圖3 形狀公差的理想要素

如圖3所示的直線度要求，直線度沒有基準，所以直線度公差帶（相距為0.1的兩平行線之間的區域）的自由度沒有被約束。所以直線度對應的理想要素（一根理想的直線）的自由度不受外部特徵的約束，而受實際被測要素（彎彎曲曲的那根曲線）約束。在實際的測量計算的過程中，首先要根據彎彎曲曲的實際被測要素用切比雪夫法（最大值最小法）擬合出一根直線，這根直線就是傳說中的理想要素，這根直線在空間中的方向和位置完全是由被測要素（彎彎曲曲的線）所決定。

這根傳說中的理想直線有啥用呢？只要我們上下慢慢平移這個直線去剛剛好包住實際被測要素，然後最上面的一根線和最下面的一根線之間就形成了一個區域邊界，見圖3右邊那個圖，而這個區域也就是另外一個傳說中的最小區域法的那個最小區域，它具備3個特點：

1.這個最小區域的形狀和公差帶的形狀相同

2.這個區域包含所有的被測要素（或其提取要素）

3.這個區域在滿足上面1，2條件所有的區域中最小

到這裡有人會相當不耐煩了，說這麼多廢話，能不能整點有用的東西呢？

確實有點不值得，我們拐了那麼多個彎，就是想說明一個點：

這個最小區域的寬度d，就是我們在測量報告上看見的那個直線度的實際測量值。只要滿足d<=0.1,該零件的直線度合格（需要注意的是，直線度定義的是平行於視圖所有的線，每一條實際的被測線都有自己對應的d值，而我們把直線度最大的值作為輸出值）。

在回顧一下我們拐彎抹角的軌跡：

采點（實際要素的提取要素）-> 擬合理想要素->找到最小區域->得到實際測量值。

需要提出的是，最小區域法的那個區域和公差帶的形狀相同，但是不是公差帶。另外，最小區域的大小，取決於實際要素相對於理想要素的變動量了，再次強調，測量的過程就是實際要素和理想要素的比對過程。

到這裡，相信很多好專研的小夥伴又會問，那什麼是牛逼哄哄的切比雪夫法呢？它的計算公式是什麼樣的呢？

對不起，噁心大家一把，請關注我的下一篇文章吧。反正大家知道切比雪夫法是一種演算法就行了，和最小二乘法類似（也就是高斯法）。

大家需要記住切比雪夫法的特點是，絕對的中間主義，永遠處在最好和最壞的平分線上，誰都不偏袒。而最小二乘法，多少有點民主，傾向於大多數。

順便提一下，人家切比雪夫雖然比不上非人類的高斯牛逼，但他可是俄羅斯本土數學派的奠基人哦，他之前俄羅斯的數學爛得扔在地上沒人撿，他之後的俄羅斯派數學馬上升到世界前列的高逼格了（當然彼得大帝也有相當的作用）。

牛犢子扯遠了，繼續。

II. 定向最小區域法中的理想要素

在形狀公差的理想要素的擬合中，理想要素是完全由實際的被測要素擬合出來的，不受任何外界特徵的約束。如果說它是天生草根的屌絲一個，那麼在方向公差里的理想要素，還多少有點血統因素在裡邊：

圖4 方向公差的理想要素

關於方向公差的實際評價方法，官方說法是定向最小區域法。啥意思呢，也就是說存在這麼一個區域，它必須滿足三個條件：

1.這個最小區域的形狀和公差帶的形狀相同，而且方向必須絕對垂直於A

2.這個區域包含所有的被測要素（或其提取要素）

3.這個區域在滿足上面1，2條件所有的區域中最小

那麼這個定向的最小區域的寬度d,就是該垂直度的實際測量值。

這個最小區域的邊界怎麼來？也是由理想要素包出來的。此時的理想要素也是由實際被測要素擬合而來，只是這時的擬合不是自身自滅，沒人管的自由擬合，在擬合的過程中有個約束條件，那就是該理想要素（一個理想的平面）要絕對垂直於A基準，基於這種約束條件擬合好後，該理想要素在空間中的方向和位置就確定了。

再用這個擬合好的理想要素去夾被測要素，剛剛好夾住後，他就形成了定向最小區域的邊界。

所以對於方向公差中的理想要素，說它有點血統關係，那是因為在擬合它的時候受到一定的約束條件（和基準保持理想的方向關係）。

III. 定位最小區域法中的理想要素

定位最小區域法中的理想要素，簡直就是含著金鑰匙出生，它完全是由基準決定，和被測要素自身沒有任何關係，不需要擬合。見下圖:

