關於算符的作用是[求導與函數的乘積形式]的情況容易出現的運算錯誤與δ函數的導數的作用

Warning:下面會出現大量的偏導符號和導數符號的混用,大家心裡有數就好了.

已知與 $〈x|P_{x}|psi〉=frac{hbar}{i}frac{partial}{partial x}〈x|psi〉$

那麼如何展開呢?

$[frac{hbar}{i}frac{partial}{partial x}x]psi(x)$ ? 還是 $frac{hbar}{i}frac{partial}{partial x}[xpsi(x)]$ ?

答案是後者,因為PX作為一個算符一同作用在了上.

(不信的話去看看X,P的對易關係怎麼證明的)

那麼下面這種情況如何呢？

假設我們目的是通過相干態的定義求相干態的坐標表象波函數 $psi_{alpha}(x)$ .

$〈x|a|alpha〉=alpha〈x|alpha〉=alphapsi_{alpha}(x)$

其中湮滅算符定義為: $[a = frac{1}{{sqrt {2mhbar omega } }}left[ {momega X + iP} ight]]$ $[egin{align} & langle x|aleft| alpha ight angle =int{langle x|aleft| {{x}} ight angle leftlangle {x}|alpha ight angle d{x}} \ & =frac{1}{sqrt{2mhbar omega }}int{langle x|left[ momega X+iP ight]left| {{x}} ight angle {{psi }_{alpha }}left( {{x}} ight)d{x}} \ end{align}]$

那麼下一步是如何進行呢？

$[frac{1}{sqrt{2mhbar omega }}int{left[ momega xdelta left( x-{x} ight)+hbar frac{partial }{partial x}delta left( x-{x} ight) ight]{{psi }_{alpha }}left( {{x}} ight)d{x}}]$ ①

還是

$[frac{1}{sqrt{2mhbar omega }}int{left[ momega {x}delta left( x-{x} ight)+hbar frac{partial }{partial {x}}delta left( x-{x} ight) ight]{{psi }_{alpha }}left( {{x}} ight)d{x}}]$ ②

答案是選①,二者運算起來邏輯完全不同.參考本文第一行的已知內容,在坐標表象下與 $[{{P}_{x}}]$ 該化為[ 與 $[frac{hbar }{i}frac{partial }{partial x}]$ ]還是[ 與 $[frac{hbar }{i}frac{partial }{partial x}]$ ]取決於式子的左矢是還是這代表著表象的選擇,而右矢是視作一個態的,後面也會順便講一下①②兩種情形分別的處理方法.

那麼 $[frac{1}{sqrt{2mhbar omega }}int{left[ momega xdelta left( x-{x} ight)+hbar frac{partial }{partial x}delta left( x-{x} ight) ight]{{psi }_{alpha }}left( {{x}} ight)d{x}}]$ 的下一步如何進行呢？

$[frac{1}{sqrt{2mhbar omega }}left[ int{momega xdelta left( x-{x} ight){{psi }_{alpha }}left( {{x}} ight)d{x}}+int{hbar frac{partial }{partial x}left[ delta left( x-{x} ight){{psi }_{alpha }}left( {{x}} ight) ight]d{x}} ight]]$

還是

$[frac{1}{sqrt{2mhbar omega }}left[ int{momega xdelta left( x-{x} ight){{psi }_{alpha }}left( {{x}} ight)d{x}}+int{hbar left[ frac{partial }{partial x}delta left( x-{x} ight) ight]{{psi }_{alpha }}left( {{x}} ight)d{x}} ight]]$

新手被我最前面的內容誤導了一下就可能會選擇

但實際上才是正確的展開

那麼,為何 $〈x|PX|psi〉 =frac{hbar}{i}frac{partial}{partial x}[xpsi(x)]$ 和 $[egin{align} & leftlangle x ight|aleft| alpha ight angle =int{leftlangle x ight|aleft| {{x}} ight angle leftlangle {{x}} | alpha ight angle d{x}} \ & =frac{1}{sqrt{2mhbar omega }}int{leftlangle x ight|left[ momega X+iP ight]left| {{x}} ight angle {{psi }_{alpha }}left( {{x}} ight)d{x}} \ & =frac{1}{sqrt{2mhbar omega }}int{left[ momega xdelta left( x-{x} ight)+hbar frac{partial }{partial x}delta left( x-{x} ight) ight]{{psi }_{alpha }}left( {{x}} ight)d{x}} \ & =frac{1}{sqrt{2mhbar omega }}left[ int{momega xdelta left( x-{x} ight){{psi }_{alpha }}left( {{x}} ight)d{x}}+int{hbar left[ frac{partial }{partial x}delta left( x-{x} ight) ight]{{psi }_{alpha }}left( {{x}} ight)d{x}} ight] \ end{align}]$

的情況不太一樣呢？

其實說來簡單,關鍵是看算符作用在誰身上了.

PX是作用在上的,而後者的P是作用在上的.

