泛函分析隨記（一）Hahn-Banach定理

本篇文章羅列一些書上定理，當作是自己期末前的複習了。後面會再開一個文章主要整理整理習題的。

前言：這篇文章裏會有一些我個人形象化的非數學化的理解，以及一些對一大段證明的簡要概括。雖然說數學講究嚴謹，但俗話說：「嚴謹不是嚴肅，戲說不是胡說」。這就好比在趙本山小品裏，把太極說成打麻將。雖說，嘴上說著「洗牌馬牌翻牌看牌」，但是身體上卻做著「起式收式白鶴亮翅」。

定理3.1.1：設X為Banach空間， ,且 ,則是有界可逆的，且 $（I-A）^{-1}=sum limits_{n=0}^{infty}A^n,quadparallel (I-A)^{-1}parallel leqfrac{1}{1-parallel Aparallel}$ 。這裡是恆等運算元。

注：

這裡表示範數，滿足正定性，正齊性和三角不等式性
運算元有界，即滿足形如的運算元。本質上就是：某個空間所有點全部變換到另一個空間時，其變換後的元素的「大小」可以與該元素「大小」做比較。
運算元可逆：， $T^{-1}=S$
對於運算元的範數: 運算元其實可以看作速度，那麼這個運算元就是將「時間」空間映射到「路程」空間的運算元。其大小就是單位時間的路程處以單位時間→任意一段時間的路程除以相應時間→時間不超過一秒的路程除以相應時間的上確界（由於時間是個一維變數，所以這個上確界並不能完整體現出來。）

證明：

從 ,以及是Banach空間，可知 $sumlimits_{n=0}^infty A^n=I+A+A^2+dots$ 按運算元範數收斂，且其和在中。注意，對任意正整數n。

$egin{align}(I-A)(I+A+dots+A^n)&=(I-A)(I+A+dots+A^n) \&=I-A^{n+1}end{align}$

而且，令時， $parallel Aparallel^{n+1} ightarrow0$ ，所以，上式變為

$(I-A)(sumlimits_{n=0}^{infty}A^n)=(sumlimits_{n=0}^{infty}A^n)(I-A)=I$

所以，是有界可逆的，且

$(I-A)^{-1}=(sumlimits_{n=0}^{infty}A^n)$ 從而

$parallel(I-A)^{-1}parallel=parallelsumlimits_{n=0}^{infty}A^nparallelleq sumlimits_{n=0}^{infty}parallel Aparallel^n=frac{1}{1-parallel Aparallel}$

Q.E.D.

定理3.1.2 對任何 $Ain L(X), quadlimlimits_{n ightarrowinfty}(parallel A^nparallel)^{frac{1}{n}}=inflimits_{n}(parallel A^nparallel)^{frac{1}{n}}$

證明：

思路上就是先證明「 ≥」在證明「≤」

記 $r=inflimits_n (parallel A^nparallel)^{frac{1}{n}}$ 。顯然 $underline{lim}limits_{n ightarrowinfty}(parallel A^nparallel^{frac{1}{n}})geq r$ 。

只需證 $overline{limlimits_{n ightarrowinfty}}(parallel A^nparallel)^{frac{1}{n}}leq r$ 。

根據下確界定義，任給，必有正整數，使 $parallel A^mparallel^{frac{1}{m}}<r+epsilon$ .對任何正整數n，必有非負整數使（註：這個n，m等式動機我認為是去將具有存在性的m跟任意性的n聯繫在一起，當 任意小時，m只能不斷地增大。k作為其線性係數，j為常量。從而在後續地步驟中，將指數部分的n分解成線性部分和常值部分.線性部分在開n次跟時，會收斂於1，常數部分收斂於0。）。於是由

可得到 $parallel A^nparallelleqparallel A^{km}parallelparallel A^jparallelleqparallel A^mparallel^kparallel Aparallel^j$

從而 $parallel A^nparallel^{frac{1}{n}}leq parallel A^mparallel^{frac{k}{n}}parallel Aparallel^{frac{j}{n}}leq(r+epsilon)^{frac{km}{n}}parallel Aparallel^{frac{j}{n}}$ ,

注意 $frac{km}{n} ightarrow1,frac{j}{n} ightarrow0quad(n ightarrow infty)$ 。故

$overline{limlimits_{n ightarrowinfty}}(parallel A^nparallel)^{frac{1}{n}}leq r+epsilon$ ,因為是任意的，從而得證