圖5 位置公差的圖紙

在圖5中，公差帶在空間中的六個自由度被基準約束了，也就是說公差帶相對於基準ABC來說，方向和位置是固定死的。前面我們也提到過，基準限制了公差帶多少個自由度，它也限制了理想要素多少個自由度。在圖5裡邊，位置度的理想要素也是完全被基準限制死了，A限制方向（垂直於A), B和Ｃ通過理論值確定了理想要素的位置，所以這時的理想要素剛好在公差帶的中心。見下圖：

圖６ 定位最小區域

　　如圖６所示，圖中的最小包容區域實際上也是定位最小區域。所謂的定位最小區域是一個圓柱，該圓柱有三個特點：

　 1.這個圓柱的形狀和公差帶的形狀相同，圓柱的中心必須和理想要素重合，也就是和公差帶的中心重合。

2.這個圓柱包含所有的被測要素（或其提取要素）

3.這個圓柱的直徑最小

　　滿足上面三個條件的圓柱，就是定位最小區域法的區域，該圓柱的直徑ｄ就是實際零件位置度的測量值。顯然可以看出，這個直徑ｄ，也就是在實際被測要素中，和理想要素距離最遠點的距離２倍。

２.　複合位置度的實際測量值

　　回到我們剛開始的那道題：

　　 圖７　複合位置度的測量值計算

　　分析複合位置度時，我們必須一行一行分析。實際測量複合位置度時，每一行都必須要測量評估，給出測量的結果。

１）第一行的分析

圖７中，已經給出了實際被測要素的實際坐標值，如果要得出實際的測量值，我們只要三步：

第一步：找出理想要素，確定它在空間中的方向和位置

第二步：理想要素和實際要素進行比對，用最小區域去框住實際被測要素

第三步：計算該最小區域的大小，即為實際的測量值。

　　第一步找出理想要素，對於圖７中，理想要素是什麼幾何特徵呢？它其實就是兩根絕對平行的軸線，而且這兩根軸線的距離是絕對的４０，見下圖：

圖８　孔組的理想要素

　　對於複合公差第一行的理想要素比較好確定，因為第一行的公差帶的自由度被基準限制死了，理想要素也被限制死了，它就是公差帶的中心，我們只要將實際被測要素和公差帶中心（理想要素）做比對畫圓柱就可以得出最小區域，見下圖：

　　　圖９　第一行的測量值的確認

　　請仔細觀察圖９中的理想要素和實際被測要素，顯然有，Ａ孔的實際測量值和Ｂ孔的測量值為：

２）第２行的分析

同樣，分析第二行的時候，要分析公差帶的特點。首先，我們說在複合位置度裡邊，第二行和第二行以下所有的基準都是被閹割過的，即都是被「去定位」的，這些基準對公差帶的限制只能定方向不能定位置。

所以第二行的公差帶是兩個直徑為0.15的圓柱，該兩個圓柱軸線理想垂直於A，相距為理想的40. 關鍵在於，這兩個圓柱相對於B的方向固定，即這兩個圓柱軸線的連線和B絕對平行。但是，因為B不能限制公差帶的位置（去定位），所以作為公差帶的兩個小圓柱在保證和A垂直而且相距是40的前提下，可以一起上下同時平移（不能一起旋轉）。又因為沒有C來限制左右移動，所以這兩個圓柱也可以左右平移。

分析完公差帶的特點我們再來分析理想要素的特點，前面提過，理想要素的特點和公差帶類似，也就是說該理想要素（理想的兩根平行的軸線，距離是絕對的40），它要和A保持理想垂直，和B的方向固定。這是前提條件，剩下的，它可以同時左右和上下平移，這些自由度由被測要素來限制。如何限制呢？

還是先通過切比雪夫法（很多軟體採用的是最小二乘法）去盡最大限度的靠近被測要素，使得理想要素和兩個被測要素各自的距離優化到最小。圖例給的比較特殊，所以我們想想就可以知道，理想要素在保證和A垂直，距離是40，而且它們的連線和B要平行的情況下，只有在下圖位置是最優的（任何其他位置都會導致和實際被測要素的距離變大）：

圖10 第二行測量值的確認

從圖10中可以看出，經過「最佳擬合」後，理想要素和實際被測要素的距離最近，e,f分別表示左右孔的理想要素和被測孔軸線的距離，而且有：

e=f=0.15（25.1-24.95或24.95-24.8）

所以對於複合位置度第二行的實際測量值為AB軸的最小包容區域的直徑，則為2xe或2xf, 所以有:

A孔位置度0.3，B孔位置度0.3 .

