文章題目

Undersampled Radial MRI with Multiple Coils. Iterative Image Reconstruction Using a Total Variation Constraint

作者

Kai Tobias Block

Martin Uecker

Jens Frahm

原文鏈接

Undersampled radial MRI with multiple coils. Iterative image reconstruction using a total variation constraint

本文的一作和通訊作者都是KT Block。八卦一下他的學術經歷，不難發現文章發表時間是在他PHD期間。我不太清楚德國的制度，但是在美國，博士期間幾乎沒有獨立做通訊作者的。這篇文章我是在開始做MRI一段時間後（具體記不清了，可能是幾個月，也可能是一年多）讀到的。此文行文流暢，分析十分深入，我初讀如醍醐灌頂。後來越來越發現，寫文章的水平真是非常重要。好的文章邏輯清晰，方法明確，而有些文章雖然乾貨不少，但是讀起來相當晦澀，不免影響到了文章的流行程度。而且越來越發現，你的人脈，你老闆的人脈，都在一定程度上決定了你文章的引用率。KT Block之前在德國馬普，現在在NYU，兩個機構都是MRI研究大戶，而不乏臨牀應用，這點對於推廣成果非常有幫助。這篇文章在目前（2018.12.08）有了560的引用率，在MRI領域可以說是相當高的了。

此文精彩的地方很多。我這裡就單獨說一點，以後有時間再談其他的體會。這裡談一下對公式6的理解：

先說一下背景。MRI信號採樣的過程可以表達為一個公式。我們知道，採樣的對象是圖像，這裡用x表示，而採到的信號（或數據）是y。而採樣的過程用一個矩陣A來描述。這樣寫出來就是：

y=Ax (1)

非常簡潔。形象一點，圖像x在經歷了A採樣過後，變成了信號y。這裡的A可以很複雜，但是為了描述簡單，我們就用一個矩陣A來表述。那麼實際的過程是怎樣的？我們從MRI scanner上拿到了原始數據，也就是y，我們想要得到圖像x，那麼我們就需要解上面這個方程（1）。這也就是求逆的一個過程（inverse problem）。為瞭解這個方程，我們還必須知道採樣矩陣A。那麼怎麼解這個矩陣方程呢？我們稍微變化一下方程，不難得到：

Ax-y = 0 （2）

然後我們再對每個信號求一下平方，再相加，這個值依然是0，這就是l_2 norm：

這裡的 ||.||_2^2 表示求 l_2 norm，至於前面的1/2係數，並不重要。這個方程普遍被稱為cost function。我們想要求解x，也就是找到方程【4】的最小值。把公式寫成這樣，提供了一種迭代演算法來計算【4】的最小值。由於沒有辦法求解A的逆，我們只能用A的伴隨矩陣A#（adjoint matrix）。迭代演算法就是，每一次迭代，讓 x_{n+1} 比 x_n ，代入cost function得到的值更小。梯度法是一個普遍應用的演算法，這就回到了公式【6】，公式【6】就是每次迭代所要求的梯度。

說了這麼多，終於要說到這次的重點。我們看到，公式6有兩個等價的部分，而這也提供了兩種數值計算fidelity梯度的方法。一種就是公式中間那部分，另一種就是後面那部分。我們把這兩種方法重新寫一下，分別給予編號3.1和3.2：

A^#Ax-A^#y (3.1)

A^#(Ax-y) (3.2)

我們這裡假設，A僅包括一個NUFFT運算，和一個coil combination。假設信號是256x256x8（8個coil），圖像和信號大小一致，但是經過coil combination就只有256x256。採用3.2的演算法，Ax部分需要做256x256x8的FFT，括弧外面的部分也需要256x256x8的FFT。而採用3.1的演算法，需要做同樣多的FFT運算，但是，由於 A^#y 是可以提前計算的，而只有256x256的大小，小於y的256x256x8（採用3.2的演算法，y是需要保存在內存中的），這樣，如果採用3.1的演算法，內存上可以節省256x256x7。這對於GPU運算是非常有幫助的。這一點是我在一塊小的GPU上跑程序時為了省內存而發現的。後來鳥槍換炮，這一點就顯得不那麼重要了。但是，8倍的內存差距，其實還是不小的。

其實從這裡再展開，可以得到非常有意思的內容，我以後有時間再更新，包括但不限於：

  1. 可以利用A^#A 的Toeplize性質來避免NUFFT的interpolation，從而加速運算。
  2. 在計算Cost的時候的一些考慮。加入了regularization之後，y和x的scale變得很重要。同時cost也可以採用近似，從而加速。
  3. 有沒有更好的方法來替換interpolation？

下面兩篇文章對應1和3：

1. Rapid compressed sensing reconstruction of 3D non‐Cartesian MRI

2. Technical Note: Evaluation of pre‐reconstruction interpolation methods for iterative reconstruction of radial k‐space data

另外這篇論文也有很多其他亮點，以後有時間再說。


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