計算機中的數分為整數與實數。對於實數，絕大多數現代的計算機系統採納了所謂的浮 點數表達方式。 這種表達方式利用科學計數法來表達實數，即用一個尾數（Mantissa ）， 一 個基數（Base），一個指數 e(階碼 E=e+127 或者 e+1023)（exponent）以及一個表示正負 的符號(Sign)來表達實數。 比如 123.45 用十進位科學計數法可以表達為 1.2345 × 10^2 ， 其中 1.2345 為尾數，10 為基數，2 為指數。 浮點數利用指數達到了浮動小數點的效果， 從而可以靈活地表達更大範圍的實數。 又對於一個二進位的數比如 1011.01，用科學計數 法也可以表示為：1.01101*2^3，其中 1.1101 為尾數，2 為基數，3 為指數。

一，浮點數的存儲方法

計算機中是用有限的連續位元組保存浮點數的。 保存這些浮點數當然必須有特定的格式， C/C++中的浮點數類型 float 和 double 採納了 IEEE 754 標準中所定義的單精度 32 位 浮點數和雙精度 64 位浮點數的格式。 在 IEEE 標準中，浮點數是將特定長度的連續位元組 的所有二進位位分割為特定寬度的符號域，指數域和尾數域三個域， 其中保存的值分別用 於表示給定二進位浮點數中的符號，指數和尾數。 這樣，通過尾數和可以調節的指數（所 以稱為"浮點"）就可以表達給定的數值了。

根據國際標準 IEEE 754，任意一個二進位浮點數 V 可以表示成下面的形式：

V = (-1) ^ s × M × 2 ^ E

（1）(-1)^s 表示符號位，當 s=0，V 為正數；當 s=1，V 為負數。

（2）M 表示有效數字，大於等於 1，小於 2，但整數部分的 1 不變，因此可以省略。

（3）2^E 表示指數位。

比如： 對於十進位的 5.25 對應的二進位為：101.01，相當於：1.0101*2^2。所以，S 為 0，M 為 1.0101，E 為 2。 而-5.25=-101.01=-1.0101 *2^2.。所以 S 為 1，M 為 1.0101，E 為 2。

對於 32 位的單精度數來說，從低位到高位，尾數 M 用 23 位來表示，階碼 E 用 8 位來表示， 而符號位用最高位 1 位來表示，0 表示正，1 表示負。對於 64 位的雙精度數來說，從低位 到高位，尾數 M 用 52 位來表示，階碼用 11 位來表示，而符號位用最高位 1 位來表示，0 表示正，1 表示負。

IEEE 754 對有效數字 M 和指數 E，還有一些特別規定。 前面說過，M 可以寫成 1.xxxxxx 的形式，其中 xxxxxx 表示小數部分。IEEE 754 規定，在計算機內部保存 M 時，默認這個 數的第一位總是 1，因此可以被捨去，只保存後面的 xxxxxx 部分。比如保存 1.0101 的時候， 只保存 0101，等到讀取的時候，再把第一位的 1 加上去。這樣做的目的，是節省 1 位有效 數字。以 32 位浮點數為例，留給 M 只有 23 位，將第一位的 1 捨去以後，等於可以保存 24 位有效數字。

對於 E， 首先，E 為一個無符號整數（unsigned int）。這意味著，如果 E 為 8 位，它的取 值範圍為 0~255；如果 E 為 11 位，它的取值範圍為 0~2047。然而科學計數法中的 E 是可 以出現負數的，所以 IEEE 754 規定，E 的真實值必須再減去一個中間數，對於 8 位的 E， 這個中間數是 127；對於 11 位的 E，這個中間數是 1023。 比如，2^2 的 E 是 2，所以保 存成 float 32 位浮點數時，必須保存成 2+127=129，即 10000001。

此外，E 還需要考慮下面 3 種情況：

（1）E 不全為 0 或不全為 1。這時，浮點數就採用上面的規則表示，即指數 E 的計算值減 去 127（或 1023），得到真實值，再將有效數字 M 前加上第一位的 1。

（2）E 全為 0。這時，浮點數的指數 E 等於 1-127（或者 1-1023），有效數字 M 不再加上 第一位的 1，而是還原為 0.xxxxxx 的小數。這樣做是為了表示±0，以及接近於 0 的很小的 數字。

（3）E 全為 1。這時，如果有效數字 M 全為 0，表示±無窮大（正負取決於符號位 s）；如 果有效數字 M 不全為 0，表示這個數不是一個數（NaN）。

二，浮點數的轉換方法

浮點數的轉換方法可以分為如下 2 種情況：

1.給出一個浮點數，計算對應的二進位 比如給定一個浮點數，7.25，如何計算它對應的單精度和雙精度的二進位呢？

首先，十進位浮點數 7.25 對應的二進位(二進位，十進位和十六進位轉化方法：點擊這裡) 為：111.01。用二進位的科學計數法為：1.1101*2^2。所以，按照上面浮點數的存儲結構， 得出符號位為： 0，表示正數；階碼（指數） E 單精度為 2+127=129，雙精度為 2+1023=1025； 小數部分 M 為：1101。 所以，

