費馬大定理的提出

17世紀初，歐洲流傳着公元三世紀古希臘數學家丟番圖所寫的《算術》一書。大約在1637年前後，法國數學家費馬在丟番圖的《算術》的第二卷關於畢達哥拉斯三元組的頁邊上，寫下了一段結論“不可能將一個立方數寫成兩個立方數的和；或者將一個4次冪寫成兩個4次冪之和；或者，更一般的說，不可能將一個高於2次的冪寫成兩個同次冪的和”。接着，他又俏皮地寫下一個附加的評註：“我對此命題有一個十分美妙的證明，只是這裏空白太小，寫不下”。上述評註是費馬死後5年的1670年發表的。人們稱上述問題爲“費馬大定理”。簡單說，費馬大定理就是n≥3時，下面不定方程沒有正整數解。

費馬的附加評註讓當時的很多數學大咖困惑，既然存在美妙證明，那就證唄，可這看似簡單的問題卻無人能給出證明。於是開始搜尋費馬的美妙證明方法，人們遍尋費馬的手跡，並沒有發現這一美妙的證明，不過，也有所收穫，找到了他對於n=4的證明，下圖是大學數學教材初等數論中給出的費馬關於n=4證明的方法，一般中學生都能看懂，費馬對這一證明頗爲得意，稱之爲“無窮下降法”。

費馬關於n=4的證明方法

或許費馬認爲用這種方法可以證明任意n≥3時的情形，但事實卻不是那麼簡單，因此只能認爲上述結論是猜想，後來很多數學家以及民間數學愛好者都試圖證明該結論，卻都以失敗告終。以至於除了它以外，費馬提出的其它猜想早已得到解決。

費馬

費馬

皮耶·德·費馬是17世紀法國律師，也是一位業餘數學家。之所以稱業餘，是由於費馬具有律師的全職工作。。著名的數學史學家貝爾在20世紀初所撰寫的著作中，稱費馬爲”業餘數學家之王“。貝爾深信，費馬比同時代的大多數專業數學家更有成就。

漫長曲折無果的求證之路

由費馬的n=4證明可知，如果能夠證明對於任意奇質數p來說，（1）式沒有正整數解，那麼對p的任一倍數n來說，（1）式也沒有整數解，而費馬問題也就完全解決了，但談何容易。費馬的猜想提出一百年後，歐拉大約在1753年至1770年之間才運用代數整數環的性質證明了p=3的情形，而且歐拉的證明過程也有漏洞，不過這個漏洞由勒讓德補充了。勒讓德和狄利克雷分別於1825年和1828年獨立地證明了p=5的情形，拉梅於1839年證明了p=7的情形。

歐拉

在19世紀，對費馬大定理的證明作出最大貢獻的非庫默爾莫屬。

1884年，庫默爾證明了若（2）具有唯一分解性，則費馬大定理對P具有成立，並用統一方法驗證得到p≤19成立。

1847年至1851年庫默爾又發明了一種“理想數”，用“理想數”的唯一分解性使得費馬大定理的證明獲得重大突破。他建立正規數的一種判別方法，驗證了p≤100中，除了37，59，67外都是正規數。他又採用進一步方法，證明了費馬大定理對p=37,59,67也成立。但他的證明也有漏洞，不過後來被人補上。由此費馬大定理對p≤100成立。

庫默爾

希爾伯特在1900年世界數學家大會上談到研究數學問題的重要性時，有如下一段論述：受費馬問題的啓發，庫默爾引進了理想數，並發現了把分圓域的理想數分解爲理想質數的惟一分解定理，這個定理今天已經被戴德金和克羅內克推廣到任意代數領域，在近代數論中佔着中心地位，其意義已經遠遠超出數論的範圍而深入到代數和函數論的領域。足見對庫默爾研究的肯定。

從庫默爾以後至20世紀70年代，人們繼續研究費馬大定理對於更大質數的成立，到1976年，已經知道，費馬大定理對於小於125000的質數成立。可是，實事求是說，這些研究沒有本質的進展。人們完全看不到解決費馬大定理的任何希望。甚至有人預言，這個問題本世紀是不可能得到解決的。但是，希望總是在最絕望時出現。

“山重水複疑無路，柳暗花明又一村”

1983年德國青年數學家法廷斯結合使用了蘇聯和美國哈弗兩個代數幾何學派的工作，證明了莫代爾猜想。

莫代爾猜想：如果有理係數的多項式方程Q（x,y）=0定義的曲線的虧格≥2，則此方程只有有限多個有理數解。

法廷斯在證明過程中，使用了20世紀50年代以來發展的現代代數幾何工具。莫代爾猜想盡管不能直接解決費馬大定理，但它向人們提供了另外一條路向其靠近，而且有希望從代數幾何方面獲得解決費馬大定理的有力工具。

