工程光學（二）——光的干涉

前言

在介紹了光的電磁理論基礎後，對於光波疊加的進一步討論就是光的干涉（interference），不同於一般的光波疊加，光的干涉強調的是在一段時間內在空間中某處的穩定疊加，即產生穩定的光強的強弱分佈（干涉條紋）的現象.

本文按照下述脈絡進行討論

1. 干涉條件：光波疊加理論基礎到干涉的銜接，最後會介紹干涉的必要條件.

2. 常用的干涉手段：簡單介紹分波前法和分振幅法.

3. 楊氏干涉實驗：這是最經典的分波前法的實驗.

4. 條紋可見度：描述了條紋的清晰程度，通過其影響因素進而提到時間相干性和空間相干性.並順便指出分波前法對擴展光源寬度有要求這一弊端，本質上是光源寬度與干涉孔徑角之間的矛盾.

5. 平行平板干涉：如果觀察的條紋，這依然是分波前法的干涉，這是非定域干涉，在全空間內都可以看到條紋（不同位置看到的是不同產生的條紋），而它依然面臨與的矛盾.隨著擴展光源寬度的增加，空間不同區域干涉場的可見度下降，但下降程度不同，但存在一個特殊的區域，其可見度始終不下降，稱此區域為定於中心，這裡的條紋便是定域條紋，這個區域在無窮遠處（或者說透鏡的後焦面），而此處，這正是分振幅干涉.所以說分振幅干涉就是實現的干涉，這就避免了與的矛盾.而干涉條紋的本質是等光程差點的軌跡，在這裡光程差的不同是由與光對平板的入射角的不同造成的，相同的入射角產生相同的條紋，故稱等傾條紋.產生的條紋是圓環形條紋，而圓環是源於點光源發出的球面波的「球面」這個性質向二維平面的投影造成的.

6. 楔形平板干涉：它顯然也有和的干涉，即定域非定域干涉.非定域干涉依然是不值一提的.而對於定域干涉，其定域面的位置卻和平板的楔角有關，楔角越小，定域面距離平板越遠，極限情況便是平行平板的無窮遠.值得一提的是，厚度和傾角都會影響光程差，因此，為了分離這二者的影響，只看由厚度不同造成的不同光程差，必須用平行光照明.進而，光程差源於楔形平板的厚度，因此條紋描繪了楔形平板的等高線，相同的厚度產生相同的條紋，故稱等厚條紋.

7. 應用：包括激光平面干涉儀、激光球面干涉儀，進而提到經典的牛頓環實驗，最後講邁克耳遜干涉儀.

8. 多光束干涉：上面講的都是雙光束干涉的情況，但實際上，光在平板內也會多次反射，每次反射也都會帶來透射，這些光也會參與干涉，這就是多光束干涉.這裡介紹平行平板的多光束干涉，其本質上與雙光束的干涉並無不同.但關鍵的是，影響條紋效果的主要因素是平板的反射率，對於低反射率，多光束與雙光束區別不大，而對於高反射率，則別有洞天，通過計算髮現，由後續光束的影響，這裡的透射光的條紋是非常細銳清晰的，這在精密測量中相當有用.順便介紹其應用——F-P干涉儀

9. 光學薄膜：通過上述討論，光學元件的反射率對干涉的效果有很大影響，而改變元件反射率的常用手段就是鍍膜，在文章的最後簡單介紹一下增透膜和增反膜的一些結論.

1. 干涉的條件

基於上一篇文章關於光強和光波疊加的內容對光的干涉展開討論，從兩個單色波入手，分析光波干涉的必要條件.

設有任意兩個振動方向夾角為的平面波

$egin{cases}vec E_1(vec r,t)=vec A_1 e^{i(vec k_1cdotvec r-omega_1t+delta_1)}\[2ex]vec E_2(vec r,t)=vec A_2 e^{i(vec k_2cdotvec r-omega_2t+delta_2)}end{cases}$

那麼它們的合成矢量為

干涉是指穩定的光強的強弱分佈，自然要考察這個合振動的光強，但考慮到觀測干涉圖樣的任何接收器都不可能觀察到每時每刻的情況，只能觀測一段時間的平均值，因此在計算的時候也要考慮這個平均（用表示）.