Q.E.D

注：這裡我想簡單說說關於不等式的一個理解。對於運算元，它本質上就是一種 將抽象映到抽象 的映射（這裡抽象是指不能用具體一個數字去衡量的東西）。這裡可以順便說一下，我在思考抽象的時候，往往會去思考抽象的邏輯是什麼，即：哪些特質是一類事物中共有的。然後再將其具體化，並且只考慮其共有特徵。所以說，「學生」就是運算元，將課本（抽象）轉化為知識（抽象）（如果轉化為分數（0到100有理數區閉間），那就成了泛函了）；「程序員」是運算元，將體能轉化為代碼（如果對代碼進行一個實數上的評價的話，這便成了泛函）；求導也是個運算元，將函數映射為導函數（不過映射到常數的話，我姑且把它看作是常函數），以此類推。

所以，說到那個不等式，這個不等式就是再說「一個和尚挑水喝，兩個和尚抬水喝，三個和尚沒水喝。」為什麼這麼說？A就是和尚A打水，將外面的水打來放到水缸。B同理。範數在這裡的意義就是看其打水的效率（上一題說到運算元範數的直觀理解）。兩個運算元相乘其實就是第一個運算元作用第二個運算元，也就是說A和尚來參與B和尚打水的事情。

定理3.2.1 （banach擴張定理）設是實線性空間X中線性流形G上的實線性泛函。如果有X上的實線性泛函，使

1) （次線性）

則存在上的實線性泛函，使

且

（這個定理想要表述的是：「在實線性空間中，存在一個全空間上次線性泛函，在某個子空間下不小於一個線性泛函，則延拓在全空間上的線性泛函也不會超過那個次線性泛函。」）

證明：

若，定理顯然。下面設。

設，考慮如下形式點集： $mathscr{M} = {lambda x_0+x:lambda 是實數,xin G }$ （構造一個子空間，通過 外一向量，將 擴張出去。所以它包含 與 的最小線性流形）

先證明上存在實線性泛函，使

$F_1(x)=f(x),當xin G,\ F_1(x)leq p(x),當xin mathscr{M}$

設（因為 為線性泛函，所以在 上但不在 上的像可以用 的倍數來表示，所以，只設 一處像點即可）。根據的要求，必須

$egin{align}F_1(lambda x_0+x)&=lambda F_1(x_0)+F_1(x)\ &=lambda F_1(x_0)+f(x)\ &leq p(lambda x_0+x)end{align}$

因此對一切都成立。一下分為兩種情況來討論。

一）當

$egin{align} r_0 &leq frac{1}{lambda} [p(lambda x_0+x)-f(x)]\ &=p(x_0+frac{x}{lambda})-f(frac{x}{lambda})\ &=p(x_0+x)-f(x),xin G end{align}$

二）當

$egin{align} r_0 &geq frac{1}{lambda} [p(lambda x_0+x)-f(x)]\ &=frac{|lambda|}{lambda}[p(frac{lambda}{|lambda|}x_0+frac{x}{|lambda|})-f(frac{x}{|lambda|})]\ &=-[p(-x_0+x)-f(x)],xin G end{align}\$ （根據 的定義，「出入」該函數的係數必須為非負實數纔行，所以分子分母同時乘 ，分母處的 放到內。）

於是有。要想這樣的存在必須且只須上式右端恆不小於左端。即需證明

（就是要證明泛函 在含 的子空間中，像值存在。即通過證明像值的上界不小於下界）

於是根據條件，

$egin {align}f(x)+f(x)&=f(x+x)\ &leq p(x+x)\ &=p(x_0+x-x_0+x)\ &leq p(x_0+x)+p(-x_0+x),forall x,xin G end{align}$

再令，

$suplimits_{xin G}[-p(-x_0+x)+f(x)]leq r_0leq inflimits_{xin G}[p(x_0+x)-f(x)],x,xin G$

由此，滿足所需條件。（不過到目前位置，所證明的都只 向外延拓一個向量的子空間後定理的成立。後面需要驗證是否對「任意」維度都成立。這個「任意」可能有限、可能無限，對於無限，可能是 （可數），也可能是 等等。所以對這種「超限」的情況，可以考慮用Zorn引理）

考察實線性泛函，其定義域記作。如果，且

$g(x)=f(x)，當xin G\ g(x)leq p(x)，當xin mathscr{D}(g)$

則稱為的擴張。設的所有擴張的集合為。規定中的序如下：若 $g_1,g_2in mathscr{R}$ ，且 $mathscr{D}(g_1)subsetmathscr{D}(g_2),g_1(x)=g_2(x)$ ，當 $xin mathscr{D}(g_1)$ ，則。於是是非空的部分有序集。對中任何完全有序子集，可以作出線性泛函，使

$mathscr{D}subsetigcup_{ginmathscr{J}}mathscr{D}(g),\ h(x)=g(x),當xinmathscr{D}(g),ginmathscr{J.}$

則，且對一切，都有，即是的上界。根據Zorn引理，中有極大元。當然是的擴張。如果則如第一部分證明，可以再擴張,這與的極大性矛盾。於是，即是上的實線性泛函，容易驗證即為所求。

Q.E.D.