現在開始故事的轉折部分，在德國的一個小鎮，多年來，這裏成爲世界各地數學家的“旅遊區”。每年會舉辦數學問題的高級研討會，交流數學成果和思想。1984年秋，一羣優秀的數論學家聚會，討論關於橢圓曲線的各種突破性工作。德國數學家弗雷演講中提到一條橢圓曲線方程——弗雷曲線，然後他推導出這條曲線不滿足關於橢圓曲線的谷山-志村-韋依（TSW）猜想.也就是說，如果費馬大定理不成立，那麼著名的TSW猜想也不成立。即由TSW猜想可以推出費馬大定理。

TSW猜想：Q（有理數）上的每條曲線都是模曲線

在弗雷演講的時候，所有的在場觀衆都發現其中有個明顯的邏輯錯誤，每個人都想補救這一缺陷，但沒人做得到，問題太難了，直到1986年世界數學家大會期間，弗雷演講的兩位聽衆裏貝特和梅祖爾，前者向後者講述他兩年來完善弗雷演講缺陷的方法和遇到的困難，沒想到後者的提示讓其很快完成了證明弗雷論斷的工作。

於是證明費馬大定理的工作變成了證明TSW猜想，甚至只要對弗雷曲線證明證明TSW猜想成立即可，但當時許多數學家認爲這依然困難，裏貝特本人也持悲觀態度。但懷而斯堅信可以。

懷而斯在當時已經成長爲數論，橢圓曲線和模型式方面成熟而傑出的青年數學家。他自忖：“當然，已經很多年了，TSW一直沒有解決，沒有人對怎樣處理它有任何想法，但至少它屬於數學的主流，……，我不認爲我在浪費自己的時間，這樣，吸引我一生的的費馬傳奇故事和一個專業上有用的問題結合起來了”。懷而斯下決心研究TSW猜想。從那時起的7年，他除了教書，指導研究生和參加必要的研討以外，放棄了所有與證明TSW猜想無關的研究工作，躲在家中一心一意研究TSW猜想。他不與任何人討論，也不發表任何部分結果，反而爲了掩人耳目，時不時發表一些小論文。甚至與他關係密切的同事也沒注意到他的研究所在。他的老師也毫不知情。

懷而斯

在懷而斯研究之初，1988年他讀到了報紙上宣稱東京大學的宮岡洋證明了費馬大定理。不過最後發現了邏輯上的錯誤，一批數論學者試圖補救也無濟於事。這一場虛假證明使懷而斯虛驚一場。

1990年，懷而斯開始研究究巖澤理論來尋找突破，但到1991年仍然毫無結果，他認爲歸隱5年而無結果，應該重返學術交流圈以便了解新的學術成果。他參加了波士頓舉行的橢圓曲線會議。在這個會議上，他的老師科茨告訴他，一位叫弗萊切的學生用科利瓦金的方法研究橢圓曲線。懷而斯意識到這個方法很適合他，但這涉及到一些他不熟悉的問題，爲了保證證明的正確性，他向同事凱茲尋求幫助。終於在1993年，他確信證明已經完成。6月在劍橋舉行“L—函數和算術”學術會議，會議的組織者之一，他的老師科茨應他請求，破例爲他安排了題爲“模形式、橢圓曲線和伽羅瓦表示”的三次演講。他的演講隻字不提費馬猜想，最後一句：“這樣我就對所有半穩定橢圓曲線證明了TSW猜想”。在場專家都知道，這是在宣佈證明了費馬大定理呀，會場立馬沸騰。因爲這次會議有中國數學家參會，會議當天國內就獲得了此消息。

興奮過後，開始了嚴格的審查，審查讓人6位，每人負責審查一章，其中第三章的審查者凱茲發現了一個問題，起初懷而斯以爲很容易補救，後來意識到困難重重。在各種壓力下，1993年12月4日懷而斯向數學界發了一個電子郵件。大意是：發現很多問題，大部分已經解決，但有一個特別的問題沒有解決，我相信我能解決。此時，他已經準備宣佈失敗，他的好友薩爾納克建議他尋求幫助，懷而斯認真考慮後邀請他以前的學生，文章的審稿人之一泰勒來一起工作，但直到1994年夏仍沒結果。這年8月，世界數學家大會在蘇黎世召開，懷而斯與菲爾茲獎無緣。大會邀請了他作報告，他介紹了他的研究進展以及困難，大廳熱烈的掌聲是對他努力研究的肯定，這給了他很大鼓勵。

菲爾茲獎

會後不久，一天早晨，他再一次尋找失敗的原因，突然冒出一個想法，將巖澤理論和科利瓦金-弗萊切方法結合起來，果然情況如此，證明最後歸結爲一個純代數問題。1994年10月25日兩篇文章一起寄到了國際權威數學刊物《Annals of Mathematics》,一篇是懷而斯的《模橢圓曲線和費馬大定理》，一篇是他與泰勒合作的《某些Hecke代數的環論性質》。文章於1995年發表。至此，一個困惑人間智者們358年的謎題終於揭開了。

1998年世界數學家大會授予懷而斯一個特別的菲爾茲獎（1994年他已經過40歲）

艱辛證明之路告訴我們：一個難題的解決需要創造新的方法，而這推動了數學的發展，後者比前者更重要。