接上回正則協變數子化剩下的部分。已經寫完的小節分別為 (1) 算符化，(2) 物理態和 (3) 質量譜。這次寫的是 (4) 無鬼定理和 (5) 偽態。

  • 無鬼定理（No-ghost theorem）

在力學量算符化的過程中我們已經看到會出現非物理的負模長，在 QFT 的規範理論中實際上也會出現類似的現象，我們稱之為鬼場 (ghost field)。這部分要做的事情就是如何將鬼場消除並給出消除它們的條件。

以 a 與 D 為變數，它們的變化將使 Hilbert 空間中的半定區域變為擁有負模長態的區域，同時零模長的態將處於兩區域的邊界。以開弦為例，

M^{2}=-k^{2}=frac{N-a}{alpha} ，

N=1 時有第一激發態： |epsilon,k angle=epsiloncdotalpha_{-1}|0;k anglequad k^{2}sim a-1 ，而 Virasoro 代數告訴我們 L_{1}|epsilon;k angle=0 ：

egin{align} &L_{1}|epsilon,k angle=frac{1}{2}sum_{n=-infty}^{infty}alpha_{1-n}cdotalpha_{n}epsiloncdotalpha_{-1}|0;k angle=(alpha_{0}cdotepsilon)|0;k angle=0\ Rightarrow&epsiloncdot k=0 end{align}

從而模長可表示為

langleepsilon,k|epsilon,k angle=epsiloncdotepsilon

  • 當 a<1 時， k^{2}<0 為類時動量，模長為正。
  • 當 a=1 時， k^{2}=0 為類光動量，模長非負（模長並不直接為零，因為 epsilon 中有一部分隨 k 類光，但還有一部分處於類空狀態）。
  • 當 a>1 時， k^{2}>0 為類空動量，模長為負。

從而得到消除鬼場的第一個條件

aleq1 （1）

對於 a=1 的邊界情形，產生的矢量粒子總是無質量的（ m^{2}=-k^{2}=0 ），而標量粒子為快子。這裡 L_{1}|epsilon;k angle=0 在電動力學中實際上就反映為規範條件 partial_{mu}A^{mu}=0 ，但值得注意的是在弦論中這個條件是由代數結構直接給出的，無需人為的賦予條件。同時該條件意味著弦論中的矢量粒子具有 D-2 個具有橫向極化的正模長態和一個具有縱向極化 epsilon^{mu}=k^{mu} 的零模態。

  • 偽態

偽態是一類滿足質殼定理但不產生任何物理貢獻的物理態。

Definition 1: 在 Hilbert 空間中若存在態矢 |psi angle 滿足下列條件：

1) (L_{0}-a)|psi angle=0，

2) langlephi|psi angle=0 （ |phi angle 為物理態）。

我們考慮一個典型的偽態 |psi angle=sum_{n=1}^{infty}L_{-n}|chi_{n} angle ，其中 (L_{0}-a+n)|chi_{n} angle=0 ，可以證明它滿足 Definition 1 給出的條件。

egin{align} (L_{0}-a)|psi angle&=(L_{0}-a)sum_{n=1}^{infty}L_{-n}|chi_{n} angle\ &=sum_{n=1}^{infty}(L_{0}L_{-n}-aL_{-n})|chi_{n} angle\ &=sum_{n=1}^{infty}(L_{-n}L_{0}+nL_{-n}-aL_{-n})|chi_{n} angle\ &=sum_{n=1}^{infty}L_{-n}(L_{0}+n-a)|chi_{n} angle\ &=0 end{align}

另外， langlephi|psi angle=sum_{n=1}^{infty}langlephi|L_{-n}|chi_{n} angle=0 。

考慮到 Virasoro 代數結構 [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}，上述級數總可以寫為 L_{-1} 與 L_{-2} 的表出形式，即 |psi angle=L_{-1}|chi_{1} angle+L_{-2}|chi_{2} angle 。如果一個態既是偽態又是物理態，其模長總是零。若取 a=1 ，我們會發現得到的偽態總是零模長的，這也意味著 a=1 的確是正模長物理態與負模長物理態的邊界特徵 ^{[1]} 。