也就是說:

$[egin{align} & langle x|{{P}_{x}}Xleft| psi ight angle =frac{hbar }{i}frac{partial }{partial x}leftlangle x ight|Xleft| psi ight angle =frac{hbar }{i}frac{partial }{partial x}left[ xpsi (x) ight] \ & langle x|{{P}_{x}}left| {{x}} ight angle leftlangle {x}|psi ight angle =frac{hbar }{i}frac{partial }{partial x}leftlangle x|{x} ight angle psi ({x})=left[ frac{hbar }{i}frac{partial }{partial x}delta left( x-{x} ight) ight]psi ({x}) \ end{align}]$

要是覺得這個說法不可信的話看一看最後面的一小段.

δ函數的導數起什麼作用:

I.前面情況①的後半邊的後續:

$[egin{align} & int{hbar left[ frac{partial }{partial x}delta left( x-{x} ight) ight]{{psi }_{alpha }}left( {{x}} ight)d{x}}=hbar frac{partial }{partial x}int{delta left( x-{x} ight){{psi }_{alpha }}left( {{x}} ight)d{x}} \ & =hbar frac{partial {{psi }_{alpha }}left( x ight)}{partial x} \ end{align}]$

這裡的δ函數的導數的處理是一個交換求導積分次序.你可能會想,求導一開始不作用在 $[{{psi }_{alpha }}left( {{x}} ight)]$ 上而只對δ函數作用,能把求導符號 $[frac{partial }{partial x}]$ 提出去嗎？可以的,實際上一開始 $[{{psi }_{alpha }}left( {{x}} ight)]$ 裡面的變數是x,相對這個求導就是個常數,你把他放進括弧里也無妨.(這裡有些尷尬,你可能會覺得我上面都是廢話,因為這樣的話和的作用效果沒有實質性的區別是吧?不過看下面的運算,你就會發現這還是值得探討一下的問題.)順帶一提,把的結果帶回 $〈x|a|alpha〉=alpha〈x|alpha〉=alphapsi_{alpha}(x)$ 可以得到一個微分方程,這是求解相干態的坐標表象波函數 $psi_{alpha}(x)$ 的其中一種方法.

II.前面情況②的後半邊的後續:

$[egin{align} & hbar int{left[ frac{partial }{partial {x}}delta left( x-{x} ight) ight]{{psi }_{alpha }}left( {{x}} ight)d{x}}=hbar int{{{psi }_{alpha }}left( {{x}} ight)ddelta left( x-{x} ight)} \ & =-hbar int{delta left( x-{x} ight)frac{d{{psi }_{alpha }}left( {{x}} ight)}{d{x}}}d{x} \ & =-hbar frac{d{{psi }_{alpha }}left( x ight)}{dx} \ end{align}]$

這裡對δ函數的導數的處理是通過一個分部積分,這裡的 $[{{psi }_{alpha }}left( {{x}} ight)]$ 在括弧內外區別很大,在括弧內整個積分求導就抵消掉了,會算出個不倫不類的東西.

也可以看出, $[frac{hbar }{i}frac{partial }{partial x}]$ 和 $[frac{hbar }{i}frac{partial }{partial x}]$ 搞混的後果是差一個負號,區別不是特別大,所以一旦出錯還不那麼容易發現.

為什麼會差一個負號呢?

因為 $[left{ egin{align} & leftlangle x ight|iPleft| {{x}} ight angle =hbar frac{partial }{partial x}delta left( x-{x} ight) \ & leftlangle {{x}} ight|iPleft| x ight angle =hbar frac{partial }{partial {x}}delta left( x-{x} ight) \ & leftlangle x ight|iPleft| {{x}} ight angle =-leftlangle {{x}} ight|iPleft| x ight angle \ end{align} ight.]$

最後這個不看也沒啥,如果你不太相信下面這個結論可以看看 $[egin{align} & langle x|{{P}_{x}}Xleft| psi ight angle =frac{hbar }{i}frac{partial }{partial x}left[ xleftlangle x|psi ight angle ight]=frac{hbar }{i}frac{partial }{partial x}left[ xpsi (x) ight] \ & langle x|{{P}_{x}}left| {{x}} ight angle leftlangle {x}|psi ight angle =frac{hbar }{i}frac{partial }{partial x}leftlangle x|{x} ight angle psi ({x})=left[ frac{hbar }{i}frac{partial }{partial x}delta left( x-{x} ight) ight]psi ({x}) \ end{align}]$

我們將插入一個完備性關係用第二個式子的形式證明第一個式子的結論,說明二者是兼容的.

$[egin{align} & langle x|{{P}_{x}}Xleft| psi ight angle =int{langle x|{{P}_{x}}Xleft| {{x}} ight angle leftlangle {x}|psi ight angle d{x}} \ & =int{frac{hbar }{i}frac{partial }{partial x}left[ xdelta left( x-{x} ight) ight]psi ({x})d{x}} \ & =int{frac{hbar }{i}left( delta left( x-{x} ight)+xfrac{partial }{partial x}delta left( x-{x} ight) ight)psi ({x})d{x}} \ & =frac{hbar }{i}psi (x)+frac{hbar }{i}xfrac{partial }{partial x}int{delta left( x-{x} ight)psi ({x})d{x}} \ & =frac{hbar }{i}left( psi (x)+xfrac{dpsi (x)}{dx} ight)=frac{hbar }{i}frac{partial }{partial x}left[ xpsi (x) ight] \ end{align}]$