2. 離散的四項基本原則

在對該方程進行離散前，先簡單介紹Patankar提出的四項基本原則。

原則一：Consistency at control volume faces， 控制界面相容性原則。要求從一個控制體的某個面流出的通量等於從該面進入下一個控制體的通量，該原則保證了守恆性。

原則二：Positive coefficient， 正係數原則。要求待求變數前的係數必須同為正號（或者負號）。該原則保證一個網格對下一個網格的影響是正向的。例如，該網格溫度升高，會導致相鄰一個網格溫度升高。

原則三：Negative-slope linearization of the source term, 源項線性化係數為負。由於中心網格的係數需減去源項線性化係數，因此該原則能保證有較大源項時，離散格式仍能滿足原則二。

原則四：Sum of the neighbor coefficients, 相鄰係數和原則。該原則要求在不考慮源項的影響時，中心網格的係數等於相鄰係數和。這保證離散方程組可以和原微分方程一樣，即待求量加減任意常數並不影響計算結果。同時和原則三一起能保證離散方程對角佔優。

3. 有限體積離散

在下圖中的交錯網格上對其進行離散。離散的目的是得到一個關於Phi的線性方程組。

瞬態項離散：

對流項離散：

其中小些英文字母n-s-w-e-t-b分別表示該控制體的上下左右前後共六個面。由於採用交錯網格，面上速度已知，但標量需要通過插值計算得到，Xi 控制其插值格式。

粘性項離散：

源項離散：

重新組織成關於phi的線性方程組：

該線性方程組並不滿足相鄰係數和原則，若直接對其求解，微小的質量不平衡會導致巨大的數值波動。因此，需要減掉phi 乘以質量守恆方程。即：

其離散形式為:

該操作隻影響ap，就對流項和粘性項的貢獻而言ap等於周圍鄰居係數之和。以控制體右側面e的對流項為例：

其他各面以及粘性項可以此類推。

最終離散形式為：

推薦閱讀：