聽說數學好的人都有問題？
聽說數學好的人都有問題？
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作者： Marianne Freiberger
翻譯：Nothing審校：山寺小沙彌
對於數學家來說，提出一個好的問題往往比解決一個實際問題更加困難，一個好的問題可以為數學打開新天地。
什麼樣的數學問題才能被稱為好問題？如果你是一個面臨數學考試的學生的話，你可能會說簡單的就是好的。但如果你是因為愛好學習數學或者你是一位專業的數學家，你的答案將會變得不同。一個簡單的問題顯得很無聊,但你一定也不願意在不可能被攻破的問題上花費太多精力。數學家最喜歡的問題是那種可以帶來新的深刻見解，新的看待事物的方法或者可以引出新型問題的問題。問出好問題是數學工作的重要部分。但是這些好問題從哪裡來？
歸納
一個來源是歸納。一個極好的例子是350年前法國數學家費馬提出的，現在已經成為費馬最後定理。從畢達哥拉斯定理可以知道，如果，a，b，c是直角三角形的三條邊，而a，b是兩條直角邊，那麼有
費馬問自己如果將這個問題推廣會得到什麼：除了利用數字的平方，換成其他更大的冪次n>2。你是否可以找到三個正整數a，b，c滿足關係：
費馬的問題看起來非常直接，但是它花費了數學家們超過350年的時間來證明答案是否定的。在證明的過程中他們在數學中建立了新的領域，一種新的數學工具。事實上，費馬最後定理是一個更廣泛更深刻的問題的一種特殊情況。這個問題就是谷山—志村猜想。因此，費馬的一個簡單問題結出了碩果：它產生了新數學，新視野和看待事物的新方法。儘管解決這個問題很艱難，但很多數學家會同意它是一個好問題。
簡化和變化
如果一個問題可以提供大量變化的空間，那它也可以成為一個好問題。你可以從最小的變化開始看一看是否可以從這裡繼續前進下去，期待著有趣的事可以從這裡出現。
一個恰當的例子是藝術畫廊問題：你需要多少安全衛士才能確保完全管理整個藝術畫廊？
這個問題之所以非常有魅力是因為你很容易就能畫出畫廊的建築平面圖，也能很容易畫出駐紮在裡面的守衛。你可以從形狀比較簡單的畫廊開始。在問題提出後的第五年，也就是1978年，第一個答案出現了，答案討論的畫廊的形狀是簡單多邊形：簡單多邊形由直線圍成但是邊與邊之間不相交。守衛被安排在多邊形的頂角並且固定在自己的位置上。通過使用一條設計巧妙的進攻路線，數學家S.Fisk證明你需要的守衛數少於n/3，n是多邊形頂點數。
然而，讓這個問題變得非常困難的方法有很多種。例如，如果守衛不被限制在畫廊的角落會怎樣？如果他們可以到處走動呢？如果畫廊中間有障礙物擋住守衛的視線又會怎麼樣？如果牆是彎曲的呢？如果要守護的畫廊不是二維多邊形而是三維多面體呢？你還可以設想不是在畫廊內部守衛畫廊，而是在監獄的外部監管監獄。數學家已經找到了部分問題的答案，儘管有些解答方法異常困難。但是數學家們一直在致力於未解決的問題。30年過去了，問題仍在繼續。
尋找新工具
還有一些問題不光困擾著某幾個人而是困擾著幾代人，他們渴望找到新的數學工具。他們的答案醞釀著革命性的進步。一個著名的例子就是17世紀微積分的發明。相關的問題是「我們應該怎樣描述連續的變化」？一個例子就是一輛車的速度。計算汽車在旅途中的平均速度非常簡單：速率是單位時間內距離變化的比率，所以你可以用行進的距離除以行進所花費的時間。但是你不可能時時按照平均速率在前行。有時候你會前進的快一點有時候會慢一點，速率在整個過程中是連續變化的。為了得到你在某個時間點精確的速率，你需要計算距離隨時間的瞬時變化率。
儘管有很多人試圖解決這個問題，但是可以做到這一點的方法是由萊布尼茲和牛頓分別獨立發明的。因為變化率在各個領域普遍存在，如加速度是速度隨時間的變化率，生長是尺碼隨時間的變化率，冷卻和加熱時溫度隨時間的變化率等等。因此微積分在數學、物理和工程中是最強有力的工具。
承擔風險
不見得所有的問題都有有趣的答案。數學家不得不承擔面對他們所選擇的問題在自己有生之年都沒有被攻破的現實，或者即使被攻破了但是答案非常無聊的窘境。這都是創作過程的一部分。
後一種情況，大量工作之後卻得到一個無聊的結果，著名的例子是四色定理，它說的是四種顏色足以塗滿整個平面而且可以保證相鄰兩個色塊的顏色不同。它的證明是數學家和這個問題鬥爭了一個世紀之後，於20世紀70年代給出的，但結果是令人失望的。因為解答過程使用了非常粗魯的方法包括使用計算機檢查大量的可能性，來確保這個定理不存在反例。這種方法根本沒有帶來新的視野。
但是數學家不喜歡放棄。就像一隻貓會一直玩弄一隻老鼠，所以數學家經常在得到不滿意的答案後還要繼續玩味手裡的問題。他們會嘗試各種方法各種角度重新審視手中的問題。經常是一個新的問題，一種新的描述問題的方式帶來了令人滿意的答案和數學新的方向。
原文鏈接：
https://plus.maths.org/content/power-good-question
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