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　　撰文 | 丁　　玖（南密西西比大學數學系教授）

　　編輯 | 黃俊如

　　從幼兒園小班到高中畢業，我國大部分青少年要和數學打大約15年的交道；若是進了大學的理工科，還要再與高等數學打幾年交道；如果將來的志向是當數學教授，則要打一輩子交道了。多年來，由於奧數的大舉入侵，數學似乎成了許多學生成年前最花心血的一門學科。照理說，校園內外有這麼濃厚的數學氛圍，我們的學生應該是數學的寵兒了，但是我經常聽說大學理工科的許多學生十分怨恨數學，也沒有真正學好數學，甚至包括數學系的那些理想成爲職業數學家的新生。

　　這是什麼原因呢？我想一個原因是他們中的一部分人，學到大學階段還不知道怎樣學數學。

　　我14週歲高中畢業，在三個工廠當過五年的工人，能榮幸成爲七七級高考均分與天文系並列全校第一的南京大學數學系新生中的一員，得益於我進廠學徒前，在三個月內從頭到尾精讀完“文革”前高中三年的18本數理化課本。進大學後，在全班強手如林並且人人苦讀的氛圍中，我循序漸進、穩打穩紮，配合數學與人文課內課外書籍的大量閱讀，本科畢業時真正愛上了數學，走上了職業數學工作者的康莊大道。一眨眼，我已在美國一所大學的數學系任教快29年了。對怎樣學好數學，我有點心得體會，甚至也有過思考。

　　丁玖在南大研究生宿舍看書，1983年。本圖由作者提供。

　　其實如同選擇婚姻配偶一樣，最適合自己的學習方法就是最好的方法。就像不同的人有不同的指紋，不同的人有不同的學習方法，各有各的優勢和弱項。比方說，透徹理解概念和思想的學生，將來成爲創造型研究家的機率較大。但如果他們平時練習不夠，或不喜愛機械記憶，很有可能其成績單不夠漂亮，不能唬人。而成績單在學校，尤其是中國的學校，可是個衡量學業質量的最重要的憑證呀。

　　我的師爺約克 (James Yorke) 教授就是藐視“成績決定論”的一個人物。約克教授曾給我看過他高中時期的成績單，上面四年的數學成績全在90分以下。但是他自豪地說：“我從高中就學會了怎樣學數學。”這就能解釋中學數學沒有A的他，居然在全州的高中數學競賽上獲得第三名。到了大學，約克的成績自稱“沒有B”，他來自臺灣的博士生李天巖，自然中國式地推理下去：“全是A。”但是導師卻笑眯眯地回答道：“C或者C以下。” 這個成績單拿不出手的美國小子，後來成爲了世界聞名的混沌學大師。

　　詹姆斯·約克(James Yorke)教授。圖片來源：美國馬裏蘭大學網站

　　但是，沒有放之四海而皆準的“學習方法”，並不意味着不存在可以用來回答“怎樣學習”這一難題相對而言行之有效的一些行動準則。我將採用我的同學故事爲我表達的觀點提供客觀例證。實際上，下面的經驗之談或基本觀點大都來自於我班同學的親身體會，也深得我的共鳴。所以有些標號爲“我的”觀點，實際上也是“我們的”觀點。

　　認識你自己

　　我的大學同學翟燦芳小學六年級時就拿過全縣的算術比賽第一名。1963年考入初中後，他的數學成績在學校遙遙領先。尤其是學到平面幾何的那個學期，很多同學找不到北，他卻是如魚得水。到後來，他的老師解不出來的數學題也來問他，他都能一一解出來。於是同學們叫他“小華羅庚”。風頭正盛的翟燦芳被校長請到了全校大會上講講他是如何學好數學的。無論他怎麼絞盡腦汁地想，他也不知道是怎樣學好數學的。最後他只好胡亂地編出類似於“愚公移山”的勵志故事——這和輿論一致推崇的“笨鳥先飛”的說法，基調完全是一致的。

