為什麼債券 Reinvestment & Market Price Risk 相抵消的點是麥考利久期，不是修正久期？

首先，這本身是一個近似的結果。所謂的抵消不是完全抵消而是基本消除小範圍yield波動導致的價格變化。其次，麥考利久期和修正久期對於較短年限的債券差距不大，即使年限很長，差距也不會太大。
之所以investment horizon定為麥考利久期可以抵消具體體現在小幅度yield變動時bond價格變動是線性的，斜率是久期。可以用excel模擬看看，我試過，不可能完全抵消，但是可以近似抵消

自己來回答一下。。。今天突然被某大學霸點醒了。。。之前只道取價格對YTM的對數是修正久期，就直覺地以為對未來的價格求導也是修正久期。。。然後一直在想這個風險抵消是不是方差的意思。。。然後被大學霸提醒說不能折現了再算。
=====================================以下：PV=Present Value

ModDur=Modified Duration
MacDur=MacaulayDurationYTM=Yield to Maturityt為持有的時間首先有修正久期：

$frac{mathrm{d}PV}{PVmathrm{d}YTM}=-ModDur$
然後對t時刻的價格求導 $frac{mathrm{d}P_t}{mathrm{d}YTM}=frac{mathrm{d}}{mathrm{d}YTM}PV(1+YTM)^t=-ModDurPV(1+YTM)^t+tPV(1+YTM)^{t-1}$ 令導數為零： $ModDurPV(1+YTM)^t=tPV(1+YTM)^{t-1}$

所以相抵消的點是因為折現的時候用的是YTM，所以算未來價格導數的時候多出來一項，就正好把修正久期變成了麥考利久期。。。

推薦閱讀：