我們在小時候學習指數的時候經常會誤解指數的定義，很多人認為，指數就是重複連乘，這對於特殊的情況來說（指數是非零整數時），是一個不錯的解釋，小學生也能夠很快理解這個概念。

但是隨著時間的推移，你見到的事物更多了，你就會在這個過程中懷疑這種連乘的方法是否是失效了，因為你看到 2^{1.5} 之類的東西，甚至是更奇怪的，例如 0^0 ，而且是 0^0 其結果居然是1，我記得高中時老師對於這個概念一筆帶過，就說這是它的「定義」，但對我來說我是很難接受這個奇怪的定義的。後來想起這些問題，感覺這些概念有必要隨著自己見識的增長與時俱進了。

我們最先接觸到的基本數學運算是加減乘除，「加減」與「乘除」分別屬於數學中的第一級和第二級運算，詳情見《如何理解對數？》。我們想想在很小的時候，當我們學習剛開始算術的時候，老師會教我們通過數指頭的方法來完成加法的計算（例如 5+6=11 ），以及通過重複加法來實現乘法計算例如（ 2×3=2+2+2=6 ）（當然有的老師只會教乘法表…）。不過不管怎麼說，這一切看起來似乎都挺自然的。

但上述方法當然也是針對簡單或者說特殊的情況，當包含有負數或者無理數的時候呢，這種方法似乎就行不通了。加減乘除本身並沒有問題，問題在於我們對演算法的理解上出現了偏差，我們對這些演算法的理解是片面的是部分成立的，而不具有普適性。

為了使演算法的描述具有普適性，不應單純地用計數來實現加法，而是將其看做是在一條直線上點的位置變化。這種位置可以是負的（如-1），可以是在某些數之間（例如無理數），或者是在其他的維度上（例如虛數 i ，詳情請見「虛數 i 是真實存在的嗎？還是被人們創造出的數學工具？」）。

那麼，更加完備的演算法思想應當是：加法是一種「滑移」，例如：+3就是向右滑移3個單位。乘法就是縮放，例如：×3就是擴展到原來的3倍。

那麼指數呢?

演算法 老思想 新思想

加法 重複計數 滑移

乘法 重複相加 尺度縮放

指數法 重複相乘 隨時間的增長

舉一個具體的例子，對於指數 3^2 ，可以用以下的步驟進行分析（這可能是個笨辦法，但對於理解問題有益）：

設定初始值為1個單位量（指數前面的因子，指數 3^2 前面的因子為1，指初始值為1個單位數量，即 1·3^2 ，因為乘以1不影響結果，所以省略不寫了，但是要知道它的存在）(original)

設定每增長1個單位時間，量就增長到1個單位時間前的3倍（即指數的底數）(growth)

設定增長時間2個單位時間（即指數的冪）(duration)

對於以上過程，在數學上可以給出通式：

或者

就拿上面的 3^2 的例子來說，底數growth=3指的是單位時間數量增長的倍數（或稱為增長倍率）；而冪duration=2指的是數量增長的時間；original=1為初始數量。

對指數的這種「增長」的理解不同於乘法的尺度縮放，乘法會給你一個非常明確的尺度因子，你一眼就可以看出其會將初始數量縮放到一個什麼樣的尺度上去。但是對於指數，就沒有一個這樣明顯的縮放因子，因為它代表的是一種「增長」，相比於乘法（直接縮放得到結果），指數更強調「過程」。這個思想很重要，因為自然界中大多數事物都處在一種「無意識的增長」當中！

例如，細菌並不會計劃著自己一天分裂一次，它只會以其自己的方式進食並增長、分裂，而且初值的細菌數量越多，其總量的增長速度也就越快，初始數量就體現在上式的「original」中，初始值對最終結果的影響表現為尺度上的縮放，即乘法的演算法思想。

為了得到它們增長的最終結果，我們需要知道它們當前的增長倍率以及增長的時間。所以指數操作就可以用簡單一句話概括：「以某個初始數量(original)為起點，以一定的增長倍率(growth)開始增長，等到了設定的時間(duration)看看增長到了多少(new)」。