　　幾十年後，當翟燦芳和我聊起這段往事時，他用“胡說”二字，對他在初中大會上傳授“愚公移山”的學習法寶這個歷史事件定了性。然後他下了這樣的結論：“其實興趣和天資是最重要的。”

　　翟燦芳已經替我們給出了回答 “怎樣學習” 這個問話的先決條件：首先是興趣大於一切，其次天資也是成功的關鍵因素。學習的動力來自於對所學科目的熱愛，而這種出自興趣的熱愛又往往被自己的天賦之才所點燃。

　　楊振寧先生與生俱來的天賦在於理論探討，而動手實驗卻是他的弱項。他剛到芝加哥大學物理系讀博士學位時，做實驗屢屢受挫，實驗室裏甚至流傳出一句笑話，“哪裏有爆炸，哪裏就有楊振寧”。所以將楊振寧培養成像丁肇中那樣的實驗物理學家只會是天方夜譚式的美夢，但是強大的數理分析能力和超越常人的科學想象力成就了他作爲當代偉大的理論物理學家的一生。

　　在幾十年前那個特殊的時代，人們信奉的是鼓舞大衆的一句勵志成語—— “笨鳥先飛”。這句話確實具有鼓勵上進的積極功能，但不可否認的簡單事實是：會飛的普通白鵝無論怎樣鼓氣上飛，卻永遠不能像白天鵝那樣翱翔天穹。因此，昨日的這四字豪言和今日的一句更加響徹雲霄的口號“不讓孩子輸在起跑線上”，某種意義上講，在讀書學習上都是誤導民衆的“罪魁禍首”。在如何學習這方面，我們也要聽聽蘇格拉底“認識你自己”的忠告。正確的姿態應該是這樣的：不管自己是否“生而知之”或是“天生愚鈍”，充分認識你自己，揚長避短，培養對於你真正喜歡的一門學科的興趣，尋找到適合自己的方法，勤奮地讀書學習，最大限度地飛翔到與你的才華和能力相匹配的一個高度。

　　告別“多動症”

　　好了，如同在數學上常做的那樣，我們先給出一組假設：學生已經建立起對數學的興趣，並且願意勤奮地學習。他或她是否天賦極高或智力平平，我們在這裏並不在意。在這理想的狀態下，怎樣事半功倍地學好這門學科，而無需來自家長、輔導員、心理學家或校方專司學生工作的有關部門等等的非數學因素的配合？

　　我首先想強調的是：學習的第一要素爲專注。很難想象一個有“多動症”，注意力高度不集中的學生會念好書，尤其是學好數學。須知，深奧的極限理論非凝眸定力一字一句地琢磨，不能深刻領會其精神實質，頂多是雲霧中的一知半解，似懂非懂。我想指出的是，專注者看書一小時的效果，抵得上精神渙散者五個小時的智力勞動。如果真的想學好數學，注意力較差的人必須下定決心排除萬難，先學會專注的這門童子功。

　　那怎樣才能掌握這門功夫呢? 京劇大師梅蘭芳先生小時候兩眼稍有近視，導致眼神不能外露，眼珠轉動也不靈活——這對於一個演員來說是個致命傷，就像學數學者先患了“多動症”一樣。拜師時，老師討厭他的一雙“死魚眼睛”而不肯教他，但他不灰心，通過馴養鴿子練眼功，久而久之練就了後來在舞臺上顧盼有神、熠熠生輝的雙眼。

　　舉一反三，我們可以開出醫治“專注缺乏症”的一劑良方：到人多嘈雜的場所讀書去。如果你不喜歡走出戶外，也可以打開電視機，選擇一個特別有趣的節目，並且使它有聲，然後坐在電視機前看書，努力不讓自己擡起頭來看電視。剛開始時，你大概會被身邊晃動的人羣和高分貝的“混合唱”，或者電視裏動人心絃的表演攪得心煩意亂，進不了書的世界。但是，只要你強迫自己目光如炬地注視眼前的鉛字，無視他人它物，達到天塌下來也無所畏懼的境界，你的注意力就會穩步上升。

