[珂學の暴力]ODT / Chtholly Tree
0x00 Prologue
最近閑下來了...刷CF的時候奇奇怪怪地刷到了珂朵莉round(Codeforces Round #449 (Div. 1))。裡面的題可以說是非(shí)常(fēn)奈(dú)斯(liú)了。其中有一道題很有趣——CF896C(洛谷)。寫一個數據結構,支持以下4個操作
- 將區間 中的所有數加上
- 將區間 中的所有數改成 (這個是ODT優勢體現的操作)
- 輸出區間 中第 大的數
- 輸出 ,即 區間內元素的 次冪和
數據隨機!
對於這類有區間推平操作數據又隨機的題,ODT就十分適用了
UPD @ 04 / 29 / 18 04:33 p.m.
(julao @Guanghao Ye來批判了:老司機樹原版是lxl搞的!老司機樹原版是lxl搞的!老司機樹原版是lxl搞的!)。
~~老司機擅長推車,珂朵莉擅長推平區間!~~
本文將以這道題作為例子講解Old Driver Tree / 珂朵莉樹的智慧 / 暴力美學。
0x01 如何維護?
珂朵莉樹將區間信息以三元組的形式存儲,即用 表示 中的元素為 。從這裡就能看出為什麼珂朵莉樹對於區間推平較為高效了。我們用set
存儲這些三元組,內部維護這些區間,以左端點 作為關鍵字進行升序排列,這樣方便我們進行一些操作的時候方便查找到我們想要修改的區間。區間節點結構如下:
struct Node { int l, r; mutable ll v; // 在用迭代器訪問時能夠修改值 Node(){} Node(int L, int R=-1, LL V=0l): l(L), r(R), v(V){} bool operator < (const Node& b) const { return l < b.l; }};
一些操作?不不不,其實核心操作只有一個:split(p)
——將 所在區間拆分為 和 。
由於在set
中的所有節點是有序的,我們可以用lower_bound(x)
定位我們要操作的區間。(注: lower_bound(x)
可以在$logn$時間內在一個有序序列中找到最小的 使得 並返回 的位置 / 迭代器,一個二分查找的過程)
這時我們要分以下兩種情況處理通過 找到的區間:
- 如果 已經是某個區間的左端點,那麼我們直接返回查找到的迭代器;
- 如果 不是某個區間的左端點,那麼當前返回的迭代器所指向的區間是 所在區間右邊第一個區間。這時將迭代器後移一位。如果在後移之後, 比當前區間的右端點還大,那麼直接返回尾迭代器(因為不需要進行操作);否則 ,那麼記錄一下當前區間的信息,然後直接刪除當前區間再插入拆分好的區間 和 ,最後返回 所在區間的迭代器(操作只會影響包含 的區間)。
inline set<Node>::iterator split(int p) { auto it = s.lower_bound(Node(p)); if(it != s.end() && it->l == p) return it; // 情況一 --it; // 找到p所在區間 if(it->r < p) return s.end(); // 不需要拆分 int L = it->l, R=it->r; // 記錄信息 LL v = it->v; s.erase(it); s.insert(Node(L, p - 1, v)); // 插入新區間 return s.insert(Node(p, R, v)).first;}
0x02 實現操作
1. 區間賦值
有了split之後,我們就能利用split做各種神(bao)奇(li)的操作了。先來看一個區間賦值的操作。
現在給定了我們 , 和 。首先為了能夠暴力,我們先把 和 所在區間各自拆分出來。既然我們是區間賦值(推平),我們可以直接將 從set
中移除再添加一個新的 區間,其中的值為 :
inline void modify(int l,int r,int v) { auto R=split(r+1), L = split(l); s.erase(L, R); s.insert(Node(l, r, v)); return;}
在這個操作的過程中會有許多小區間被合併到 ,因此空間複雜度會大大減小。
2. 區間加
第一步與區間賦值一樣,首先拆分 和 。之後,我們直接暴力修改 中的值,由於數據隨機,所以複雜度並不會爆時間。
inline void add(int l, int r, int v) { auto R = split(r+1), L=split(l); while(L != R) { L->v += v; ++L; } return;}
區間$k$次冪和與區間加操作十分類似,大家可以嘗試寫一個。
3. 區間第 大
這纔是真正的暴力。第一步依舊是拆分 與 。然後我們將 中所有區間拿出來,將區間長度和區間值存到pair,放到vector裏,然後對其中所有區間按照 升序排列。然後遍歷vector,每次將 減去當前區間長度,直到 。十分的暴力,但是由於數據隨機和區間合併時導致區間數量減少,我們依舊能過題。
inline ll kth(int l, int r,int k) { auto R = split(r+1), L = split(l); vector<pii> vec; while(L != R) { vec.push_back(make_pair(L->v, L->r - L->l + 1)); ++L; } sort(vec.begin(), vec.end(), [=](pii a, pii b) -> bool { return a.first < b.first; }); for(auto i: vec) { k -= i.second; if(k <= 0) return i.first; } return -1;}
0x03 注意事項
雖然ODT / 珂朵莉樹寫起來十分容易,並且十分暴力,但是這個數據結構有一些使用上的限制:
- 適用於有區間推平 / 覆蓋操作的
- 數據是隨機的
數據隨機很重要,因為如果推平區間操作很少 / 很多單點,珂朵莉會被卡掉呀QwQ
0x04 Epilogue
在知乎寫了一半不知道為什麼草稿沒有保存,打開之後是空的…是空的!!!心態崩了呀,於是我重新寫了大半篇TuT。繼續刷CF準備10月校賽….
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