之前對超導體的描述是針對基態的，我們現在希望從基態出發描述激發態。

我們已經構建了一個包含N個粒子的基態波函數 phi_N ，並且這N個粒子是兩兩成對的，我們希望再加一個處在平面波態的粒子，所以我們可以得到：

phi_{N+1,malpha}(old{r}_1,old{r}_2...old{r}_{N+1})=Aphi(old{r}_1-old{r}_2)...phi(old{r}_{N-1}-old{r}_{N}) imes e^{i mcdot old{r}_{N+1}}(1 uparrow)...(N downarrow)(N+1 alpha) \4.89

對應的BCS波函數為:

ilde{phi}_{m alpha}=sum_N lambda_N phi_{N+1,malpha}\4.90

ilde{phi}_{m alpha}=prod_{k e m }(u_{old{k}}+v_{old{k} }a_{old{k}uparrow}^+a_{old{-k}downarrow}^+ )a_{old{m}alpha}^+ phi_0\4.90

和之前一樣， phi_0 是真空態。

ilde{phi}_{m alpha} 態和之前超導態的能量差是多少？或者說增加一個電子之後，系統能量變化是多少？

上一節中的公式4.64表示了超導態的能量： mathinner{langle phi_N|mathcal{H}-E_F N|phi_N}mathinner{ angle }=2sum_{old{k}}xi_{old{k}}v^2_{old{k}}+sum_{old{kl}}V_{old{kl}}u_{old{k}}v_{old{k}}u_{old{l}}v_{old{l}}\4.64

想放上去一個 a_{old{m}alpha}^+ 電子，需要消滅原來處於這個態上的一對電子，減少的能量是：

-2v_{old{m}}^2xi_{old{m}}-2u_{old{m}}v_{old{m}}sum_{old{l}}u_{old{l}}v_{old{l}}V_{old{ml}}

後面這個等式的2來源於，我們要對m和-m求和兩次。

上一節4-68

Delta_{old{k}}=-sum_{old{l}}V_old{kl}u_old{l}v_old{l}=-sum_{old{l}}frac{1}{2}V_old{kl}sin2 heta_{old{l}}\4.68

這個函數叫做gap function。所以減少的能量可以重新寫為：

-2v_{old{m}}^2xi_{old{m}}+2u_{old{m}}v_{old{m}}Delta_{old{m}}

消滅之後，增加一個電子，需要的能量是： xi_{old{m}}

所以總的能量變化是4-94：

所以得到了4-94，增加一個電子的能量是 epsilon_m ， epsilon_m=sqrt{ Delta_m^2+xi^2_m} 。 epsilon_{old{m}} 是放置一個新的粒子處於m態需要的能來量。

注意到即便 xi_m=0 ， epsilon_m 也是一個有限值。這意味著excitation spectrum有一個energy gap。而且我們可以同時在化學勢上面和下面同時增加一個粒子。注意，在正常的金屬中這是不被允許的。

我們接下來想要研究2，3，4.。。n個激發的情況。但是有兩個激發時候寫出來的波函數4-95和原來的波函數不正交，如4-96所示。

我們有兩種方法解決這種問題：

1。在之前的波函數上加上一個 lambda ilde{phi} ，雖然這是一開始BCS的方法，但這樣做數值上很不友好。

2。創造一個算符，讓算符滿足費米子的對易關係。來表示我們想要的內容4-97。如果找到了，我們就能很輕易的描述激發。因為已經是在描述費米子了，所以不同的態之間就天然正交，不正交問題就解決了。

寫下來follow The physics of solids page709 到 710頁的內容

所以我們定義了滿足4-100中關係的算符， gamma^* ，

使用算符 gamma^* 極大的簡化了激發態的計算，這個算符使得激發態互相正交同時也和基態正交。我們把用算符 gamma^* 創造出來的粒子叫做quasiparticles。

對於物理的四條評註：

a。

b。可以測量gap。

c。

d。

關於gap=0時候，就是不出現超導時候：

Content Created: 2018年11月24日

Last updated：2018年12月4日

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