　　過不了幾次，你的專注能力就會衝上90分的高度。到了那時，你看書時就可能像我的大學同學王雪平那樣一動也不動了——他是我班同學中最早擔任海外大學正教授的。如果這樣，我祝賀你已經具有了學好數學的一個必備條件。然而，這還不是一個充分條件。所以你需要繼續讀下去。

　　王雪平在南京大學本科生宿舍，1980年左右。本圖由作者提供

　　理解概念而不是背誦它

　　我在長期的讀書經歷中，體會出學好數學最重要的法寶就是對概念的精通。數學以公理和公設爲前提，以定義爲先導，以邏輯爲工具，逐步推演出緊緊圍繞在被定義概念周圍的各種命題。在這個過程中，推理的藝術籠罩一切，所涉及的概念無處不在。因此，一碰到某個概念，就應該在腦海裏浮現出關於它的清晰圖像。

　　既然概念這麼重要，爲什麼許多學生並不把它放在眼裏呢？原因之一或許是，背誦定義比理解定義更容易、更輕鬆。好的教科書中的數學定義，寫得非常清楚，也很節約，即沒有任何廢話，每個字都有用。但要完全理解複雜定義的內涵，並非易事，它需要不停的苦思冥想、絞盡腦汁。

　　檢驗自己是否真正搞懂了一個定義，一個妙法就是命令自己寫出該定義不滿足時的一句陳述。如果寫不出來，大概離真懂定義尚有一段距離。

　　茲舉一例。假設讀者學過 “ε - δ” 語言的極限定義。讓我們先回憶一下這個定義：我們說函數f當x趨向於a時的極限爲L，如果任給正數ε，存在正數δ，使得當位於f的定義域內的x滿足不等式0

　　這是關於一個性質不成立的說法。當這個性質比較簡單的時候，否定的說法同樣簡單。比如說，“我是一個學生”的否定敘述就是“我不是一個學生”。然而，對於一個包含了“任給”、“存在”、“當......就”等單詞和短語的複雜定義，它的否定語句就不是那麼好對付的。這需要開動我們頭腦裏所有的邏輯機器，揮舞分析的大刀，才能辦得到。

　　只求記憶、不肯思考是許多人學數學時的一大障礙。一些同學早已將上述的極限定義背得滾瓜爛熟，但還是俘獲不了對方的芳心，一做起稍有挑戰性的極限題就墜入迷霧之中。尤其在需要證明極限不存在的場合，就更加不知所措了。

　　費恩曼讀書法

　　固然，有人是願意思考的，但可能由於某些不易控制的內在或外來的因素，對於複雜的定義或者艱深的證明，一下子難以理解。這時，耐心就起了關鍵的作用。

　　這裏我們不妨借用一下美國物理學家費恩曼在他23歲時給他14歲的妹妹的讀書指導：“你從頭讀，儘量往下讀，直到你一竅不通時，再從頭開始。這樣堅持往下讀，直到你全能讀懂爲止。”這個方法是行之有效的，最適於希望無師自通的自學者們採用。

　　美國理論物理學家理查德·費恩曼。圖片來源：wikimedia

　　求學期間，由於我的理解力不算太差，加上讀書時頗爲專注，學習的效率不很低，因而有餘力大量閱讀參考書或與課程無關的課外書籍。我的讀書方法實際上遵循的就是費恩曼的讀書法——儘管那時我還不知他是何許人也。一旦我讀到某處被卡住了，就知道我對之前書中引入的新概念還有問題，於是我就回到前面該讀的地方再讀一遍。這種反覆閱讀的來回作戰，我不但不感到枯燥無味，反而越讀越興趣盎然，蓋因每讀一次都有新的理解、新的收穫。

　　我在大學階段讀過的那些參考書或課外書，如匈牙利人黎茨 (Frigyes Riesz) 與塞可佛爾維-納吉 (Béla Sz?kefalvi-Nagy) 的名著《泛函分析講義》(Functional Analysis)，都是這樣慢慢往下啃的。到了研究生階段，自由支配的時間更多，我也樂意廣泛閱讀專業基礎書和研究參考書。在南大讀碩士研究生期間，我們幾個同窗學友讀了很有深度的《凸分析》(Convex Analysis)。

