浮點數簡介

浮點數的表示方法：目前流行的浮點數標準是IEEE754。用64個bit來表示雙精度。

首位為符號位s，0代表正，1代表負。

接下來的11位代表指數，將其理解為一個無符號的數字e，例如，00000000011就代表3。定義指數（階碼）M和偏置Bias，其中偏置，定義，容易看出E的範圍為-1022到+1023。對於單精度，。

最後的52位是編碼尾數M，第一位的權重是1/2，第二位的權重是1/4… 第52位的權重是。這裡有一個隱藏位，在首位之前，代表1.因此M的範圍實際上是. 當52位全為0時，M為1 當全為1時，M非常接近2，但還差了一個

浮點數. M在1到2之間，E在到，這兩者配合無論是精度還是範圍都足夠大了。

浮點數加法（以0.2+0.4為例）

浮點數加法的計算步驟：浮點數有自己的一套計算方法，以下藉助例子詳細闡述，總之核心思想就是保持階碼一致，當需要移位的時候，就拋棄掉尾數的最後一位，因為這一位的權重最小，但就是拋棄尾數的最後幾位導致了誤差。

對階&移位-->有效數求和-->規格化-->舍入處理-->溢出判斷.

以0.2+0.4為例逐步分析。

首先，利用http://www.binaryconvert.com 將0.2和0.4轉換為二進位表示，之後從二進位到十進位的逆轉換同樣是由這個網站完成的。

0.2：0 01111111100 1001100110011001100110011001100110011001100110011010

0.4：0 01111111101 1001100110011001100110011001100110011001100110011010

為了下面闡述方便，直接將隱藏位也一起寫出來。

0.2：0 01111111100 11001100110011001100110011001100110011001100110011010

0.4：0 01111111101 11001100110011001100110011001100110011001100110011010

簡單check一下，可以看出0.2的階碼E=-3，也就是1/8，乘上M後可以得到0.2；同理0.4的階碼E=-2.

1. 對階&移位

對階：先求階差，明顯0.2的階碼比0.4的階碼小1.

移位：小碼向大碼看齊，即將0.2的階碼變成-2，同時將尾數右移一位。這個操作其實就是讓階碼+1，導致原數V擴大兩倍，同時尾數右移一位，導致原數V縮小兩倍。二者相互抵消。要注意在移動尾數時要連隱藏位一起移動，同時拋棄末位。這樣一來0.2變為：

0.2：0 01111111101 01100110011001100110011001100110011001100110011001101

2. 有效數求和

將0.2和0.4的尾數求和，包含隱藏位

0.2：01100110011001100110011001100110011001100110011001101

0.4：11001100110011001100110011001100110011001100110011010

同樣利用一個小網站http://www.99cankao.com 來實現這一計算，計算結果已經過手動check，為：

100110011001100110011001100110011001100110011001100111

有5位。

3. 規格化

雙精度數字只允許尾數為52位，所以上述求和的數字要進行規格化，即將原來的大階碼（-2）加一，變成-1，即01111111110

同時將尾數和右移，與前面移位中類似，階碼+1讓V乘以2，尾數右移讓V除以2。但要注意此時右移是不包括隱藏位的，簡單分析一下原因：

如果不進行規格化，相當於：

100110011001100110011001100110011001100110011001100111

中，10的權重為1，也即換位十進位為1*2+0+1=2，再加上後面的小數，我們這裡假設為0.4（數字隨便取的，只為了說明方便）。那麼此時尾數M=2.4. 為了使其回到原本的浮點數表示，我們將階碼加一，那麼相應的尾數就要除以2，變成1.2。在浮點數表示中，隱藏位始中給出一個1，就需要尾數給出0.2，這樣才能得到1.2。那麼自然地，100110011001100110011001100110011001100110011001100111中，黑色部分給出0.4，將其右移一位，拋棄末位，就可以得到0.2。

綜上所述，規格化時尾數的移位不包括隱藏位，但是第一步移位的時候要帶上隱藏位，原因是相似的，這裡就不展開了。

4. 舍入處理

在對0.2規格化時，100110011001100110011001100110011001100110011001100111，末位是1，IEEE754的策略是0舍1入，因此去掉隱藏位，初位前加0，拋棄末位，並加一後變為：

0011001100110011001100110011001100110011001100110100

5. 溢出處理

整合得到最後的結果為

0 01111111110 0011001100110011001100110011001100110011001100110100

這就是我們最後得到的0.2+0.4得二進位表示，將其轉換為十進位看一下結果：

0011111111100011001100110011001100110011001100110011001100110100

可以看出最後的結果6.00000000000000088817841970013E-1，略大於0.6，在Python中將其處理為0.6000000000000001也就很自然了。

總結

通過這個例子我們可以看出，計算機表示數字具有天然的誤差，不管你採用多高的精度，多少個bit，最後至少都會產生一個的誤差。

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