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一注基礎考試（數學篇）知識應用、公式及要點

雪花台灣 2019-03-10 16:04

A1、數學部分

空間解析幾何

平面的方程：

點法式：A（x-x0）+B（y-y0）+C(z-z0)=0,法向量n（A,B,C）

法線垂直於直線上兩點形成的向量

截距式：x/a+y/b+z/c=1,法向量n（1/a，1/b，1/c），且a，b，c為截矩

兩平面夾角：法向量的夾角，cos<n1,n2>=(n1·n2)/（|n1||n2|）

點到平面的距離： $d=frac{|Ax1+By1+Cz1-D|/}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

直線的方程

一般方程：兩平面的交線

過M（x0，y0，z0），方向向量為s（m，n，p）：

$frac{x-x0}{m}=frac{y-y0}{n}=frac{z-z0}{p}=t$

兩直線的夾角：cos<s1，s2>

直線與平面的夾角：sinA=cos<n,s>

點到直線的距離：直線外M0，取直線上任意一點M，則d=|MM0×s| / |s|

曲面的類型：

球面：

橢球面： $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}+frac{z^2}{c^2}=1$

橢圓拋物面： $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=z$

雙曲拋物面： $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=z$

單葉雙曲面： $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}-frac{z^2}{c^2}=1$

雙葉雙曲面： $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}-frac{z^2}{c^2}=1$

圓錐面： $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{a^2}-frac{z^2}{c^2}=0$ 即

求曲線的投影，一般消去某個變數，再聯合該變數=0的方程組。

空間曲線：（Fx，Fy，Fz）為法線方向。

z=f（x，y）

fx=0，fy=0，且fxxfyy-fxy^2<0時，有極值，當fxx<0，極大值。

導數公式

$arccotx=frac{-1}{1+x^{2}}$

$arcsecx=frac{1}{|x|sqrt{x^{2}-1}}$

$arcsecx=frac{-1}{|x|sqrt{x^{2}-1}}$

拐點：二階導數為0，且左右兩側鄰近異號。凹凸的分界點。

凹：二階導數大於0，凸：二階導數小於0

間斷點的概念：

第一類：左右極限存在，不等，跳躍；相等，可去。

第二類：非第一類。

函數連續、可導、可微分的關係：

可導，可微分必定連續，可微分必定可偏導，可偏導且連續才可微分。

可偏導不一定連續，連續不一定可偏導，可偏導與可微分也並不等價。

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微積分

常用極限

記法：（1+小數）^無窮大=e

等價無窮小是極限比值=1

第一類曲線積分：對弧長的積分

第二類曲線積分：對坐標軸的積分

已知路徑為y=f（x）

求積分時把y全用f（x）代入即可，積分域取x的積分域，注意積分時的單調性，可能需要分段。

封閉積分域：

格林公式

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級數問題

判斷級數的收斂性

Step 1 項的收斂性

n趨向無窮，項不收斂於0，則級數發散

Step 2 三種判別法（正項級數）

1.比較原則；

2.比式判別法，（適用於含 n！的級數）；

3.根式判別法，（適用於含 n次方的級數）；

Step 3 交錯級數判別

Step 4

若不是交錯級數，我們可以再來判斷其是否為絕對收斂的級數：

Step 5

如果既不是交錯級數又不是正項級數，且不能用絕對收斂證明，則對於這樣的一般級數，用阿貝爾判別法和狄利克雷判別法判斷。

級數收斂的情況下還分為絕對收斂和條件收斂：

絕對收斂（級數的絕對值收斂），（則可推出級數必定收斂。）

條件收斂（級數的絕對值不收斂）

冪級數的收斂半徑

冪級數 $sum_{n=0}^{infty}{a_{n}x^n}$

$ho=lim|frac{a_{n+1}}{a_{n}}|$ ，若不為零，則收斂半徑

泰勒級數，在x=x0處展開， $f(x)=frac{1}{n!}f^{(n)}(x-x0)(x-x0)^n$

傅里葉級數，已知f（x），周期2l

奇函數展開成正弦級數

偶函數展開成餘弦級數

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線性代數

餘子式： $M_{ij}$ 把 $a_{ij}$ 所在的行和列划去剩下的n-1階行列式

代數餘子式： $A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij}$

$|A|=sum_{i=1}^{n}{a_{ij}A_{ij}}$

特徵值：

如A為3階，特徵值為 $lambda_{1}，lambda_{2}，lambda_{3}$

則有 $lambda_{1}+lambda_{2}+lambda_{3}=a_{11}+a_{22}+a_{33}$ 且 $lambda_{1}lambda_{2}lambda_{3}=|A|$

求逆矩陣：

法1：初等變換[A|E]→[E|A的逆]

法2： $A^{-1}=frac{1}{|A|}A^*$

,

C=AB，C的秩小於等於A和B，當A或B可逆時，則不改變原來的秩。

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微分方程

常微分：未知函數是一元函數的微分方程

偏微分：未知函數是多元函數的微分方程

微分方程的階：方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數

齊次方程：形如 $frac{dy}{dx}+P(x)dy=0$

非齊次方程：形如 $frac{dy}{dx}+P(x)dy=Q（x）$ 且

線性微分方程：即未知函數和相應導數的密次不超過一次

線性齊次方程，幾階就對應幾個任意常數

線性非齊次方程，特解+齊次的通解

如y+p(x)y+q(x)=0 關於y和y『均為1次。

(1)y前的係數不能含y,但可以含x

y*y=2 非線性

x*y=2 線性

(2)y前的係數也不能含y,但可以含x,如:

y=sin(x)y 線性

y=sin(y)y 非線性

(3)整個方程中,只能出現y和y,不能出現sin(y),y^2,y^3等等,如:

y=y 線性的

y=y^2 非線性

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概率論

求逆公式：

加法公式：P（A+B）=P(A)+P(B)-P(AB)

減法公式：

乘法公式：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) 當A與B相互獨立時，P（AB）=P(A)P(B)

互斥事件和獨立事件的區別：

互斥： P(AB)=0，A，B不能同時發生。

獨立：P(AB)=P(A)P(B)

$C_{r}^{n}=frac{n!}{r!(n-r)!}, A_{r}^{n}=frac{n!}{(n-r)!}$

二項分布

$P（x=k）=C_{n}^{k}p^k(1-p)^n-k$

則E（x）=np，D（x）=np（1-p）

泊松分布

$P（x=k）=e^{-lambda}frac{lambda^k}{k!}$ ,

則

正態分布

協方差cov（x，Y）=E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY)-E(X)E(Y)

相關係數 $ho（X,Y）=frac{cov（X,Y）}{sqrt{D(X)D（Y）}}$

樣本均值 1/n

方差：1/（n-1），原因在於無偏估計的需要

$D（ar{x}）=frac{sigma^2}{n}$

參數估計：用樣本對總體所含未知參數進行估計

點估計：

（1）矩法：即樣本的平均值和方差作為總體樣本的均值和方差，此處方差取為1/n

（2）最大似然法

無偏估計要求E（x『）=E（x）

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