MP59：幾何與物理III：Riemann幾何與廣義相對論

現在我們要開始接著過去的系列

幾何與物理I：流形上的分析力學
幾何與物理II：電動力學

繼續同步學習幾何和物理。在過去兩個系列中我們掌握了大量微分流形、拓撲和張量方面的知識，這些知識是繼續本系列 幾何與物理III：Riemann幾何與廣義相對論 的基礎。眾所周知科學史上對廣義相對論的研究伴隨著Riemann幾何中寶藏的挖掘，而Riemann幾何的數學結構是附加在光滑流形上的。我們在這一系列中將簡要地給出Riemann幾何相關的重要概念，並試圖讓讀者對廣義相對論有一定的物理直觀。這一系列完成後，我們在將來討論相對論量子力學、量子場論等有關統一理論的主題時，讀者將不至於缺乏最基本的概念。

我們在過去分析力學系列、電動力學系列中都看到了相當程度的幾何化。MP系列的特點就是儘可能多用先進的幾何知識描述老的物理問題。在量子力學的系列，我們學到的是完全不一樣的數學工具——主要是泛函分析和其中的運算元理論。然而，注意到在量子力學中我們討論的是Hilbert空間上的運算元，而Hilbert空間建立的基礎是內積。內積就是抽象空間中的幾何化工具，有了內積才能討論投影、正交、直和、分解等概念。所以，即使是在量子力學系列中，我們仍然隱含著幾何化物理問題的主脈。

現在，我們來到了廣義相對論(general relativity)，它是相當幾何化的一個物理分支。在廣義相對論中，因為質量（引力、動量等）彎曲的時空流形被賦予度量/度規，有了度規就可以確定長度。我們將特別關注切叢、聯絡——在彎曲時空流形上的平行移動。在切叢上有一種叫做Levi-Civita的聯絡，可以保持度規且是無撓的。實際上任何的度規都可以確定這樣的聯絡，它成為Riemann流形的切叢上最合適的聯絡，而這個聯絡的曲率就是Riemann曲率張量。

對Riemann曲率張量進行處理後，可以得到Ricci張量、廣義相對論的Lagrange量，以及最終的Einstein張量，這是Einstein廣義相對論方程的一半。Einstein方程描述的是時空受到物質（或者任何有能量或動量的事物）而彎曲的程度。類似於過去我們用外微分描述Maxwell方程的方式，我們要用Bianchi恆等式和能動張量(stress-energy tensor)來構造Einstein的廣義相對論方程，這個方程最基本的解就是球對稱靜態真空的Schwarzschild解。

本講先介紹Riemann幾何最基本的要素——Riemann度量，或者叫做度量張量，在物理上叫做度規張量。

Riemann度量

過去講到Minkowski空間的時候，介紹過Riemann度量

MP35：張量專題(4)：Riemann度量、Minkowski空間、Lorentz張量

微分流形上的型張量若在上，對於切向量都滿足：

則它是個對稱正定雙線性型，稱為Riemann度量(Riemannian metric)，又叫度量張量(metric tensor)，物理上叫度規張量。

這種型張量容易讓我們聯想到內積，內積是一對對偶空間上的雙線性映射

而通過Riesz引理可以過渡到自對偶空間上的雙線性映射

而型張量(場) 本質上可以寫成如下的逐點映射：

選定一個局部坐標系 ${x^k}$ 後，Riemann度量可以用對偶基的張量積來表示

微分流形上的張量場可以寫為

它可以用矩陣表示為

$[g_mu^ u] in mathbb R^{n imes n}, n = ext{dim}(M)$

對於無窮小的位移有

這種正定二次形也相當於是度量。

自然標架

我們也可以從古典微分幾何來理解Riemann度量。最簡單最平凡的情況還是歐式空間的自然坐標，它可以通過簡單的Cartesian積構造：

$mathbb{R}^n = mathbb{R} imes mathbb{R} imes dots imes mathbb{R}$

所以自然坐標系是我們永遠要特別關注的坐標系。以三維空間 $mathbb{R}^3$ 為例，有自然坐標系，常常為了方便引入另外一個曲線坐標系，譬如球坐標系，用曲線坐標系表示：

$egin{cases} u^1 = r \ u^2 = heta \ u^3 = varphi end{cases}$

其Jacobi行列式不為零

$ext{det}Big[frac{partial u^i}{partial x_i}Big] eq 0$

故兩個坐標系的點以可微的方式對應。

點作為向量可以表示為

$extbf{r} = extbf{r}(x^1,x^2,x^3) = extbf{r}(u^1,u^2,u^3)$

在自然坐標下，我們常常考慮偏導數，對應地在曲線坐標下我們考慮

$extbf{r}_i = frac{partial extbf{r}}{partial u^i}$

這是坐標曲線在點上的切向量，這組切向量構成曲線坐標的自然標架。

球坐標中的長度

自然基中的點視為對於原點具有長度，於是在自然標架上的投影分量為：

$egin{cases} r_1 = sin hetacosvarphi extbf{i} + sin hetasinvarphi extbf{j} + cos heta extbf{k} \ r_2 = rcos hetacosvarphi extbf{i} + rcos hetasinvarphi extbf{j} - rsin heta extbf{k} \ r_3 = -rsin hetasinvarphi extbf{i} + rsin hetacosvarphi extbf{j} end{cases}$

現在考慮一個球坐標下的變化量微分

它的長度需要用自然坐標系計算，且滿足

根據上式可以得到

如果讀者擁有良好的數學感覺，可以發現兩個坐標系下都具有正定二次型的形式。既然我們是來研究張量的，那必然要用線性代數的方式來思維，於是給出標準的表示方法：

$ds^2 = egin{bmatrix} dr_1 & dr_2 & dr_3 end{bmatrix} egin{bmatrix} 1 & & \ & 1 & \ & & 1 end{bmatrix} egin{bmatrix} dr_1 \ dr_2 \ dr_3 end{bmatrix}$

$= egin{bmatrix} dr & d heta & dvarphi end{bmatrix} egin{bmatrix} 1 & & \ & r^2 & \ & & sin^2 heta end{bmatrix} egin{bmatrix} dr \ d heta \ dvarphi end{bmatrix}$