例 設數列 {a_n} 滿足： a_1=2 ，前 n 項的和 S_n=a_{n+1}-2^{n+2}+2 。

（1）求數列 {a_n} 和 {S_n} 通項公式；

（2）證明： frac{1}{a_1-1}+frac{1}{a_2-2}+dots +frac{1}{a_n-n}<frac{4}{3} 。

（1）解答 當 n=1 時， a_2=a_1+6=8 ，下設 ngeq 2

則由 left{ egin{aligned} &S_n=a_{n+1}-2^{n+2}+2\ &S_{n-1}=a_n-2^{n+1}+2end{aligned} ight. 作差得： (S_n-S_{n-1})=a_{n+1}-a_n-2^{n+1}

又 S_n-S_{n-1}=a_n ，整理得 a_{n+1}=2a_n+2^{n+1}(ngeq 2)

Leftrightarrow frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=frac{a_n}{2^n}+1(ngeq 2) ，又 frac{a_2}{2^2}=2=frac{a_1}{2^1}+1

故 {frac{a_n}{2^n}} 是首項為 1 ，公差為 1 的等差數列，累加得 frac{a_n}{2^n}=n

故數列 {a_n} 的通項公式為 a_n=ncdot 2^n

又注意到 a_n=(n-1)cdot 2^{n+1}-(n-2)cdot 2^n

故數列 {S_n} 的通項公式為 S_n=(n-1)cdot 2^{n+1}+2 。

注 @空亦前移 指出，可以直接根據已知條件 S_n=a_{n+1}-2^{n+2}+2 求出 S_n 。

這是這題最快、最簡潔的方法。

（2）證明 由（1）得 a_n=ncdot 2^n ，注意到當 kgeq 2 時， kcdot 2^kgeq 2^{k+1}>2^{k+1}-1

因此 frac{1}{k(2^k-1)}=frac{(2^{k+1}-1)}{k(2^k-1)(2^{k+1}-1)}<frac{kcdot 2^k}{k(2^k-1)(2^{k+1}-1)}

=frac{2^k}{(2^k-1)(2^{k+1}-1)}=frac{1}{2^k-1}-frac{1}{2^{k+1}-1} ，其中 kgeq 2

當 n=1 時， frac{1}{a_1-1}=1<frac{4}{3} ，下設 ngeq 2

sum_{k=1}^n(frac{1}{a_k-k})=1+sum_{k=2}^n(frac{1}{a_k-k})<1+sum_{k=2}^n(frac{1}{2^k-1}-frac{1}{2^{k+1}-1})

=1+frac{1}{3}-frac{1}{2^{n+1}-1}<frac{4}{3} ，證畢。


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