則有

（實際只存在實部部分）

$=A_1^2+A_2^2+color{brown}{2A_1A_2cosalpha}cdotcolor{blue}{langlecos[(vec k_1-vec k_2)cdotvec r+(delta_1-delta_2)-(omega_1-omega_2)t] angle}$

$=I_1+I_2+I_{12}$

其中，它們顯然都是固定的，而剩下的 $I_{12}=2A_1A_2cosalphacdotlanglecos[(vec k_1-vec k_2)cdotvec r+(delta_1-delta_2)-(omega_1-omega_2)t] angle$ 稱為相干項.

令 .它表示相位差.

就得到 $I_{12}=2A_1A_2cosalphalanglecospsi anglecolor{brown}{=2sqrt{I_1I_2}cosalphalanglecospsi angle}.$

那麼現在問題就化為觀察 $I_{12}$ 是否恆為零了，如果它是零，則光強恆定，無強弱分佈.而真正決定它的是和：

當 $alpha=frac{pi}{2}$ 時（兩光波振動方向垂直），，進而 $I_{12}$ 為零，不產生干涉，這就要求振動方向必須有上的分量.
另一方面，考察，既然說干涉要在空間中要穩定的呈現光的強弱分佈，那麼就要求 不隨時間變化，即要保持不變，，具體而言就是和

記這時的相位差 為

綜上所述，光波干涉的條件就有以下三點：

頻率相同
振動方向相同（一般這樣講，因為如果振動方向有一定夾角會降低亮/暗條紋的光強差距，但本質上，振動方向有相同方向的分量即可）
相位差恆定
這裡還有一個隱含的補充條件，就是兩光波的光程差不能超過波列長度.（否則兩光波將不能相遇）

光程是指是指在均勻介質中，光行徑的幾何路徑的長度與光在該介質中的折射率的乘積，兩條光線光程的差值叫做光程差（一般記作）.它與相位差的關係為 .更多詳細信息在上一篇文章光波疊加部分.

大部分的光源都是來自原子發光，而原子發光是間歇的，每次發光的持續時間極短（約 $10^{-9}s$ ），且不同原子發出的光波是獨立的，所以它們之間並無穩定的相位和偏振關係.因此，一般來說，兩個普通的獨立的光源發出的光波不能發生干涉.

這就很自然地引出了一個問題：怎樣才能實現干涉呢？

2. 常用的發生干涉的手段

常見的辦法就是利用光學系統，將點光源發出的一列光波一分為二，使其經過不同的路徑後再疊加，這樣它們的頻率相同，相位差穩定，振動方向存在相同方向的分量.

能達到這種效果的操作一般有兩種：分波前法和分振幅法.

分波前法（division of wave front）

點光源產生的波前在橫向分為兩部分，使其分別經過不同的路徑再疊加.這種手段的一個經典例子就是楊氏干涉實驗.

分振幅法（division of amplitude）

一束光投射到透明板上，則會有一部分光發生反射，一部分折射，再用反射鏡讓這兩束光產生疊加.關於這種手段本文將較為詳細地介紹平板干涉（平行平板/楔形平板）.

3. 楊氏干涉實驗

後文如無特殊聲明，均認為相干光的振動方向夾角

圖1 楊氏干涉實驗裝置圖

楊氏實驗裝置如上圖所示，由光源發出的光經過小孔，即認為從這以後的光都是從點光源發出的，然後光再通過在擋板上兩個的小孔，即認為從發出的光源於同一光波（相干光），最後在距離照擋板為的干涉場上發生相干疊加，產生干涉條紋.

這個實驗中有3個重要的觀察點：

光強分佈公式；
明、暗條紋位置；
條紋間距.

綜合前述結論，在某點處的光強 $I=4I_0cos^2frac{delta}{2}.$ （其中）

若令其中的相位差 （滿足兩光波的初始相位相同，即，且研究的方向和同向），並將 $k=frac{2pi}{lambda}$ 代入.

得到 $I=4I_0cos^2Big[frac{pi(r_2-r_1)}{lambda}Big].$

這說明光強取決於即兩光波在該點的光程差（在真空中，或認為空氣中）或者說相位差

圖2 楊氏干涉實驗計算的坐標

若採取上圖述坐標系，則有

$r_1=sqrt{Big(x-frac{d}{2}Big)^2+y^2+D^2}$ ， $r_2=sqrt{Big(x+frac{d}{2}Big)^2+y^2+D^2}.$

那麼 $Delta=r_2-r_1=frac{2xd}{r_1+r_2}.$

進一步地，在實際情況下，且，那麼近似地認為，進而上式化為 $Delta=r_2-r_1=frac{xd}{D}.$

那麼 $color{red}{I=4I_0cos^2Big[frac{pi xd}{lambda D}Big]}.$

上式說明，當相同時，形成同一條紋，即當沿軸排布時，形成的條紋是豎的（同一條紋沿軸上下延伸）.

