今天看競賽羣裏有人問了一個問題，

若 x_n>0 ， {x_n}_{n=1}^infty 發散，問數列 {x_n^{x_n}}_{n=1}^{infty} 一定發散嗎？

剛看到這個問題的時候，我的第一想法就是找幾個發散的數列去湊問題中的那個數列，觀察是否發散。分別試了試 {n}_{n=1}^{infty} , {a+|sin(frac{pi n}{2})|b}_{n=1}^{infty},a和b為任意正數 ,結果發現都發散。

於是嘗試著用定義去證明一下，

對於任意 A ， existsepsilon_0>0 ， forall N>0 ， exists n_0 , |x_{n_0}-A|geqepsilon_0

在往 x^x 裡面帶的時候，發現還要需要探討一下這個函數的性質。

於是，就對此求了個導數，分析下單調性

（x^x） = x^x(lnx+1) , x=frac{1}{e} 時為極小值。

圖像如下

x^x的圖像

於是便發現了問題：

在大概 [0,1] 區間上，存在 x_1,x_2 ，使 x_1^{x_1}=x_2^{x_2} 。

於是，便可以構造出一個數列 {x_n}_{n=1}^infty ，他本身發散，但是 {x_n^{x_n}}_{n=1}^{infty} 收斂。

任取 ain(0,frac{1}{e}),bin(frac{1}{e},1) ，使 a^a=b^b

令 r_1=min{|a|,|frac{1}{e}-a|}<1 ，在鄰域 N(a,r_1) 選取一點 x_1in N(a,r_1) ,再令 r_2=min{r_1^2,|a-x_1|} ,便可記 x_3in N(a,r_2) ,

......

令 r_n=min{r_{n-1}^2,|a-x_{n-1}|} ,便可記 x_{2n-1}in N(a,r_n) 並不斷做下去，於是得到奇數項 {x_{2n+1}}_{n=1}^infty ，且 limlimits_{n ightarrowinfty}x_{2n+1}=a 。同理可得偶數項 {x_{2n}}_{n=1}^infty ，且 limlimits_{n ightarrowinfty}x_{2n}=b .

將 {x_{2n+1}}_{n=1}^infty 和 {x_{2n}}_{n=1}^infty 按腳標順序放在一起，記為 {x_{n}}_{n=1}^infty ，顯然發散。

Q.E.D.

對於原問題的推廣：

  1. 若數列 {x_{n}}_{n=1}^infty 發散， {f(x_{n})}_{n=1}^infty 若想收斂，則 f 應滿足哪些條件？若發散呢？
  2. 若數列 {x_{n}}_{n=1}^infty 收斂，則 {f(x_{n})}_{n=1}^infty 一定不發散？

（對於以上兩個問題，我先給出各我個人的解答，可能不是多細緻。不過，等什麼時候發現更好的，我回頭再進行補充。）

對於第一個：

f 若不為單射，則 {f(x_{n})}_{n=1}^infty 收斂、

當 f 不為單射，且 limlimits_{x ightarrowinfty}f(x) 發散時， {f(x_{n})}_{n=1}^infty 發散

對於第二個：

可能發散，當 f 無法用幾個 x^n(ninmathbb{N}^*) 所線性表示時，會有發散情況出現。例如：

考慮 f（x）={egin{matrix}0,xin mathbb{Q}\ 1,xinmathbb{R}/mathbb{Q}end{matrix} ，以及收斂數列 {frac{pi}{2^n}}_{n=1}^infty 。

對於數列 {frac{pi}{2^n}}_{n=1}^infty ， forall nin mathbb{Z}^+ 在 frac{pi}{2^n} 與 frac{pi}{2^{n+1}} 之間找出一有理數 q_n ，組成數列 {q_n}_{n=1}^infty 。將 {frac{pi}{2^n}}_{n=1}^infty 記作 {x_n}_{n=1}^infty 的奇數列， {q_n}_{n=1}^infty 記作 {x_n}_{n=1}^infty 的偶數列，則該數列滿足收斂於 0 但 f(x_{n}) 不收斂。

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