3）第3行的分析

基於同樣的邏輯，我們再來分析第三行。先分析公差帶的特點，它的公差帶是兩個直徑為0.08的圓柱，該兩個圓柱和A絕對垂直，兩圓柱軸線的距離是理想的40, 其它的自由度則沒有被限制。

前面提過，理想要素具備公差帶相似的特點。和第二行做比較，因為沒有B基準限制方向，所以該理想要素（兩根平行的軸線，垂直於A，距離g=40）除了在垂直於A的前提下可以一起上下平移，左右平移，還可以一起旋轉。

理想要素利用這些自由度拚命的靠近被測要素來實現最佳擬合（切比雪夫法或最大值最小法），擬合好後（e和f最小），就形成下面的樣子：

圖11 第三行測量值的確認

上圖中g=40，又因為有e=f, 計算e或f很簡單，圖11中簡單的幾何關係可以得出，用A孔實際被測要素軸線和B孔被測要素軸線間的距離減去g(40)再除以2，則可以得到e和f, 公式如下：

因為e和f又表示AB軸最小包容區域的半徑， 那麼第三行的測量結果則為AB孔軸的最小包容區域的直徑：

A孔位置度0.0012，B孔位置度0.0012 .

總結：

本文討論了理想要素的含義和特點，如果它是一個單一特徵，它本身的形狀是理想的，如果是特徵組，則特徵和特徵之間的方向和距離理想。

關鍵問題在於，理想要素相對於實際被測要素的方向和位置應該在哪裡。如果將基準比喻成為父母，我們的理想要素則是一個乖乖女， 從不違背父母定下的規則（基準的功能）。而鄰居家有一個毛孩子（實際被測要素），乖乖女很想跟毛孩子一起玩，於是在不違背父母規則的情況下去想盡辦法靠近這個毛孩子（定位最小區域的理想要素的擬合或定向最小區域的理想要素的擬合）；若這個乖乖女沒有父母（如沒有基準的形狀公差），則是變成了野孩子，成天和鄰居家的毛孩子混在一起。這就是所謂切比雪夫法的特性（很多軟體採用的最小二乘法）。

只要我們掌握了基準定下的規則，理想要素具備拚命想靠近實際被測要素的特點，而且我們採用的方法是切比雪夫法（或最小二乘法），這是一個誰都不想得罪的中間主義邏輯，那麼就不難算出理想要素相對於被測要素的位置，從而得出最小包容區域的大小，即實際測量值。

如果各位小夥伴能夠耐心看完這篇連我都難受的文章，還不覺得噁心的話，可以自己計算一下下面這個組合位置度的實際測量值，可以用PCDMIS來驗證你的計算是否正確哦。

謝謝你的關注! 如果覺得這是在胡言亂語，歡迎磚頭扔過來！

附加問答：

問：如果有多個特徵，比如4個，6個孔、對於第三行，是否需要兩兩比較？？

答：多個特徵的話，不是兩兩比較，而是有四個或六個理想要素，(他們軸線絕對平行，距離理想，可以看成是一個特徵)，他們得作為一個整體特徵去和實際軸線最佳擬合，再作計算。通常特徵多了，要藉助不怕累的軟體了，人為太難。

問：上面的答覆中老師提到ISO中無複合位置度和複合輪廓度說法。但我好像在ISO（或者國標中）中見過複合位置度這個說法，只是沒展開，複合輪廓度確實沒見過。

答：ISO的確實也有複合位置度的說法，但是它和美標的符合位置度不一樣，它其實就是把幾個位置度的要求寫在一起，也就是組合位置度。美標的位置度有詳細的討論和規則，所以只有美標才有複合公差一說。

問：實際測量過程中第二行位置度是否基於第一行基準的要求，若是這樣為了保證產品合格25的理論尺寸在第一行中已經被限制了是這樣嗎，但是第一行出現不合格情況下第二行可能合格

答：可能第二行合格，第一行不合格，因為第二行和25無關，但是25由第一行來控制。不管是複合公差還是組合公差，邏輯是必須每行都滿足要求，才算合格。所以每行都出檢測報告，每行單獨評價。

~End~

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