　　我相信，我大學同學中分析數學學得比較紮實的那些人，肯定與費恩曼“英雄所見略同”：讀書時碰到不懂之處時，馬上從頭再來，逐步推進，最終全盤拿下整章整節。

　　看懂定理的證明

　　既然數學可以說是一門“證明的科學”，從某種意義上說，學會了證明就等價於學好了數學。懂不了命題的證明，對於數學生而言幾乎就是“恥辱”。所以約克教授曾經強調說：“理解重要定理證明的每一步比理解定理本身還重要。”

　　但是如何看懂定理的證明呢？前文提到的約克教授是這麼說的：

　　“學生（甚至教授）要試圖理解證明中的關鍵思想，並最好找到兩個關鍵的想法。這些關鍵思路不一定非得以‘引理’的面貌出現，因爲書中也許指出了太多似是而非的關鍵線索。其實關鍵思想往往是令學生大喫一驚的那個，因而不同人會挑出一個證明中的不同關鍵想法。它們是提高我們理解力的關鍵要素。一個關鍵的點子也許會有複雜的證明，故學生們應當從這個過程中發現兩個關鍵的思想。”

　　約克教授提到了初等微積分裏的“介值定理”，它的幾何意義連小學生都能看懂：連接一條直線兩旁各一點的一條不間斷的曲線一定要穿過這根直線。該定理的正式數學陳述是：如果f是一個定義在區間 [a,b] 上的取實數值的連續函數，則對位於函數值 f(a) 和 f(b) 之間的任何一個數d，存在 [a,b] 中的一點c，使得 f(c)=d。證明它的第一個思想是，通過區間的中點將區間 [a,b]一分爲二，得到兩個子區間，長度都是原區間的一半。數d一定位於函數在兩個子區間之一的兩個端點上的值之間。由此性質確定的那個子區間將取代原先的區間。第二個思想是，重複運用上面那個平分區間的思想，並且保持數d總是位於區間兩端點的函數值之間這一性質，就可以得到每次長度縮小一半、前面套住後面的一個無窮的閉區間序列。這些區間最終將趨向於一個點c。根據假設f是一個連續函數，因而該點c必定滿足等式f(c)=d。上述兩個思想就是證明介值定理所需要的關鍵步驟。

　　從左至右：James Yorke，李天巖，丁玖，2015年。本圖由作者提供。

　　我讀博士那幾年，導師李天巖教授的博士生一直堅持每週一次的討論班。他對我們報告別人論文的基本要求是“我不要聽你們一般性的證明，請給我證明特殊的情形。”一般結論背後的思想往往在特殊情形中表現得更爲生動。任何抽象數學定理的原始想法經常來自於某個具體的數學對象，然後進一步的思考就能激起對有用性質的抽象化過程，最終導致“一個定理的誕生”。這最後七個字是菲爾茲獎獲得者維拉尼的一本數學暢銷書的書名。那種閱讀定理證明直奔思想腹地的探索行爲，讓我們終生受益。

　　塞德里克·維拉尼著《一個定理的誕生》

　　科學地做題

　　學習數學的一個重要步驟是做習題，然而絕不是做得越多越好。我的大學同班同學、中科院院士田剛讀本科時雖然做了近兩萬道習題，但是他現在被採訪時也不鼓勵學數學的大學生像他過去那樣。

　　其實中國目前數學題做得最多的反而是中小學生，惟一目的就是爲了高考。學簡單的初等數學花了那麼大的勁，就好像殺雞用了牛刀。中國的高中生做的數學題大概幾十倍於美國高中生，但無法否認的事實是，最後成爲傑出數學家的美國人大大多於中國人。原因何在？就在於中國學生的做題是爲了增加高考數學題目的命中率，而美國學生的做題是爲了鞏固概念並幫助 “推陳出新”。

　　那麼，怎樣做題纔算“科學地做題”？首先，因爲學好數學最根本的要旨是掌握概念，所以概念不清的時候就不要急於忙着做題。我班那些善於做題者，下課後都是不慌不忙地先把定義、定理搞得一清二楚，然後纔開始做題，這又加深了概念的理解。

