Serre 《算術教程》筆記（2.1）

本文中p代表一個固定的素數，本文較短，簡要地介紹了p-adic數

p-adic數

1.p-adic整數環 $mathbb{Z}_p$

$phi_n:mathbb{Z}/p^nmathbb{Z} ightarrow mathbb{Z}/p^{n-1}mathbb{Z}$ 為典範同態，則p-adic整數為序列 $x = left( ...,x_n,...,x_1 ight),x_n in mathbb{Z}/p^nmathbb{Z},phi_{n+1}left( x_{n+1} ight) = x_{n}$ ，其加法和乘法定義為分量加法和分量乘法，容易驗證這構成一個環，記為 $mathbb{Z}_p$ . 記其第個分量的投影映射為 . 以顯然的方式嵌入 $mathbb{Z}_p$ .

2. $mathbb{Z}_p$ 的單位羣 $mathbb{U}_p$

定理： $mathbb{Z}_p$ 中的元素可逆的充要條件為 $pi_1left( x ight) = x_1 e 0 in mathbb{F}_q$ .

證明： $0 e x_1 in mathbb{F}_p$ 為域中非零元，從而存在 $y in mathbb{F}_p, x_1y = 1$ ，我們可以將提升至 $mathbb{Z}/p^nmathbb{Z}$ 得到，那麼 $exists z_n in mathbb{Z}/p^nmathbb{Z},x_ny_n = 1-pz_n$ ，從而 $x_n(y_n(1+pz_n+...+p^{n-1}z_n^{n-1})) = 1$ . 我們記 $w_n = y_n(1+pz_n+...+p^{n-1}z_n^{n-1})$ . 接下來我們驗證 $w = left( ...,w_n,...,w_1 ight) in mathbb{Z}_p$ ，即 $phi_{n+1}left( w_{n+1} ight) = w_{n}$ .
由於 $phi_{n+1}left( x_{n+1}w_{n+1} ight) = phi_{n+1}left( 1 ight) = 1 = x_{n}phi_{n+1}left( w_{n+1} ight)$ ，故 $w_n= w_nx_{n}phi_{n+1}left( w_{n+1} ight) = phi_{n+1}left( w_{n+1} ight)$ ，證畢.

記 $mathbb{Z}_p$ 中的元素的全體為 $mathbb{U}_p$ ， $forall x in mathbb{Z}_p e 0$ ，存在最大的整數使得 $x = p^{v_pleft( x ight)}u, u in mathbb{U}_p$ （其中的乘法理解為分量上與 $phi_nleft( p^{v_pleft( x ight)} ight)$ 相乘）. 當時令，我們稱為的p-adic賦值，從而可見 $mathbb{Z}_p$ 為一整環.

3.p-adic數域 $mathbb{Q}_p$

定義 $mathbb{Q}_p$ 為 $mathbb{Z}_p$ 的分式域，可見 $forall x in mathbb{Q}_p, exists v_pleft( x ight) in mathbb{Z}, x = p^{ v_p left( x ight) } u, u in mathbb{U}_p$ ，同前我們記為的p-adic賦值，那麼 $v_pleft( x ight) geq 0 Leftrightarrow x in mathbb{Z}_p$ ，從而 $mathbb{Q}_p = mathbb{Z}_pleft[ p^{-1} ight]$ . 以顯然的方式嵌入 $mathbb{Q}_p$ .

補充

在上按照 $dleft( x,y ight) = p^{-v_pleft( x-y ight)}$ 引入度量之後，其完備化拓撲閉包即為 $mathbb{Q}_p$ ，事實上這是一個超度量（p-adic賦值為一個非阿基米德賦值）. Ostrowski定理表明的非平凡的絕對賦值所決定的度量誘導的拓撲一定是通常意義下的絕對值誘導的拓撲或者是某個p-adic賦值誘導的拓撲.