注：

這個證明過程，大體上是在做那麼兩件事：1、先在一個子空間（非平凡）向外擴張後，存在一個延拓泛函，其上界為一個具有次線性的泛函。2、利用 Zorn引理，推廣到整個空間。

對於第二步，其實就是個「超限歸納」的過程，以擴張的子空間進行擴張。而對於第一部分，實際上就是考察延拓後的泛函，在延拓空間中是否存在（先藉助泛函推導其上下界，再證明下界不超過上界）。

定理2.2（Bohnenblust-Sobczyk）設是複線性空間的線性流形上的線性泛函。如果有上實線性泛函（實線性泛函對實係數具有齊次性，若為複線性泛函，則額外表示對於虛數滿足齊次性。），使

1）

2） ,

則存在上線性泛函 ,使

且

證明:設的實部，虛部為，即

$egin{align} f_1(x)&=frac{f(x)+overline{f(x)}}{2}\ f_2(x)&=frac{f(x)-overline{f(x)}}{2}end{align}$

則

而且，都是上的實線性泛函。

於是

$egin{align}i[f_1(x)+if_2(x)]&=if(x)=f(ix)\ &=f_1(ix)+if_2(x),forall xin Gend{align}$

比較實部虛部,便有

（對f左乘上一個虛數i，將實部和虛部在函數上「統一」了。）

從而 $f(x)=f_1(x)-if_1(ix),forall xin G\$ 這說明可以由其實部唯一確定。 $ecause|f(x)|=sqrt{f_1^2(x)+f_1^2(ix)}geq |f_1(x)|geq f_1(x)$

（上式確定 滿足實線性空間延拓條件）

由定理3.2.1，可以擴張成線性空間上的實線性泛函，且 $F_1(x)=f_1(x)，當xin G\ F_1(x)leq p(x)，當xin G$

令

顯然，且當t是實數時，

又（去驗證復空間下的齊次性）

$egin{align}F(ix)&=F_1(ix)-iF_1(-x)=iF_1(x)+F_1(ix)\ &=i(F_1(x)-iF_1(ix))=iF(x)end{align}$

故是複線性空間上線性泛函。

（以下去驗證F就是f的延拓）

當 ,也有，從而

當，如果，令，則

$egin{align}|F(x)|&=F(x)e^{-i heta}=F(e^{-i heta}x)\ &=ReF(e^{-i heta}x)=F_1(e^{-i heta}x)\ &leq p(e^{-i heta}x)=p(x)end{align}$

如果，不等式顯然成立。

（此處，複變函數F的模可以看做是這個函數乘上該函數的共軛單位向量）

Q.E.D.

注：該命題考慮的是復空間上的延拓定理。在基於上一個定理的證明結論下（即實空間上的延拓），只需要考慮將複線性泛函用一個實線性泛函來「代替」，再用延拓出來的新的實線性泛函來表示被延拓出來的複線性泛函。

定理3.2.3. (Hahn-Banach)對於賦範線性空間（此處與前面的區別）之線性流形上的連續線性泛函，恆有上的連續線性泛函，使

1）

2）（對於這個條件所刻畫的內容，可以當做f在G中的「價值」等於F在X上的「價值」。結合第一個條件，「延拓」彷彿是在做「義肢」的過程。對於「義肢」，首先得和介面「連著」，其次「義肢」還得跟原來的肢體「一樣」。）

這裡表示作為上連續線性泛函的範數。則有連續線性泛函p(x)

1）

2） ,

則存在

上線性泛函

,使

且

證明：

令

不難驗證，滿足定理3.2.2的條件，於是存在上線性泛函，使

且

因此是上有界線性泛函，而且

但是的擴張，因而的範數不會小於的範數，即。總之

Q.E.D.

注：

數學中所提及的空間一般都是以集合的形式去描述。所以本質上都可以看作是集合。如果以一種「主觀」的角度來審視，若對一個集合中的元素賦予某些性質（改變該集合的拓撲），使之與該集合中其他元素產生了影響（賦範、完備化），那麼便成為了另一種性質的空間（Banach空間）；倘若以「客觀」的角度來看，具有某種性質的空間就是將具有相應性質的元素被一個集合所囊括（一種分類）。對於」客觀「上的理解，可以將問題轉化為代數問題進行討論；對於「主觀」上的理解，可以用於構造，去給反例。（這裡，我對「主觀」和「客觀」的理解可以看作切入點是以構造法還是以代數法）。

一般來說，當提及一個泛函是在某個線性流形上的線性泛函意味著在該流形中的所有元素對於這個泛函將滿足線性性質。從另一個角度來看，就是說對於其他流形中的元素將不一定有線性性質了。

定理3.2.4(Hanh-Banach定理的幾何形式) 設是賦範線性空間，若中的線性簇與開球不相交，則有超平面包含而且與不相交。