1.結構主義數學哲學

哲學部分的內容主要參考了Shapiro的《數學哲學：對數學的思考》，我並未看過很多哲學方面的論述，理解上很可能會有偏差。更詳細的介紹可以參考The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic中關於結構主義的章節

結構主義認為數學的基本對象是結構，而不是單獨的對象。結構是一類系統的一般特徵，系統是一個集合連同其上的關係。集合（作為系統的論域）中的點實際上只是佔據一個結構中的位置，重要僅僅是它系統中其他點的關係。結構中的位置沒有結構之外的同一性或特徵（這與現有的集合論基礎不符合，因為我們可以談論任意一個集合的性質或任意兩個集合是否相等）。

此外，結構主義的基本原則還應該加上」同構的對象同一「，即兩個數學對象，如果它們的結構性質完全相同，那麼我們就應該認為它們是同一個。顯然，這在集合論中是不成立的。

因此，算術研究對象是自然數結構，實分析研究的是完全實閉域結構（分析中的完全實閉域結構應該是一個二階結構，因為我們不僅要考慮實數，還要考慮實數的子集、實數上的函數），群論研究的對象是群結構的類。一個自然數的本質是它與其他自然數的關係，談論單獨的自然數沒有意義（在集合論中我們確實可以有意義的談論單個自然數）。

但是結構到底是什麼？如果對「系統」和「結構」都按照通常的集合論式理解（按照一種三分法，即一個群包括三部分：一個underlying set作為論域，一個二元運算作為結構，三組等式作為性質），那麼這些系統和結構自身也是一些單獨的對象。

或許一種被稱為「本體論取消結構主義」的主張更務實一些，即建立結構的基礎理論可以不按結構主義的觀點來理解。我們可以繼續用集合論作為元理論，然後在集合論中討論結構，保持結構的態射等等。這樣的結構主義似乎是一種方法論，而不是一種嚴格的哲學立場

2.範疇論式結構主義

對結構主義在技術上的探索有很多，但範疇論可能是在直覺上最清晰的體現了結構主義精神的一種，並且在技術上也是最有趣的。

我們經常能聽到一些關於範疇論的誤解，諸如」範疇論提供了一種新的數學基礎「之類。事實上，一個範疇也是一個代數結構，或者按照Steve Awodey的說法，是一個abstract algebra of functions，它仍然需要用集合論的術語來定義，並且在集合論中發展函子，自然變換，各種範疇構造的理論，證明那些常見的範疇論的定理。範疇論（至少是我們在流行的教科書中學到的那種範疇論）是一種數學理論，與群論、環論、線性空間等學科並無本質不同。

即便是topos theory也是如此，它仍然是建立在集合論（或者至少一個足夠強的元理論）中的。topos理論基本定理（foundational theorem of topos theory）是說對任意一個elementary topos ，切片範疇 也是一個elementary topos 並且由pullback along with 定義的（偽）函子 是logical函子。顯然談論切片範疇和證明這個定理都需要一定強度的元理論。

範疇學家們所說的範疇化數學基礎（categorical foundation of mathematics，以下簡稱CFM）應該是指在一些特殊的topos或範疇中發展的數學。根據通行的說法，在一個well-pointed topos with natural number object and axiom of choice里足以建立起通常的數學（對任意一個極限序數 ， 中所有集合和函數構成的範疇都是一個well-pointed topos ， 是自然數對象，如果工作於ZFC中，那麼選擇公理也在 成立，通常的數學如實分析和抽象代數，一般不會超過 ）。或者可以工作於任意一個有自然數對象的elementary topos的internal language（Mitchell-Benabou language）中，這相當於直覺主義高階算術。現在流行的所謂範疇論或topos theory提供了一個新的數學基礎的說法應該都是在上述兩種意義上的，比較有代表性的有：Lawvere的ETCS（對集合範疇Set的一階公理化）和CCAF（對所有的範疇和函子構成的範疇的一階公理化）、John Bell的Local set theory（本質是Mitchell-Benabou language的完善）、Lawvere&Kock的Synthetic differential geometry。

但是，一旦需要涉及topos或範疇外部的構造和定理，就無法只在一個topos或範疇內部工作了。我們應該也不能使用」對所有的topos/範疇，都有……「，」存在一個topos/範疇，滿足……「之類的斷言，這都不是topos/範疇內部的語言。所以這種意義下的範疇化數學基礎不包括任何關於categories或topos的一般性的構造和定理，如米田引理、伴隨函子定理等等常見的定理。另外，一些特殊的topos，比如Grothendick topos和realizability topos，如果涉及了這些topos的非一階性質，那麼也不屬於CFM。這裡的一階性質是指那些原則上可以用一階邏輯的語言形式化（注意不是在作為元理論的集合論中形式化）的性質。比如，elementary topos的定義性質就是一階的。在數理邏輯里，初等（elementary）與一階同義，這也是稱其為elementary topos的原因。

總結一下，我們在兩種意義上已經有了一個完全自足的，不需要依賴於現有的集合論（無論在概念上還是在邏輯上）的範疇化數學基礎：

1）以ETCS，CCAF為代表的對一些特殊topos或範疇（所有範疇和函子構成的範疇不是一個topos，我們也可以將CCAF與那些對topos的公理化/internal language區分開，前者似乎是更加徹底的範疇化數學基礎，而後者可以使用一個更狹義的稱呼「topos-theoretic foundation of mathematics。但需要指出的是，範疇學家們似乎普遍認為CCAF的公理化並不是非常成功，可能是因為所有範疇構成的總體應該是一個2-範疇而不是1-範疇。）的一階公理化；

2）任意一個有自然數對象的elementary topos 的internal language，相當於直覺主義高階算術添加一些可以用簡單類型論語言形式化的性質。因此這可以是多個不同的系統。

當然，我們在提及CTM的時候要小心一點，不要涉及那些topos或範疇的外部構造。

早期關於範疇論與數學基礎之間的關係有一些不嚴格的說法。在上個世紀70年代，證明論學家Solomon Feferman曾對範疇化數學基礎提出過嚴厲的批評。現在來看，Feferman的批評在很大程度上已經被克服，所以我們不再介紹這些爭論。

最後說一點題外話，範疇論式的結構主義似乎是一種天然的」多元宇宙觀「，即不存在一個唯一真實的數學宇宙，考慮到範疇學家的工作比集合論更接近主流的數學實踐，這對那些相信存在一個唯一的集合論宇宙的柏拉圖主義者們是一個很大的挑戰。

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