1.射影空間和量子態

用希爾伯特空間描述量子態的方便之處在於其作為完備的內積空間，不單具有線性空間的良好代數結構，還有內積帶來的良好的拓撲結構。但由於對任何態向量 而言，若 且 必有 與 描述同一量子態，所以態向量其實是包含了冗餘的自由度的。

為了消除冗餘自由度我們定義如下等價關係

那麼希爾伯特空間除去0，再商掉這個等價關係就得到射影空間 ，對於有限維空間 它的射影空間記作 （類似地，對於實空間，它的射影空間記作 )，它當然不再是一個線性空間，而是一個 維複流形。

那麼希爾伯特空間的射影空間，可以記作 ,它就可以看作量子態的空間。

2.從射影空間的概率到希爾伯特空間的概率

如果我們需要考慮量子態的統計規律，顯然應該考察射影空間上的概率 ，如果我們要把它換成希爾伯特空間的概率，顯然我們需要把它乘上一個複平面上的概率。

但是由於 ，我們必須要求 。

最終定義希爾伯特空間的概率為這兩個概率的乘積概率：

一般地，只有射影空間上的概率才是真實的物理，而希爾伯特空間的概率有多餘自由度，如果兩個希爾伯特空間的概率在射影空間的邊緣分布相等，即 ，其中 是希爾伯特空間到射影空間的投影，那麼它們其實描寫了相同的物理。

考慮物理量 ，它是一個自伴運算元，對於確定的態 ，它的期望是 ，但現在 是不確定的，所以期望應當變為

我們希望把積分換到希爾伯特空間去，考慮到 必然有：

為了使得把概率拓展到希爾伯特空間不至於影響期望，顯然，我們必須要求

3.密度運算元

定義密度運算元是希爾伯特空間中概率的二階矩

那麼我們有

從這個角度說，我們觀察得到 取得值的真實概率應該是 ，雖然同一個二階矩可以對應不同的射影空間的概率，但是到了觀測物理量的時候，它們的高階矩沒有可觀測性，從而密度運算元實際上已經描述了一個量子系統全部的隨機性，從而我們並不需要從測度論出發考慮複雜的概率，只需要考察作為二階矩的密度運算元即可。

注意到 ，所以希爾伯特空間概率的奇偶性是非物理的因素，完全可以在複平面概率中規定出來，比如我們要求 與相位無關就可以使得 ，二階矩為最低階非0矩，且和協方差相等，因此密度運算元實際上也是量子系統的協方差。

4.密度運算元的緊性

實際上 並不是平庸的性質，甚至連恆等運算元跡都是發散的 ，不過至少當 有界時， 總是存在的，而對於無界運算元， 也不一定見得發散，比如考慮是有窮秩運算元，即只有一個有窮維子空間在它的作用下不為0，那麼不管怎樣的無界運算元與它的乘積都變成了有窮秩運算元，從而可以求跡。

我們規定 （可以用譜分解定理或極分解定義）為運算元的跡範數，跡範數收斂的運算元稱為跡運算元。特別地對於非負對稱的跡運算元，我們稱之為核運算元，對於核運算元， ，從而 ，顯然密度運算元就是一個核運算元。

由泛函分析可知，跡運算元都是緊運算元，即它們作用在單位閉球（對於無窮維空間這不一定是緊集）上得到一個緊集。而緊運算元的譜點除了0可以是連續譜或剩餘譜，其他都是點譜，且有唯一聚點0。

也就是說我們可以把密度運算元的非0譜點從大到小排列為 ，且這個數列有限或收斂於0，而且它們的和就是密度運算元的跡從而等於1。

這個性質其實是很高的要求，我們在量子力學中遇到了很多只有連續譜的情況，而密度運算元不但幾乎只有點譜，而且0作為孤立的連續譜無法有任何積分效應，這些點譜的和還等於1。

這個要求太強了，以至於量子統計討論自由粒子都必須做箱歸一化，最後計算得到的所有熱力學統計量，全部都依賴於體積。當然這也並不奇怪，當初經典統計力學的基本假設就是，大量粒子在相空間中的等能面上服從均勻分布，這就暗示了等能面是緊的，而量子力學中要求密度運算元是緊運算元也算是一種對應。

5.一些例子

統計力學中的3種系綜對應的密度運算元：

1.微正則系綜 ，其中 是 值域的維數，也就是哈密頓量 的點譜 的特徵子空間的維數。

2.正則系綜 ， 為配分函數。

3.巨正則系綜 ， 為巨配分函數。

這3種情況要使密度運算元跡為1，都必須要求哈密頓量只有點譜且每個點譜的特徵子空間都是有限維的。用物理的話就是說系統只有束縛態，且每個能級的簡併度都是有限的。

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