單精度的二進位位：0 10000001 1101 0000000000000000000;

雙 精 度 的 二 進 制 位 ： 0 10000000001 1101 000000000000000000000000000000000000000000000000

第一步:將 178.125 表示成二進位數:(178.125)(十進位數)=(10110010.001)(二進位形式);

第二步:將二進位形式的浮點實數轉化為規格化的形式:(小數點向左移動 7 個二進位位可以 得到)

10110010.001=1.0110010001*2^7 因而產生了以下三項:

符號位：該數為正數,故第 31 位為 0,佔一個二進位位.

階碼：指數(e)為 7,故其階碼為 127+7=134=(10000110)(二進位),佔從第 30 到第 23 共 8 個 二進位位.

（註：指數有正負即有符號數，但階碼為正即無符號數，所以將 e 加個 127 作為偏移，方 便指數的比較）

尾數為小數點後的部分, 即 0110010001.因為尾數共 23 個二進位位,在後面補 13 個 0,即 01100100010000000000000

所以,178.125 在內存中的實際表示方式為:

0 10000110 01100100010000000000000

2.給出一個浮點數的二進位，計算對應的十進位值

而如果而如果給出了一個浮點數的二進位，如何計算它對應的十進位，其實就是 1 中的逆 運算。分別求出對應的符號位，階碼指數 E 和小數 M 部分，就可以了。比如，給定一個單 精度浮點數的二進位存儲為： 0 10000001 1101 0000000000000000000; 那麼對應的符號為：0，表示正數；階碼 E 為：129-127=2；尾數為 1.1101。所以對應的二 進位科學計數法為：1.1101*2^2，也就是 111.01 即：7.25。

小數的輸出

小數也可以使用 printf 函數輸出，包括十進位形式和指數形式，它們對應的格式控制符分別是：

%f 以十進位形式輸出 float 類型；

%lf 以十進位形式輸出 double 類型；

%e 以指數形式輸出 float 類型，輸出結果中的 e 小寫；

%E 以指數形式輸出 float 類型，輸出結果中的 E 大寫；

%le 以指數形式輸出 double 類型，輸出結果中的 e 小寫；

%lE 以指數形式輸出 double 類型，輸出結果中的 E 大寫。

對代碼的說明：

%f 和 %lf 默認保留六位小數，不足六位以 0 補齊，超過六位按四捨五入截斷。

將整數賦值給 float 變數時會變成小數。

以指數形式輸出小數時，輸出結果為科學計數法；也就是說，尾數部分的取值為：0 ≤ 尾數 < 10。

另外，小數還有一種更加智能的輸出方式，就是使用%g。%g 會對比小數的十進位形式和指數形式，以最短的方式來輸出小數，讓輸出結果更加簡練。所謂最短，就是輸出結果佔用最少的字元。

%g 使用示例：

運行結果：

a=1e-05

b=3e+07

c=12.84

d=1.22934

對各個小數的分析：

a 的十進位形式是 0.00001，佔用七個字元的位置，a 的指數形式是

1e-05，佔用五個字元的位置，指數形式較短，所以以指數的形式輸出。

b 的十進位形式是 30000000，佔用八個字元的位置，b 的指數形式是 3e+07，佔用五個字元的位置，指數形式較短，所以以指數的形式輸出。

c 的十進位形式是 12.84，佔用五個字元的位置，c 的指數形式是 1.284e+01，佔用九個字元的位置，十進位形式較短，所以以十進位的形式輸出。

d 的十進位形式是 1.22934，佔用七個字元的位置，d 的指數形式是 1.22934e+00，佔用十一個字元的位置，十進位形式較短，所以以十進位的形式輸出。

讀者需要注意的兩點是：

%g 默認最多保留六位有效數字，包括整數部分和小數部分；%f 和 %e 默認保留六位小數，只包括小數部分。

%g 不會在最後強加 0 來湊夠有效數字的位數，而 %f 和 %e 會在最後強加 0 來湊夠小數部分的位數。

總之，%g 要以最短的方式來輸出小數，並且小數部分表現很自然，不會強加零，比 %f 和 %e 更有彈性，這在大部分情況下是符合用戶習慣的。

除了 %g，還有 %lg、%G、%lG：

%g 和 %lg 分別用來輸出 float 類型和 double 類型，並且當以指數形式輸出時，e小寫。

%G 和 %lG 也分別用來輸出 float 類型和 double 類型，只是當以指數形式輸出時，E大寫。

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作者：洛銘

來源：CSDN

原文：浮點數格式與存儲 - weixin_42528287的博客 - CSDN博客

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