無窮大，到底是有多大？
在二十世紀初，德國的哥廷根大學是全世界最負盛名的數學研究中心之一。數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert）是哥廷根大學的一位聲名顯赫的教授。在1924-1925年的那個冬季學期，他進行了一系列關於無限的講座，涉及數學、物理學和天文學等領域。
在其中一個演講中，他用了一個例子來解釋有限集和無限集之間的關鍵區別：在一個房間數量有限的旅店中，如果所有房間都被佔用，那麼新來的客人就沒有房間了；但是對於一個有著無窮多個房間的旅店來說，這就不成問題——如果所有房間都住滿了，那麼當新來了一位客人時，只需要把每位客人的房間向下挪一個，把第一個房間空出來留給新來的客人就好了。類似的論點使我們可以容納任意數量、甚至無窮多的新來的客人。
無窮多房間的希爾伯特大飯店
為了簡單起見，我們將這間飯店的無窮多個房間編號為1、2、3、4、5……假設有一天，所有房間都住滿了，這時來了一位新客人。正如之前說的，我們只需要把1號房間的客人挪到2號房間，2號房間的客人挪到3號房間……也就是把n號房間的客人挪到(n+1) 號房間，從而空出1號房間給新來的客人，原來的客人也不會落得無房間可住。如果我們再假設，新來的客人數量不是1位而是20位，那麼之前的策略仍能奏效：只要把n號房間的客人挪到(n+20) 號房間，留出20個空房間給這20位新來的客人即可。
一層無窮
但是，如果有無窮多個客人乘著一輛有無窮多座位的巴士要住進這家希爾伯特大飯店呢？這時，我們通過可以修改前面的方法，使它仍能適用於這種情況，那便是將已經入住飯店的客人間隔開來：用數學的語言來講，這相當於把n號房間的客人挪到2n號房間，這樣所有偶數號的房間都被佔據。這樣一來，每個用來隔開的房間（無窮多個）都是空的，也就可以容納（無窮多個）乘巴士到達的人。車上座位號為n的人應該搬進第n個奇數編號的房間，也就是 (2n?1) 號房間。
如果來了99輛無窮多座位的巴士呢？這時，只需將原來入住的客人挪到編號為100、200、300等房間，讓第一輛汽車上的乘客搬到編號為1、101、201等房間，讓第二輛汽車上的乘客搬到編號為2、102、202等的房間，以此類推。這樣一來所有的房間都會被佔據，同時也不會有客人沒有房間住。
如果汽車上的乘客自己編號為1, 2, 3, 4, 5, … （而且我們不區分原來入住的客人，這可以認為是將所有原來入住的客人搬出飯店，並進入停在飯店旁邊的一輛裝飾精美的汽車，我們可以稱之為0號汽車。）然後，我們將看到，飯店的前一百個房間（1-100）被100輛汽車上的編號為1的客人佔據，飯店的第二個一百個房間（101-200）被編號為2的客人佔據，等等。
如果將巴士上的乘客的編號為1、2、3、4、5......（我們假設將所有原來入住的客人都搬出飯店，暫時安置在停在飯店旁的一輛編號為0的巴士上），那麼我們將看到飯店的前100個房間（1-100）被100輛巴士上的編號為1的客人佔據，飯店的第二個100個房間（101-200）被編號為2的客人佔據，等等。
兩層無窮
再上升一個難度級別，是應對無窮多輛有著無窮多座位的巴士、每輛巴士上載有無窮多個乘客的問題。第一件要做的事是讓每個人都離開飯店，離開汽車，然後將他們在停車場上安置乘網格狀：讓原來入住飯店的客人（也就是0號巴士上的乘客）按照編號順序，從左到右形成一排。之後，再讓1號巴士上的乘客在0號下面另排成一排，2號巴士上的乘客再在1號下面排成一排，以此類推。將每一排彼此對齊，這樣一來，來自無窮多輛汽車上的編號為1的乘客就會形成一列，編號為2的乘客也會在1的右邊另形成一列，等等。
現在，如果從第一行客人開始，將他們安排住進巴士裏編號為1、2、3、4......的房間，那麼這是一個永遠無法結束的過程，我們也永遠抵達不了第二行；如果我們從第一列開始，情況也是一樣的。解決這個難題的訣竅是考慮對角線，也就是網格上從左下角延伸到右上角的直線。在這些對角線中，最左邊的那條只會經過左上角的那個人，即0號巴士上的1號乘客——讓這個人入住1號房間。下一條對角線會經過兩個人（1號汽車上的1號乘客，0號汽車上的2號乘客）：讓這兩個人入住2號和3號房間。下一條對角線將碰到三個人——讓這三個人入住接下來的三個空房間，4、5、6號。按照這種模式，我們最終就能為耐心等候在停車場上的每個人都分配一個房間。
三層無窮
這個無窮大的問題還能繼續深入嗎？當然可以。想像一下，在希爾伯特大飯店的旁邊有一個車庫，在車庫的一樓是我們已經知道的無窮多輛無窮多座位的汽車。接著，我們注意到：車庫有無窮多層，每層都有無窮多輛無窮多座位的汽車。希爾伯特大飯店能應對這額外的一層無窮嗎？
答案是肯定的！我們可以用之前的方法，將車庫裡的每一層乘客排成一個縱列，然後讓每個縱列進入一輛無窮多座位的汽車。這樣，我們就把問題簡化為無窮多輛無窮多座位汽車的問題了。而我們知道，這間飯店是可以容納這種情形下的所有人的。
四層無窮......
