上一節：賦範線性空間第二節

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本節要圍繞巴拿赫空間做一些有趣的事情。具體地說，就是——對以巴拿赫空間為值域的函數求定積分！（最後將順帶證明實數連續函數積分順序的可交換性）

首先我們令 a,bin R 並且 a<b ，記 J=[a,b] ，同時設 mathscr B 是巴拿赫空間（完備的賦範空間）。記 mathscr C[mathscr B] 為定義在 J 上以 mathscr B 為值域的連續函數全體。

定義 mathscr {C[B]} 上的範數使得 Vert fVert=sup_{xin J}Vert f(x)Vert=max_{xin J}Vert f(x)Vert ，此時 mathscr {C[B]} 構成了巴拿赫空間。想不起來之前有沒有證明過這個結論，感覺沒有，一時想不出什麼好的證明手段，以後再複習之前的內容看看。用標準分析倒是很好證明。

接下來，我們要定義積分運算元 int_{a}^{b} 作為 mathscr{C[B] ightarrow B} 的線性運算元。

定義的過程類似黎曼積分。

設 s:Jackslash{b} ightarrowmathscr B 滿足 s=sum_{i=1}^{n}{r_idelta_{A_i}} ，並且 A_i=[a_{i-1},a_i) ， a_0=a,a_n=b

此時稱 s 是 J 上的階梯函數。對於階梯函數，我們定義：

int_{a}^{b} s(x)dx=sum_{i=1}^{n}{r_i(a_i-a_{i-1})}

此時如果記 mathscr {S} 為 J 上的階梯函數全體，則 mathscr S 構成了線性賦範空間並且 int_{a}^{b} 是 mathscr S 到 mathscr B 的有界線性運算元。

如果我們在學黎曼積分，接下來要做的事情就是用階梯函數來單調逼近可測函數了。然而這是非標準分析，我們要做一件更加驚天地泣鬼神的事情，那就是直接將 int_{a}^{b} 擴張成為 {}^*mathscr S ightarrow {}^*mathscr B 的線性運算元！

設 sin {}^*mathscr S ，則此時 s 可以表示為 sum_{i=1}^{ u}{r_idelta_{A_i}} 的形式，其中 r_iin {}^*mathscr B ， uin {}^*N ， A_i=[a_{i-1},a_i) ， a_0=a ， a_n=b .

同樣地，可以定義 *int_{a}^{b} s(x)dx=sum_{i=1}^{ u}{r_i(a_i-a_{i-1})}

雖然 u 相對於標準自然數是無窮大，但是因為它在超自然數的意義下是「有限」的，根據傳達原理上式的定義是良好的。

此時由於 int_{a}^{b} 是連續限性運算元，所以 *int_{a}^{b} 是 {}^*mathscr S 上局部連續的線性運算元，這也就是說如果 s_1approx s_2 ，那麼 *int_{a}^{b} s_1(x)dxapprox*int_{a}^{b}s_2(x)dx .

因此，對於 fin mathscr{C[B]} ，如果能夠構造 sin {}^*mathscr S ，使得 fapprox s ，這時我們就可以定義：

int_{a}^{b} f(x)dx={}^circleft(*int_{a}^{b}s(x)dx ight)

此時， int_{a}^{b} 是 mathscr {C[B]} ightarrowmathscr B 的連續線性運算元。以下分兩步證明這一點。

定理4.3.1，對於 fin mathscr {C[B]} ，存在 sin {}^*mathscr S 使得 fapprox s .並且，此時 *int_{a}^{b} s(x)dx 是近準點。

定義 t( u,i)=a+frac{b-a}{ u}i ，令 A_i=[t_{ u,{i-1}},t_{ u,i}) ， r_i=f(t_{ u,i-1}) .

此時， s(x)=sum_{i=1}^{ u}{r_idelta_{A_i}} 是階梯函數，所以 sin {}^*mathscr S .

首先證明 fapprox s ；

對於 xin {}^*Jackslash{{b}} ，總存在 i< u 使得 t( u,i)<x<t( u,i+1) ，此時 s(x)= f(t_{ u,i-1})approx f(x) ，因此 fapprox s .

之後證明 *int_{a}^{b} s(x)dx 是近準點；

首先將 s(x) 視為函數列 s_n(x) ，此時令 I_n=int_{a}^{b} s_n(x)dx ，則對於 nin N 都有 I_nin mathscr B .並且對於 u,muin {}^*N-N ，根據前一段證明， s_ u(x)approx f(x)approx s_mu(x) ，因此有 s_ uapprox s_mu ，從而 I_ uapprox I_mu .

這也就意味著 {I_n} 構成了柯西列，而 mathscr B 是巴拿赫空間，因此存在 Iin mathscr B 使得 I_ uapprox I ，從而 I_ u=*int_{a}^{b} s(x)dx 是近準點。

定理4.3.2， int_{a}^{b} 是 mathscr{C[B] ightarrow B} 的有界線性運算元。

線性性顯見，因此只需證明有界性。設 fapprox s ，有：

leftVert int_{a}^{b} f(x)dx ightVert=circleftVert int_{a}^{b} s(x)dx ightVertleq(b-a){}^circVert sVert=(b-a)Vert fVert

證畢。

至此，我們成功定義了巴拿赫空間值域函數的定積分。以下證明幾個關於定積分運算的定理。

定理4.3.3，設 alpha:J ightarrow R 是連續函數，並且 kin mathscr B ，此時

int_{a}^{b}kalpha(x)dx=kint_{a}^{b}alpha(x)dx

設 s(x)approxalpha(x) ，則 ks(x)approx kalpha(x) .

定理4.3.4，設 uin mathscr{C[B]} ， f 是 mathscr B 上的有界線性運算元。此時，

fleft(int_{a}^{b}u(x)dx ight)=int_{a}^{b}f(u(x))dx

證明：

設 u(x)approx s(x) ，此時

int_{a}^{b} u(x)dxapproxint_{a}^{b} s(x)dx=sum_{i=1}^{ u}{r_i(x_i-x_{i-1})}

int_{a}^{b} f(u(x))dxapproxint_{a}^{b} f(s(x))dx=sum_{i=1}^{ u}{f(r_i)(x_i-x_{i-1})}

由於 f 是線性的，所以

fleft(int_{a}^{b}u(x)dx ight)approx fleft(sum_{i=1}^{ u}{r_i(x_i-x_{i-1})} ight)=sum_{i=1}^{ u}{f(r_i)(x_i-x_{i-1})}approx int_{a}^{b}f(u(x))dx

證畢。

推論4.3.5，設 f:[a,b] imes [c,d] ightarrow R 是連續函數，此時

int_{a}^{b}int_{c}^{d}f(x,y)dxdy=int_{c}^{d}int_{a}^{b}f(x,y)dydx

只要將 int_{a}^{b} 看作有界線性運算元，根據定理4.3.4直接可得。


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