我們剛剛學會說話時，父母除了教我們喚「爸爸媽媽」，最先讓我們學習的恐怕就是識數了，從1數到10，再數到100，這或許就是很多人的數學啟蒙，專欄的第一篇文章，我們就來談談「為什麼1的後面是2？」這個問題。

其實這個問題就是自然數集的定義問題，怎樣的集合被稱作自然數集呢？我們不妨先回想算術形成之初。早在遠古時代，人們就用繩結表示事物的多少，在彩陶中繪有大量的直線、三角、圓、方、菱形、五邊形、六邊形等對稱圖案，在房屋遺址的基地上，亦發現幾何圖形，表明遠古的人們在一定程度上已經具有數和形的概念。那時人們對自然數並沒有準確的定義，只是在日常生活中形成了樸素的概念，1+1=2，2+1=3……

然而隨著代數學、數論、集合論等學科的發展，人們迫切地需要規範的自然數集的定義，歐幾裏得的五條公理奠定了歐氏幾何學的基礎，而現在數學家們同樣需要這樣的幾條公理來為代數學奠基，可以說，這是一個為世界萬物編號的過程。1889年，在數學家戴德金工作的基礎上，義大利數學家皮亞諾（Giuseppe Peano，1858-1932）在《用一種新方法陳述的算術原理》一書中提出了一個算術公理系統，這個公理系統有九條公理，其中四條是關於「相等」的，五條是刻畫數的，並且以1而不是0作為基本概念。在後來的著作中，皮亞諾對這一算術系統作了修改，去除了關於「相等」的四條公理，並且以0取代1作為基本概念，構造了沿用至今的皮亞諾算術公理系統。

皮亞諾公理也由五條陳述組成。

Ⅰ、0是自然數；

Ⅱ、每一個確定的自然數，都具有確定的後繼，並且後繼也是自然數（數a的後繼數a就是緊接在這個數後面的整數（a+1）。例如：1=2，2=3等等。）；

可是僅有這兩個公理還不夠完整地描述自然數，因為滿足這兩條的有可能不是自然數系統。比如數字系統0, 1，其中1的後繼為0。這不符合我們對於自然數系統的期望，因為它只包含有限個數。因此，我們要對自然數再做一下限制：

Ⅲ、0不是任何自然數的後繼數；

但這裡面的漏洞防不勝防，此時仍不能排除如下的反例：數字系統 0, 1, 2, 3，其中3的後繼是3。看來，我們設置的公理還不夠嚴密，還得再加一條。

Ⅳ、不同的自然數有不同的後繼數，如果兩個自然數的後繼數相等，那麼它們是同一個數；

最後，為了排除一些自然數中不應存在的數（如 0.3），我們加上最後一條公理。

Ⅴ、如果S是包含自然數的集合，且S內所有整數的後繼數也在S內，則S包含了所有自然數。(這條公理也叫歸納公理，保證了數學歸納法的正確性)

這條公理並沒有那麼簡單，它規定了自然數應具有相同的性質，同時也為運算律的嚴格規定奠定了基礎。

至此，皮亞諾算術公理已然形成，數學家們在自然數的基礎上又發展出了各種不同的數字系統，為現代數學的發展做出了巨大的貢獻。同時，這種公理化的方法也啟發著後人，體現了自然科學的嚴謹性。

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