如果再添加一層無窮呢？例如，如果車庫也有無窮多個，每個車庫有無窮多層，每層有無窮多輛巴士，每輛巴士有無窮多個乘客？即便要應對這一共4層無窮，答案仍然是肯定的！事實上，即使是4000層無窮大，答案也是肯定的。這一切會停止嗎？希爾伯特大飯店是否會有再也無法接待新客人的時候？對於希爾伯特大飯店而言，是否存在一個無法承受的無窮大？是的，有。事實上，當我們有無窮多層的無窮大時，就不可能讓所有這些人都住進希爾伯特大飯店。
無窮大有多大？
所以…...發生了什麼？結果表明，之前描述的所有無窮，直到最後一個，都一樣大。它們的大小為?0（aleph 0，讀作阿列夫零），這也是集合 ?={ 1, 2, 3, 4, … } 和希爾伯特大飯店中房間數量的大小。
1874年，格奧爾格·康託爾（Georg Cantor）提出瞭如何比較無窮大的概念，並證明存在不同大小的無窮大。一些顯赫的數學家（龐加萊、克羅內克和後來的的赫爾曼·爾）都強烈反對康託爾的觀點。一些神學家也是如此，他們稱康託爾的觀點挑戰了上帝的絕對無限的唯一性。而希爾伯特，則站在了支持並捍衛康託爾的一邊。
比較無限集合的大小與比較有限集合的大小並沒有太大的差別：若想要知道教室裏的椅子數和人數哪個更多，我們並不需要分別數清有多少人和多少椅子才能比較這兩個數字。我們只要瞥一眼房間，看看是否有空椅子（椅子比人多），或者看看是否有人站著沒地方坐（人比椅子多）即可：如果每一個人都坐在椅子上也沒有空出來的椅子，那麼就意味著椅子的集合與人的集合一樣大。
類似地，如果汽車上的每一位乘客都分配到了希爾伯特大飯店裡的一個房間，沒有剩餘的空房間，那麼，乘客的集合是一個與希爾伯特大飯店的間數同樣大小的無窮大，都是?0。利用這個想法，康託爾證明瞭實數集? 嚴格大於自然數的集合?； 他絕妙的論證被稱為「康託爾對角論證法」（Cantor』s diagonal）。
康託爾還猜想並試圖去證明連續統假設（Continuum Hypothesis，不存在嚴格大於可數集? 卻嚴格小於實數集 ? 的無限集合），但他沒有成功。希爾伯特將證明這個命題的真偽作為第一個問題，包含在了著名的於1900年在巴黎舉行的國際數學家大會上提出的23個問題中——這些問題，將決定未來幾十年數學研究的方向。
答案是，連續統假設不能被證明是錯誤的 （哥德爾在上世紀40年代證明），但也不能被證明是正確的（Paul Cohen於1963年證明），這是一個不可判定的問題！希爾伯特有一句關於康託爾的無窮大思想以及由此產生的新數學的名言：「沒有人能夠把我們從康託爾建立的樂園中趕出去。
博科園-科學科普｜文：Ana Rita Pires/原理/principia1687
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