接下來我們考慮維數 D 在消除負模長時的約束。這裡構造零模長偽態如下（這之後我們都取 a 為 1），

|psi angle=(L_{-2}+gamma L_{-1}^{2})| ilde{chi} angle ，

對於特定的 gamma 取值，可以保證 |psi angle 必為零模，下面先討論如何確定 gamma 。態矢 | ilde{chi} angle 滿足

(L_{0}+1)| ilde{chi} angle=L_{m}| ilde{chi} angle=0 。

而 (L_{0}-1)|psi angle=(L_{0}-1)(L_{-2}+gamma L_{-1}^{2})| ilde{chi} angle=0 ，從而得到

gamma L_{-1}^{2}(L_{0}+1)| ilde{chi} angle=0 。

再引入物理態的條件 L_{n}|psi angle=0(ninmathbb{N}^{+}) ，如前所述，我們仍然只需要考慮 L_{1} 和 L_{2} 的情況，注意到 [L_{1},L_{-1}^{2}]=L_{-1}[L_{1},L_{-1}]+[L_{1},L_{-1}]L_{-1}=4L_{0}L_{-1}-2L_{-1}，我們有

egin{align}L_{1}|psi angle&=L_{1}(L_{-2}+gamma L_{-1}^{2})| ilde{chi} angle\ &=left[L_{-1}L_{1}+3L_{-1}+gamma(L_{-1}^{2}L_{1}+4L_{0}L_{-1}-2L_{-1}) ight]| ilde{chi} angle\ &=[3L_{-1}+gamma(4L_{0}L_{-1}-2L_{-1})]| ilde{chi} angle\ &=[(3-2gamma)L_{-1}+4gamma L_{0}L_{-1}]| ilde{chi} angle\ &=(3-2gamma)L_{-1}| ilde{chi} angle+4gamma(L_{-1}L_{0}+L_{-1})| ilde{chi} angle\ &=(3-2gamma)L_{-1}| ilde{chi} angle=0 end{align}

從而 gamma=frac{3}{2} 。然後對於 L_{2} ，由 Virasoro 代數，

[L_{2},L_{-2}]=4L_{0}+frac{c}{2} ， [L_{2},L_{-1}^{2}]=6(L_{0}+L_{-1}L_{1}) 。

從而

egin{align}0=L_{2}|psi angle&=L_{2}left(L_{-2}+frac{3}{2}L_{-1}^{2} ight)| ilde{chi} angle\ &=left[4L_{0}+frac{c}{2}+9(L_{0}+L_{-1}L_{1}) ight]| ilde{chi} angle\ &=left[13L_{0}+frac{c}{2}+9L_{-1}L_{1} ight]\ &=left(-13+frac{c}{2} ight)| ilde{chi} angle end{align}

故 D=c=26 。這便是為何玻色弦僅在 $D=26$ 時纔是自洽的。對於維數的要求是源自於負模長或快子態的出現，這在一般的場論中是罕見的。

最後我們再做一些推廣，對於 D>26 的情形，考慮物理態為

|phi angle=left[Aalpha_{-1}cdotalpha_{-1}+Balpha_{0}cdotalpha_{-2}+C(alpha_{0}cdotalpha_{-1})^{2} ight]|0;k angle ，

  • a=1 給出 (L_{0}-1)|phi angle=left(frac{1}{2}alpha_{0}^{2}+sum_{n=1}^{infty}alpha_{-n}cdotalpha_{n} ight)|phi angle=0 ，另外由物理態的定義有

(L_{0}-1)alpha_{0}cdotalpha_{-2}|0;k angle=left(frac{1}{2}alpha_{0}^{2}+2-1 ight)alpha_{0}cdotalpha_{-2}|0;k angle=0 Rightarrow alpha_{0}^{2}=-2 。

