獨立的上同調類的數目。

同調類可能太抽象了，不好理解。其實，正如我在《漫談抽象代數》一文中所講的，我們可以在一個集合中，將具有相同屬性的歸為一類，不同的歸為不同的類，然後，在全集中把某一類（集合的子集）除去（或說忽略掉），這就是商集合（商空間、商羣也是這個意思）。最簡單的例子就是同餘類（餘數相同的歸為一類，如被3除，餘數為0的歸為一類，餘數為1的歸為一類，餘數為2的歸為一類）。再通俗點說，把頭髮顏色相同的女生歸為一類。集合的概念就像家庭一樣，它裡面的元素就是它的家庭成員，也像人類一樣喫飯時有不同的口味。假如我們把所有微分形式看成一個大家庭，這個家庭裏喜歡喫麵食的成員叫做閉微分形式，喜歡喫麵條的成員叫做恰當微分形式，那麼我們就可以蒸一鍋饅頭（是麵食但不是麵條），讓喜歡喫麵條的成員餓著，這就叫商羣，呵呵，明白物以類聚、人以羣分的道理了吧。

理解任何同調羣都有個原則性的困難，那就是何為商羣；理解上同調羣這個特定同調羣有個困難，那就是微分形式與曲面拓撲性質無關，只有到把它積分時（廣義斯托克斯公式）才能找到與曲面拓撲的關係——積分區域也可以像閉曲面一樣作三角剖分。

四、同調論與物理學

（1）經典力學

考察一個質點的的單一自由度運動，其相空間是二維的。再加上一維時間，就構成三維流形，其基矢選為dq , dq , dt.構造

$[ omega ^1 = frac{{partial T}} {{partial q}}dt ]$

，

則

$d * omega ^1 = frac{d}{{dt}}left( {frac{{partial T}}{{partial dot q}}} ight)dt wedge ddot q wedge dq$

$d * heta ^1 = - frac{{partial U}}{{partial q}}dq wedge dt wedge ddot q$ 這是M^3中同一點的兩個恰當微分形式，它們上同調於零，即 .移項，得

$[frac{d}{{dt}}left( {frac{{partial T}}{{partial dot q}}} ight) + frac{{partial U}}{{partial q}}]dt wedge ddot q wedge dq = 0$

微分形式基底不為零，故

$frac{d}{{dt}}left( {frac{{partial T}}{{partial dot q}}} ight) + frac{{partial U}}{{partial q}} = 0$

注意到L=T-U，則有

$frac{d}{{dt}}left( {frac{{partial L}}{{partial dot q}}} ight) - frac{{partial L}}{{partial q}} = 0$

這就是自由質點的拉格朗日方程。

值得注意的是，就理論框架而言，我們未涉及最小作用量原理。我們輸入的僅僅是動量和勢的一次微分形式，然後按微分形式所遵循的規律作允許的運算，，不再輸入先驗的原理，就得到預期的結論。所以，用上同調來建立線性模型的動力學方程的方法具有明顯的優越性——不僅簡潔，還有豐富的代數和幾何意義。可以斷言，微分形式的上同調理論給出了所有線性動力學方程的框架。一旦有恰微分式上同調，就自然地導出一級變分為零的必然結果。

（2）熱力學

由d(AdB)=-d(BdA)，可得d(TdS-pdV)=d(TdS+Vdp)=0，故TdS+Vdp必為某恰當微分形式，實際上TdS+Vdp正是dH.同理可得dF，dG.

由dE=TdS-pdV，作一次外微分運算，有

$[ ddE = left( {frac{{partial T}} {{partial V}} + frac{{partial p}} {{partial S}}} ight)dV wedge dS = 0 ]$

即得

$[ {frac{{partial T}} {{partial V}} + frac{{partial p}} {{partial S}} = 0} ]$

即

$[ {frac{{partial T}} {{partial V}} = - frac{{partial p}} {{partial S}}} ]$

這就是麥克斯韋關係之一。同理，由ddH=0，ddF=0，ddG=0可得另三個麥克斯韋關係。

（3）電動力學

考慮平直的閔可夫斯基四維流形，設四維勢為，

作兩次外微分運算，由可得

$frac{{partial F_{mu upsilon } }}{{partial x^gamma }} + frac{{partial F_{lambda mu } }}{{partial x^upsilon }} + frac{{partial F_{upsilon lambda } }}{{partial x^mu }} = 0$

