對於一個擺長度均為l,小球質量均為m的雙擺

現在假設wo2=g/l,將上下2個小球的振動振幅分別為c1*cos(w*t) , c2*cos(w*t),分別列出微分方程,並代入以上假設

(3*wo**2-w*2)*c1-wo*2*c2=0

-wo**2*c1+(wo**2-w*2)*c2=0

現在把C1和C2看成待求解的未知數,在運動過程中2個小球有無數的振幅的可能性,所以此方程不可能有唯一解,2個方程必定線性相關,方程組矩陣為

Matrix([

[-w**2 + 3*wo**2, -wo**2],[ -wo**2, -w**2 + wo**2]])

根據克萊默法則,行列式為0

w**4 - 4*w**2*wo**2 + 2*wo**4=0

求解這個方程

solve([w**4 - 4*w**2*wo**2 + 2*wo**4], [w**2])

有2個解

w**2=wo**2*(-sqrt(2) + 2),W=0.76wo

w**2=wo**2*(sqrt(2) + 2),W=1.85wo

再將2個解再代入方程組

C2/C1=1+sqrt(2)=2.4

C2/C1=-1/(1+sqrt(2))=-0.4

先假設小球頂部以b*cos(w*t)運動,整個系統將進行強迫振動,角速度也必定為w,對方程進行求解

solve([-c1*w**2+3*c1*wo**2-c2*wo**2-2*wo**2*b, -c1*wo**2 +c2*(wo**2-w**2)], [c1,c2])

結果為

c1=2*b*wo**2*(w**2 - wo**2)/(wo**4 - (w**2 - 3*wo**2)*(w**2 - wo**2))

c2=2*b*wo**4/(w**4 - 4*w**2*wo**2 + 2*wo**4)

假設b=10,wo=2

振幅大於0的是和驅動位移同相,小於0的是反相.C2/C1的值和w的關係圖如下

結合上面2幅圖,最奇妙的是w=wo時,C1=0,C2=2b,而且為反相,此時第一個小球固定不動,第二個小球2倍於驅動端振幅振動

下面討論3個質量相等的小球組成的彈簧振子

下面列出微分方程,假設wo**2=k/m,x1=c1*cos(w*t),x2=c2*cos(w*t),x3=c3*cos(w*t)

-c1*w**2*cos(t*w)+wo**2*(c1*cos(w*t)-b)-wo**2*(c2*cos(w*t)-c1*cos(w*t))=0

-c2*w**2*cos(t*w)+wo**2*(c2*cos(w*t)-c1*cos(w*t))-wo**2*(c3*cos(w*t)-c2*cos(w*t))=0

-c3*w**2*cos(t*w)+wo**2*(c3*cos(w*t)-c2*cos(w*t))+wo**2*(c3*cos(w*t))=0

矩陣為

Matrix([

[-w**2 + 2*wo**2, -wo**2, 0, -b*wo**2],[ -wo**2, -w**2 + 2*wo**2, -wo**2, 0],[ 0, -wo**2, -w**2 + 2*wo**2, -wo**2]])

解這個方程

solve([c1*(2*wo**2-w**2)-c2*wo**2-b*wo**2, -c1*wo**2+c2*(2*wo**2-w**2)-c3*wo**2,-c2*wo**2+(2*wo**2-w**2)*c3-wo**2], [c1,c2,c3])

得到

c1= wo**2*(-b*(wo**4 - (w**2 - 2*wo**2)**2) + wo**4)/((w**2 - 2*wo**2)*(2*wo**4 - (w**2 - 2*wo**2)**2))

c2=wo**4*(b + 1)/(w**4 - 4*w**2*wo**2 + 2*wo**4), c3=wo**2*(b*wo**4 - wo**4 + (w**2 - 2*wo**2)**2)/((w**2 - 2*wo**2)*(2*wo**4 - (w**2 - 2*wo**2)**2))

如果3個小球處於共振狀態:

Matrix([

[-w**2 + 2*wo**2, -wo**2, 0],[ -wo**2, -w**2 + 2*wo**2, -wo**2],[ 0, -wo**2, -w**2 + 2*wo**2]])的行列式為0

-w**6 + 6*w**4*wo**2 - 10*w**2*wo**4 + 4*wo**6=0

解方程 solve([-w**6 + 6*w**4*wo**2 - 10*w**2*wo**4 + 4*wo**6], [w**2])

有3個解 w**2= [(2*wo**2,), (wo**2*(-sqrt(2) + 2),), (wo**2*(sqrt(2) + 2),)]


推薦閱讀:
相關文章