　　好的教科書列出的習題，除了一部分是圍繞概念或應用定理的“常規題目”，還有一批是錦上添花極具挑戰性的上等題目。有的書乾脆將帶有提高性的某些重要命題放在這裏向讀者叫板，請予證明。要敢於嘗試這類題目，而不要做太多幾乎不要動腦子的“概念題”，這纔是提高數學品味的最佳途徑。蘇聯人吉米多維奇經典的《數學分析習題集》的5000道題目中大概有四分之一左右的難題。我的大學同窗田剛、何炳生、張硯凝、錢邁建、魏木生等人則是通過攻下這些難題而逐步練就分析數學的真功夫。

　　正確對待考試

　　“學生怕考試”似乎是雷打不動的事實。我在美國教書的班上，有些學生一到考試前，總是千方百計地打聽考試的範圍，巴不得我把考題事先告訴他們。每當這個時候，我總會想起當年念大學時的鏡頭：教我們《數學分析》的倪進老師考試前常會說：“我真的不知道怎樣爲你們複習，我不可能從頭到尾重講一遍，你們自己複習吧。”於是我們只好自己複習迎考。

　　怎樣複習? 那就如“八仙過海各顯神通”。有的人把做過的習題再過一遍，忘掉的證明或解法這時可以還原於腦。而對我來說，最好的複習方式是，正襟危坐，手捧教材，一個字一個字地從頭到尾把它讀完——重溫了定義，鞏固了概念，釐清了疑難，完成了任務。然而我知道，總有比我考得更好的，總有比我交卷更早的。這不奇怪，一分耕耘一分收穫。對於考試而言，只要智商不低，只要多花功夫，只要複習得當，考個滿意的分數對哪個人都不會是個問題。

　　考試成績當然是重要的，上好的成績單作爲記錄在案的學術歷史，也能讓自己一輩子感到榮耀。可是如同大學排名榜，按照數學家出身的芝加哥大學的校長 Zimmer 博士的說法，只要在排名基於的那些具體指標上多下功夫，學校的排名就會上升，因此美國的名牌大學對排名基本上不太在意，只跟隨自己的教育理念和既定方針，強化學校的教學與科研。同樣的道理，如果一個讀書的學生把考試成績看得太重而輕視博覽羣書的自我成長，基於考試成績的第一第二隻能會是時間上的局部函數。一個有遠大理想的學子，考慮的應是十年後的冒尖或二十年後的輝煌。

　　我有點慶幸自己在大學時代沒能堅持都向成績好的同學看齊，而是跟着自己的感覺走。失之東隅收之桑榆，這個成語就解釋了我的一次經歷。在報考碩士研究生前，不少同學不修第二外語了，我還是堅持修完了第二外語德語，這當然會減少爲了迎考複習英文的時間。讀了研究生後，我通過了免修德語的考試，又修了俄語。到了美國以後，偏偏密歇根州立大學的數學繫有個拿博士學位的必要條件：通過兩門外語，在德語、法語、西班牙語和俄語中選，中文自然落選。幸虧我在南大修過德語和俄語，關鍵時刻它們派上了用場。我很快就通過了這兩門考試，避免了再去修課及格通過的小麻煩，並且拿到了最高一等的助教獎學金。因爲通過了博士學位所要求的全部考試，就差一篇博士論文交差了。

　　總而言之，學習與婚姻一樣，都是終身大事。在青少年階段養成好讀書的習慣和讀好書的品味，在課堂求學的數年，學會怎樣學習，尋求到適合自己的讀書法，就能化被動爲主動，喚起書中鉛字的活力，把它們讀得翩翩起舞。你的思維也就活動起來，你的閱讀快感也會不斷升騰，你的人生經歷也越來越滋潤有味了。

　　完稿於2019年4月1日星期一

　　美國哈蒂斯堡

　　本文內容主要來自北京大學2019年5月出版的作者新書《南大數學七七級》中的第12章《怎樣學習》。

　　製版編輯 | 皮皮魚