之前寫了特徵值和特徵向量的幾何直觀，來更形象地理解它們。由於它們過於重要，本文繼續。

一、性質：矩陣冪

  1. Trace=特徵值之和
  2. det=特徵值之乘積
  3. 引出線性代數第3個經典公式：A=S^{}Lambda S^{-1} ，前提A可逆
  4. if Ax=lambda x，則A^{2} x=lambda Ax=lambda ^{2}x ，即矩陣A^{2} 的特徵值為lambda ^{2} ，特徵向量相同；k階同樣成立

二、應用：求解差分方程

u_{k+1} =Au_{k}

  1. u_{k} =A^{k} u_{0} ，遞歸
  2. A=S^{}Lambda S^{-1} ，前提A可逆，則對角化

  3. u_{0} =c_{1}x_{1} +c_{2}x_{2}+ ......+c_{n}x_{n}，神來之筆：拆解u_{0}
  4. Au_{0} =c_{1}lambda _{1} x_{1} +c_{2}lambda _{2}x_{2}+ ......+c_{n}lambda _{n}x_{n}，左乘A
  5. A^{100} u_{0} =c_{1}lambda _{1}^{100} x_{1} +c_{2}lambda _{2}^{100}x_{2}+ ......+c_{n}lambda _{n}^{100}x_{n}，核心結論
  6. A^{100} u_{0} =Lambda ^{100}SC ，This is the Matrix language.
  7. lambda <1，則收斂；lambda >1，,則發散

採用特徵值、特徵向量將矩陣對角化後，它具有了「不怕乘」的特異功能，將矩陣冪運算簡化到極致，於是有了上述推導過程。

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