知乎曾有問題問能否通過水杯的壁面上冷凝的小水珠來確定水杯中水的溫度。這個有點荒誕的想法一看就很有挑戰性，讓人摸不著頭腦。

下面我就基於自己對蒸發過程的理解，以及物理化學基本公式的學習，來挑戰這個問題。不求是否使用及是否精確，僅僅從理論上探討其可行性。

下面我以自己的理解做個設計，來通過冷凝的小水珠來計算杯中水的溫度。

實驗原理：水的蒸發速率和溫度具有可用解析式表達的定量關係，通過測定水的蒸發速率，從而 可以計算水的溫度。

實驗裝置：如圖1所示，假設水杯是一個半徑為r的圓柱，裡面盛滿水，通過外界加熱使其溫度恆為T1，在水杯上方罩著一個等大高度為h的罩子，這個罩子有如下特點：（1）內表面是高粘附表面，即水珠在上面凝結不會滑落 （2）罩子傳熱性能足夠好，內部溫度與室溫相等恆為T2 （3）罩子和水杯足夠大，凝結的水珠尺寸和他們相比，可以忽略不計，這樣就不用考慮水珠凝結過程中的表面曲率變化。（4）罩子與水杯表面足夠接近，即水的冷凝全部冷凝到罩子里（5）罩子的高度可以調節，可以調節到其頂部在冷凝過程中只有很少的冷凝，此時可以認為罩子最頂端的蒸氣濃度和水在T2下的飽和蒸汽濃度相等，即Cs2 （6）這個罩子與一個天平相連，可以測量出罩子的質量隨著時間的變化。

實驗過程：開始對水杯容器加熱並保持其溫度恆為T1，這時蓋上罩子，調節罩子高度，直到其頂端在冷凝過程中，只有很少的冷凝液體，其隨著時間進行液體不顯著增多，這時可以認為罩子最頂端的濃度為T2的飽和蒸汽濃度。調節方法：如果液體增多，則調高，如果液體完全沒有，則降低高度。調節完成後，每隔十秒測量罩子裡面增加的水的質量m，直到罩子裡面冷凝的水因太多而流出。作出m與時間t的曲線，找出曲線最近似為直線的部分，算出斜率, 即dm/dt = A，重複測量十次求A 的平均值。

推導計算：下面我就利用這個k值去計算水杯中的溫度T1

水杯中的水在蒸發過程中，由於溫度較高，表面的飽和蒸汽壓較大，即水蒸氣濃度較大，由於環境溫度低，水蒸氣濃度也低，所以水杯表面的水蒸氣會擴散到低濃度的區域，使低溫區域的水蒸氣到達飽和蒸汽壓而開始凝結。假設溫度為T1和T2時，水的飽和蒸氣濃度分別為Cs1和Cs2，則在T1溫度下的水杯表面，蒸氣濃度為Cs1，在T2溫度下的冷凝水滴達到平衡時，水蒸汽濃度為Cs2。

杯中水的蒸發速度與表面積（πr^2）成正比，水蒸氣濃度梯度(dc/dh)成正比，其蒸發速率表達式為：

式中D為水蒸氣的擴散係數。假設水蒸氣的濃度梯度主要是在豎直方向，水平方向的濃度梯度可忽略不計。當系統穩定時，水杯表面的蒸氣壓達到飽和蒸氣壓，即滿足邊界條件：（1）當 高度h=0時 ，c = Cs1。罩子頂端的冷凝液滴達到平衡，即達到T2時的飽和蒸汽濃度Cs2，即滿足邊界條件（2）當高度h=h時，c=Cs2。則上式對h積分可得，

假設水蒸氣 滿足氣體理想方程，則水蒸氣的飽和濃度Cs1、CS2和他們對應溫度的飽和蒸氣壓Ps1、Ps2可以建立如下關係

式中，M為水的摩爾質量，R為理想氣體常數，把公式 3帶入公式2中可得，

由於質量守恆，即當系統穩定時，水杯表面的蒸發速度與水蒸氣在罩子內部的冷凝速率A應該 相等，即 dm/dt=A，代入上式得到

對公式4即給出了Ps1和T1的關係，結合Clausius-Clapeyron方程，即能再給出飽和蒸氣壓和溫度的另一個關係：

式中，△vapHm 為水的摩爾蒸發焓，結合公式4和公式5消去飽和蒸汽壓Ps1，即得到如下關係：

在公式6中，A通過測量可以得到，T2為室溫，Ps2為室溫下對應的飽和蒸氣壓，可以查參考書得到。△vapHm為水的摩爾蒸發焓，可以查表得到。R為理想氣體常數，h為罩子高度，r為罩子半徑，D為水蒸氣擴散常數，M為水的摩爾質量。這些量只有A需要實驗測定，其他都可以預先已知。把這些已知量代入到公式6中，即可求出溫度T1。

這樣就利用冷凝液滴，測出了水杯中的溫度。

註：此文摘自自己的原回答：

能否通過杯中水在杯壁上凝結的小水珠來確定杯中水的溫度？

參考文獻：Evaporation of pure liquid sessile and spherical suspended drops: A review，Advances in Colloid and Interface Science 170 (2012) 67–86.

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