  • 而 L_{1}|phi angle=0 給出

sum_{n=-infty}^{infty}alpha_{1-n}cdotalpha_{n}alpha_{-1}cdotalpha_{-1}|0;k angle=4alpha_{0}cdotalpha_{-1}|0;k angle ，

sum_{n=-infty}^{infty}alpha_{1-n}cdotalpha_{n}alpha_{0}cdotalpha_{-2}|0;k angle=4alpha_{0}cdotalpha_{-1}|0;k angle ，

sum_{n=-infty}^{infty}alpha_{1-n}cdotalpha_{n}(alpha_{0}cdotalpha_{-1})^{2}|0;k angle=-8alpha_{0}cdotalpha_{-1}|0;k angle 。

Rightarrow L_{1}|phi angle=2(A+B-2C)alpha_{0}cdotalpha_{-1}|0;k angle=0 Rightarrow A+B-2C=0 。

  • 又有 L_{2}|phi angle=0 ，可以得到

sum_{n=-infty}^{infty}alpha_{2-n}cdotalpha_{n}alpha_{-1}cdotalpha_{-1}|0;k angle=2D|0;k angle ，

sum_{n=-infty}^{infty}alpha_{2-n}cdotalpha_{n}alpha_{0}cdotalpha_{-2}|0;k angle=-8|0;k angle ，

sum_{n=-infty}^{infty}alpha_{2-n}cdotalpha_{n}(alpha_{0}cdotalpha_{-1})^{2}|0;k angle=-8|0;k angle 。

Rightarrow DA-4B-2C=0 。

綜上， B=frac{D-1}{5}A,quad C=frac{D+4}{10}A 。

這時模長可以寫為

langlephi|phi angle=frac{2A^{2}}{25}(D-1)(26-D) ，

即當 D>26 時必定會出現負模長，物理譜中會有鬼場的存在。

實際上偽態的存在正是為了保證它們能與真實的物理過程相分離，這樣所有的真實物理態均具有非負模長。綜上所述，出現鬼場的條件為 aleq1 以及 D<26 。

  • 小結
  • D>26 或 a>1 時，物理態空間始終包含負模長態，
  • D=26 且 a<1 時，物理態空間可以存在負模長態，
  • D=26 且 a=1 時，物理態空間僅包含非負模長態，或者說這時真實態空間 mathcal{F}^{oplus}equivmathcal{F}^{ extrm{phys}}/mathcal{F}^{0} 總是具有正定模長，但 mathcal{F}^{ extrm{phys}} 與 mathcal{F}^{0}=left{(L_{-2}frac{3}{2}L_{-1}^{2})| ilde{chi} angleoplus L_{-1}|chi_{1} angle ight} 均為類光態空間。
  • D<26 且 aleq1 時，物理態空間僅包含 a<1 的正模長態與 a=1 的零模長態。

一般而言，我們考慮的玻色弦理論都是基於 a=1 且 D=26 的，這種弦論稱作臨界玻色弦理論，相應的 D=26 稱作其臨界維度。而 aleq1 或 Dleq25 的情形稱為非臨界情形。

References

[1] String Theory (Vol. 1). Green, Schwartz, Witten. Sec. 2.2.

徵求一下意見（雖然可能根本沒有人看到這裡），大家是想看弦振幅還是 superstring？下回寫完光錐量子化玻色弦概述部分就準備結束了。路徑積分量子化不打算寫了，因為安宇森前輩的文章已經寫得足夠完善，基本涵蓋了 Polchinski 前三四章的重點內容。不過這兩個話題我都超不出教材太多，想看弦振幅我就會從 Polchinski 第五章開始寫，但是想看 superstring 的話就先寫 supersymmetry，這一部分我就比較熟一點，感謝建議~

最後，代表逢田姐消滅全天下的梨黑(tui)o(≥▽≤o)


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