這裡我用了李賢平的《概率論基礎》(第三版, 高等教育出版社)的書上例題與習題1.8、廖良文的《複分析基礎》的習題4.4.

例1 證明 C_n^0+C_n^1+cdots+C_n^n=2^n .

證明: 根據恆等式 (1+x)^n=sumlimits_{r=0}^nC_n^r x^r (*), 對(*)式令 x=1 即可. square

例2 證明 C_n^1+2C_n^2cdots+nC_n^n=n2^{n-1}

證明: 對(*)式兩邊求導得

n(1+x)^{n-1}=sumlimits_{r=1}^n C_n^r rx^{r-1} ,

令 x=1 即可. square

注: 令 x=-1 可得

C_n^1-2C_n^2+3C_n^3cdots+(-1)^{n-1}nC_n^n=0.

例3 證明 (C_n^0)^2+(C_n^1)^2+cdots+(C_n^n)^2=C_{2n}^n .

證明: 根據(*), 把 n 換成 2n 得到

(1+x)^{2n}=sumlimits_{r=0}^{2n}C_{2n}^r x^r,

而且

(1+x)^{2n}=(1+x)^{n}cdot(1+x)^n=left(sumlimits_{r=0}^nC_n^r x^r ight)^2,

比較兩條恆等式 x^n 項係數即可得

(C_n^0)(C_n^n)+(C_n^1)(C_n^{n-1})+cdots+(C_n^n)(C_n^0)=(C_{2n}^n),

即欲證等式. square

注: 可以作如下推廣：對 (1+x)^a(1+x)^b 比較 n 次方項係數可得

(C_a^0)(C_b^n)+(C_a^1)(C_b^{n-1})+cdots+(C_a^n)(C_b^0)=(C_{a+b}^n),

如果比較 a-r 次方項係數又得

sumlimits_{k=0}^{a-r}C_{a}^{k+r} C_b^k=C_{a+b}^{a-r}.

例4 Bernoulli數由下面的冪級數定義:

dfrac{z}{e^z-1}=sumlimits_{n=0}^{+infty}dfrac{B_n}{n!}z^n.

證明公式

dfrac{B_0}{n!0!}+dfrac{B_1}{(n-1)!1!}+cdots+dfrac{B_{n-1}}{1!(n-1)!}= left{ egin{aligned} &1, &n=1, \ &0, &n>1. end{aligned}<br /> ight.

證明: 由 e^z=1+z+dfrac{z^2}{2!}+cdots+dfrac{z^n}{n!}+cdots , 對 B_n 的定義式移項可得

z=sumlimits_{n=0}^{+infty}dfrac{B_n}{n!}z^{n}sumlimits_{m=1}^{+infty}dfrac{z^m}{m!}.

比較兩邊多項式各項係數, 可得 z 的係數滿足 1=dfrac{B_0}{0!}, 而 z^k(k>1) 的係數滿足

0=sumlimits_{n+m=k,m eq0}dfrac{B_n}{n!m!}.

作簡單化簡即證完. square

注1: 兩個級數都一致收斂.

注2: 對欲證等式兩邊乘 n! , 轉化為個漂亮恆等式:

C_n^0B_0+C_n^1B_1+cdots+C_n^{n-1}B_{n-1}= left{ egin{aligned} &1, &n=1, \ &0, &n>1. end{aligned}<br /> ight.


推薦閱讀：
相關文章