歐拉公式，複數域的成人禮
之前在「複數，通往真理的最短路徑」中說過，複數域其實就是二維的數域，提供了更高維度的、更抽象的視角。本文來看看，我們是怎麼從實數域擴展到複數域的。
大家可能覺得這個擴展並不複雜，也就是 、
兩個任意實數，外加虛數
，把它們結合在一起，就完成了：
但數域的擴張從來沒有這麼簡單，就好像夫妻生下小孩只是個開始，困難的是之後的撫養、教育：
複數域的擴張充滿崎嶇。正如歐拉的老師對他的讚揚：
我介紹數學分析的時候，它還是個孩子，而你正在將它帶大成人。----約翰·伯努利
這句話雖然是說微積分（數學分析）的，但用在複數域上也不違和。歐拉的歐拉公式正是「複數域」的成人禮：
1 數域擴張的歷史
來看看之前的數域是怎麼擴張的吧。每次想到數域的擴張，我都有種大爆炸的畫面感，宇宙從一個奇點爆炸中產生：
1.1 自然數到整數
數學剛開始也是一片空白：
0的出現就是數學的奇點：
根據皮亞諾定理（可以參考為什麼1+1=2？）「爆炸」出了自然數域（可以參考自然數是否包含0？）：
很顯然上面的圖像是不對稱的，哪怕出於美學考慮，人們都有衝動把左邊補齊，增加負數，這樣就得到了整數域：
添加負數之後，有一個問題就出現了：
我們知道 是對
的縮寫，並且容易推出如下計算規則：
我們添加負數之後，希望這個規則依然適用，即：
更一般的有：
並且還驚喜地發掘出負數次方的意義，如果說正數次方是對乘法的縮寫，那麼負數次方（正數的相反數）是對除法（乘法的逆運算）的縮寫：
1.2 整數到實數
很顯然整數之間還有很多空隙，我們可以用有理數（rational number，翻譯為「可比數」更合理）：
來填滿這些空隙（示意圖）：
還有空隙，最終用無理數（irrational number，「不可比數」）來填滿這些縫隙，得到實數軸：
自然會有這麼一個問題：
是無理數，上面這個問題需要用極限來回答，這裡不再贅述，只是可以看出實數域的擴張也是很艱難的。
2 複數基礎
往下面講之前，稍微複習下複數的一些基礎知識。如果比較瞭解複數的運演算法則了，可以跳到第三節去閱讀。
2.1 複數的運算規則
複數的運算規則並非憑空捏造的。開頭提到的文章「複數，通往真理的最短路徑」說過，形如：
的三次方程，卡爾丹諾在《大術》這本書中給出了通解：
如果 、
，可以得到方程：
從圖像上看， 與
有三個交點的：
套用通解會得到：
這裡就出現複數了。拉斐爾·邦貝利（1526－1572），文藝復興時期歐洲著名的工程師，給出了一個思維飛躍，指出如果複數遵循如下的計算規則：
那麼就可以根據之前的通解得到三個實數解。
2.2 複數加法、減法的幾何意義
為了之後的講解，先引入幾個符號，對於一般的向量 有：
複數的幾何表示和二維向量有點類似，只是橫坐標是實軸（ ），縱坐標是虛軸（
），下圖還把剛才的符號給標了出來：
加法的幾何意義和向量也一樣：
但向量沒有乘法（點積、叉積和實數乘法不一樣），這就是複數和向量的區別。複數是對實數的擴展，所以要盡量兼容實數，必須要有加減乘除、乘方開方、對數等運算。
根據剛才的乘法規則，計算可得：
畫出來發現，兩者是正交的：
還可以從另外一個角度來理解這一點， 在複平面上是這樣的：
那麼， 乘以虛數
，就是：
對於一般的向量 ，也符合這個規律：
好了，知道這些差不多了，開始正題。
3 複數域的擴張
好了，輪到複數域了，複數定義為：
那麼，來回答數域擴張都會問到的問題吧：
這個問題可以用歐拉公式：
來回答，取 ，可得：
畫出來就是複平面上模長為1，幅角也為1的點：
更一般的，歐拉公式說明， 是單位圓上幅角為
的點：
但是，歐拉公式 長這個樣子！
3.1 的定義
歐拉公式肯定不是憑空捏造的，先來看看實數域中有什麼可以幫助我們的。
實數域中的 函數，起碼有三種定義方式：
- 極限的方式：
- 泰勒公式的方式：
- 導數的方式：
從這三種定義出發都可以得到歐拉公式。
3.1.1 極限的方式
因為：
我們可以大膽地令 ：
那麼之前的 就等於：
我們來看看這個式子在幾何上有什麼意義。因為 對應的是單位圓上幅角為
的點，所以先給個參照物，虛線是單位圓，實線對應的幅角為
：
然後取 ，可以得到：
根據複數的乘法規則，可以看出：
取 ：
取 ，已經很接近單位圓上幅角為1的點了：
對於更一般的 也是同樣的：
當 時，就很接近單位圓上幅角為
的點了：
可以證明當 時，
為單位圓上幅角為
的點，也就是得到了歐拉公式：
可能你還會問，直接替換 為
，合理嗎：
這裡是理解歐拉公式的 ，我們要意識到一點，歐拉公式是一種人為的選擇，完全可以不這麼去定義
。但是，做了別的選擇，會面臨一個問題：會不會在現有的龐大複雜的數學體系中產生矛盾？
打個比方吧，在實數中「除以 」是不合理的，假如你想讓它變得合理，那麼分分鐘會導出矛盾：
歐拉公式並不會引發衝突，並且隨著學習的深入，你會發現數學家已經證明瞭它是一種足夠好的選擇，這裡就不贅述了。
3.1.2 泰勒公式的方式
實數域下，有這些泰勒公式：
也是直接替換 ，令
有：
這也有漂亮的幾何意義，看看 的前三項：
這是三個複數相加，加出來就是：
再增加第四項 ：
隨著 ，彷彿一個螺旋不斷地接近單位圓上幅角為
的點。對於更一般的
也是類似的螺旋：
3.1.3 導數的方式
實數域有；
直接套用：
假設 是時間，那麼
是運動在複平面上的點的位移函數，
時位置為
：
的運動速度，也就是導數
。這個速度很顯然是一個向量，有方向，也有速度。它的方向垂直於
（根據乘法規則，乘以
表示旋轉
）：
並且不論 等於多少，運動方向都垂直於位移，所以只能在單位圓上運動（圓的切線始終垂直於半徑）：
而速度的大小就是速度的模長 。之前說了，對於兩個複數
，它們的模長為
，那麼：
肯定等於1了，
在單位圓上運動，所以模長也為1，所以速度的大小為：
速度大小為1意味著 時刻走了
長度的路程。而
在單位圓上運動，那麼
時刻運動了
弧長，因為是單位圓，所以對應的幅角為
：
4 總結
有了歐拉公式之後，任何複數都可以表示為：
其中：
個人覺得 只是複數的初始形態，而
纔是複數的完成形態，因為它更具有啟發性。比如計算乘法的時候：
那麼有：
幾何意義更加明顯。並且擴展了乘方和對數運算：
到此為止，基本上所有的初等運算都全了。更多高等的運算比如三角函數、積分、導數，也需要藉助歐拉公式在複數上進行推廣。
歐拉公式中，如果取 ，就得到了歐拉恆等式：
這個公式也被譽為了上帝公式，包含了數學中最基本的 、
、
、
、
，彷彿一句詩，道盡了數學的美好。
最新版本（可能有後繼更新）：歐拉公式，複數域的成人禮
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