分數冪的解釋

就前面提到的分數冪問題，可以用新的演算法思想進行解釋。例如 2^{1.5} ，既然 2^1 表示初始值為1，單位時間增長率為2，增長1個單位時間後的值； 2^2 表示初始值為1，單位時間增長率為2，增長2個單位時間後的值。

那麼， 2^{1.5} 當然就可以理解為初始值為1，單位時間增長率為2，增長1.5個單位時間後的值了。如果能將這個概念告訴斯蒂菲爾(Michael Stifel)，或許他將會成為發現對數的第一人吧，因為他正是因為那個時代的人們還無法理解分數冪的概念而放棄了對「對數概念」的進一步探究。

指數相乘計算

現在考慮一種情況，就是如果兩次增長率相同的增長「無縫連接」，即一次增長緊接著上一次增長，例如，以單位數量為初始值，以一定的倍率增長，先增長2個單位時間，再在此基礎上增長3個單位時間，問題就可以用下式表示：

實際上和以單位數量為初始值，以一定的倍率增長，一共增長5個單位時間所得到結果是等價的。寫成通式就是：

這就底數相同（即增長率相同）的指數的乘法法則，即同底指數相乘等於底數不變，冪相加。

指數的開根計算

假設現在初始值為1個單位數量，增長率為 a ，那麼增長3個單位時間後的結果為： a^3 。

那麼，對於上面的情況，其中間時刻（1.5個單位時間時）的數量是 a^{1.5} 。

如果重複兩次1.5個單位時間的增長，並運用上面說過的指數相乘運算方法，會發現：

用一句話描述就是「半個週期的增長結果乘以半個週期的增長結果等於全週期的增長結果」。這也意味著半個週期的增長結果是全週期增長結果的平方根。即，增長時間減半相當於開平方操作。

那麼，如果將時間等分為3份，並讓3次增長接連發生，得到的將是：

顯然，得到結論是1/3個週期的增長結果是全週期增長結果的3次方根。可以想像得到，如果將增長時間等分為 n 等份，那麼 1/n 個週期的增長結果將是全週期增長結果的 n 次方根。

負指數

如果將冪視作時間，那麼負的時間直觀上其實就可以理解為「時光倒流」。如果正常情況是以一定增長倍率增大，那麼「時光倒流」就指的是以一定的倍率縮小。

上式指的就是：「一個單位時間前的數量是當前數量的(1/2)」。其實，在指數函數 2^x 的圖像中中任意間隔單位時間的兩個點都滿足上面的比例關係。

（圖片來源：betterexplained）

0次冪

那麼，當冪為0代表什麼？先舉個例子，例如 3^0 的意義。它可以解釋為：初始量為1個單位數量，增長倍率為3，增長了0個單位時間。也就是說，沒有給其增長的機會（時間），數量當然保持著原樣，即為1個單位數量或直接寫成1。其他情況（除了底數為0的特殊情況，下面單獨討論）都可以用這樣的方法解釋。

解釋 0^x(其中， x e0)

即指數的底數為零的情況。表示的是初始量為1個單位數量，增長倍率為0，增長了 x 個單位時間。可以理解為一旦給其時間增長，就會變成0。如果無法一下理解就先假設 x=1 ，即 0^1 ，表示的是1個單位時間後會變為0。那麼現在將1個單位時間分為 n 個等份，其中 n ightarrowinfty ，那麼 0^{1/n} 為 0^1 的 n 次方根，當然也為0，所以，無論冪 1/n 多麼小或者說無論增長時間多麼短，只要冪不為零，底數為零的指數都為零！

最後看看 0^0

0的0次方，這個現在終於可以解釋了。表示的是初始量為1個單位數量，增長倍率為0，增長了0個單位時間。雖然上面說了只要給其增長的時間，它就為零，但是現在的情況是：並沒有給初始值發生這種增長的機會！所以，不管以多少倍率增長其實都無所謂，任何形式的增長都沒有發生，最終結果就是初始值1個單位數量或直接寫為1，即 0^0=1 。

Reference

[1] Michael Stifel, en.wikipedia.org/wiki/M

[2] Understanding Exponents (Why does 0^0 = 1?) betterexplained.com/art

[3] Gaisi Takeuti,Wilson M. Zaring, Introduction to Axiomatic Set Theory, [M] Springer-Verlag New York,1971

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