此即

和

$[ abla imes E + frac{{partial B}} {{partial t}} = 0 ]$

又設四維電流密度為$gamma ^1 = j_0 dx^0 + j_1 dx^1 + j_2 dx^2 + j_3 dx^3 $

由[tex]*deltaomega^2 =(-1)^2 d*omega^2 =*gamma^1 [/tex]可得

[latex]frac{{partial F_{mu upsilon } }}{{partial x^upsilon }} = j_mu[/latex]

此即

$$
ablacdot E=
ho $$

和

[

abla imes B - frac{{partial E}}

{{partial t}} = j

]

（4）量子力學/規範場論

我們可以類比上同調定義相關同調、泛同調，從而把同調論推廣到非線性領域，例如楊-米爾斯方程。這方面的理論還處於研究階段，暫不介紹。

同調論到此為止，下面說說現代數學對現代物理學的意義。很多物理學家，尤其是實驗物理學家和應用物理學家排斥數學，好像用不著演繹，自然規律都能從唯象中歸納出來似的。我想，大家都聽說過「欲窮千里目，更上一層樓」吧。要想看得更遠，需要站在巨人的肩膀上。縱觀物理學史，幾乎每一次數學形式的進步都大大地促進了物理學的發展。且不說圓錐曲線理論對發現行星運動定律的影響，且不說微積分對研究變加速、不規則和非線性問題的影響，那些都是幾百年前的事了，我們且來看看近代的例子。

大家都知道愛因斯坦提出了廣義相對論，但廣義相對論是怎麼提出的，這其中經歷了多少坎坷卻不是一本科普書能講得清楚的。廣義相對論的物理思想是非常簡單的，但為什麼老愛有了這個想法後又經歷了好幾年才給出引力場方程呢？不是他腦子笨，而是當時黎曼幾何還不成熟，沒人會想到那正是適合於描述引力的語言。愛因斯坦在建立相對論的過程中發展了黎曼幾何，從這個意義上講他也算半個數學家吧。

那麼，與相對論並駕齊驅、共同構成現代物理學支柱的量子力學又如何呢？這就不能不說說經典力學的發展。為了使經典力學適用範圍更廣泛，拉格朗日等人將數學分析引入牛頓力學，用更廣泛的能量、動量概念代替力、加速度等概念，得到分析力學。後來的發展表明，牛頓力學不適合描述高速和微觀現象，而從分析力學的變分原理（最小作用量原理）出發卻可以導出電動力學、量子力學、統計力學乃至全部物理學。而最小作用量原理又是微分形式上同調於零的必然結果。可見，數學形式的發展對物理學的影響是非常巨大的，數學雖是形式，但形式中蘊含了物理內容。

談到作用量，就不得不談一下對稱性。諾特定理表明，作用量的每一個連續對稱性都對應一種守恆律。例如，動量是空間平移變換的生成元，空間平移對稱性就導致動量守恆；角動量是空間旋轉變換的生成元，空間旋轉對稱性就導致角動量守恆，等等。量子力學中，很多時候並不需要具體計算某些細節，只要進行對稱性分析就能簡潔地得到結論。所以，對稱性分析有利於量子力學的發展。那麼，用什麼描述對稱性呢？那就是羣論。例如，前面談到的角動量，就可以用SO(3)描述。量子力學的角動量問題，就是要解SO(3)的李代數方程。

談到對稱性，還不得不談一談規範場。例如電磁場就是U(1)規範場，楊-米爾斯場就是SU(2)規範場。羣論可以幫助我們統一基本相互作用，例如$SU(2) imes U(1)$統一了弱相互作用和電磁相互作用。所以，羣論對物理學發展具有重大意義。

談到規範場，還不得不談一談纖維叢。在柱形磁場外面運動的電子為什麼會發生干涉呢？因為場強為零但規範勢不為零。在微分幾何中，場強就是纖維叢的曲率，規範勢就是纖維叢的聯絡。由於柱形磁場的存在，空間的拓撲性質發生了變化，由單連通變成了多連通。於是，當矢量繞行一週回到原位置時就相差了一個相因子，並且與初始狀態不等價。為了描述這種現象，就要引入空間的自同構變換，這些自同構變換構成一個羣，它就是聯絡的和樂羣。

綜上所述，數學形式的發展對於物理學的進一步發展是至關重要的，絕不是一種故意顯酷的裝B行為。

欲知如何從黎曼幾何導出廣義相對論，如何用李羣分析量子力學，如何從纖維叢導出規範場，請聽下回分解。