這一期的內容不太硬核，主要是介紹，讓大家熟悉熟悉歐拉積分。不喜歡看推導過程的同學，隨便看看過程，記的話直接記結論（在最後）就好。

歐拉積分有兩類，很多與冪、階乘有關的反常積分都可以利用歐拉積分表示，而這兩類歐拉積分又可以相互表示。它的重要性也好，應用的廣泛性也好，有太多書在講了，這裡就不再拓展。

第一類歐拉積分 B函數（歐拉貝塔函數-Eulers Beta Function）

它的定義是：

沒錯，它的定義就是一個反常積分。你可以這樣記憶：底數是 和 ，對於積分區間 來說正好是互補的；指數就是 和 ，括弧裏的數減一。

它是關於 對稱的，令 ， 則

對它分部積分會得到：

所以

推廣得到： 。

前面可以看到這個積分範圍在0到1，所以侷限性很大，下面來介紹一個0到無窮區間的歐拉積分。

第二類歐拉積分 函數（歐拉伽馬函數-Eulers Gamma Function）

它的定義是：

同樣由分部積分可以得到：

所以

我們重複使用有：

取 會得到： 這說明，在0到正無窮上，伽馬函數就是階乘的推廣，將階乘函數「繪製」了出來。

我們最後來考慮：

。

於是我們有重要的轉換公式： 。

\餘項公式留在反常積分的文章裏再討論。

總結：

，

，

。

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