進一步觀察發現，

當 $color{red}{x=frac{mlambda D}{d}} (m=1,pm1,pm2,cdots)$ 時干涉場上有最大光強 $color{red}{I=4I_0}$ ，為亮條紋.
當 $color{red}{x=Big(m+frac{1}{2}Big)frac{lambda D}{d}} (m=1,pm1,pm2,cdots)$ 時干涉場E上有最小光強，為暗條紋.
那麼條紋間距自然就是 $color{red}{e=frac{Dlambda}{d}=frac{lambda}{omega}}.$

為和的夾角，稱之為相干光束的會聚角，這裡也在，且的情況下做了 $omegaapproxfrac{d}{D}$ 的近似.
這說明條紋間距正比於相干光的波長，反比於會聚角.順便指出，由光強公式可看出，亮紋和暗紋間是漸變的.這裡所指的，對應於亮暗紋位置的指的是相應條紋中間的位置.

圖3 等光程差面

最後要說明的是，干涉條紋本質上是兩光源等光程差的軌跡，實際上這個等光程差的軌跡是空間中的無數對雙葉雙曲面（如上圖），而所謂直條紋是干涉場與這些雙曲面相交的軌跡（如下圖）.

圖4 不同位置的條紋形狀

以上的討論雖然對條紋位置和寬度有較詳細的描述，但還有一個很大的隱患，就是忽略了觀測上的效果，即暗紋或許並不那麼「暗」.那麼如何評價條紋的觀測效果，以及如何使條紋的觀測效果更好呢？

下面引入條紋可見度的概念.

4. 條紋可見度（Visibility）

這裡基於楊氏干涉實驗進行分析.

另一項就是光強，通過上文已經指出干涉場（干涉發生的區域）的光強表達式， $I=I_1+I_2+I_{12}$ ，其中是固定不變的，而 $I_{12}$ 是與和有關的三角函數，這意味著在空間中呈週期性變化，甚至當時，理論上的最小值為零，最大值為，這就是明暗條紋的本質.

當然，通過以上的討論不難發現，實際上的明暗條紋的光強並不能像理想條件那樣下達到和，那麼為了評價干涉的效果，下面引入條紋可見度的概念.

也有文獻中用contrast：襯比度/對比度的說法

設干涉場中實際觀測到的光強極大值為，極小值為，則條紋可見度 $color{red}{K=frac{I_M-I_m}{I_M+I_m}}$ .它反映了明暗條紋反差的程度，越大說明明暗反差越大，最理想的情況就是當時，

另一方面，從理論上來說，當 $alpha=frac{pi}{2}$ 時，，在這種情況下 $I_M=I_1+I_2+2sqrt{I_1I_2}，I_m= I_1+I_2-2sqrt{I_1I_2}$ ，由此代換， $color{red}{K=frac{2sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}}.$

光強公式的簡化

由此發現，干涉場的光強分佈I可在一定條件下通過可見度進行簡化描述.

由前述， $I=I_1+I_2+I_{12}.$ 在相干項 $I_{12}=2A_1A_2cosalphacdotlanglecospsi angle$ 當中的從根據干涉條件化為後，把它記為

即

下面，在一些更理想的條件下對光強公式進行簡化

和前面講的一樣，當時，進而有 $I=I_1+I_2+2sqrt{I_1I_2}cosdeltacolor{brown}{=(I_1+I_2)Big(1+frac{2sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}cosdeltaBig)}.$

當進一步有時，則上式化為 $I=2I_0(1+cosdelta)color{brown}{=4I_0cos^2frac{delta}{2}}.$

綜上， $color{brown}{I=(I_1+I_2)Big(1+KcosdeltaBig)}.$

這樣一來，可見度就顯得比較重要，那麼究竟有哪些因素影響著的值呢？

影響因素1——振幅比

從公式來看，一個最直接的因素就是兩相干光的光強，具體而言， $K=frac{2sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}=frac{2Big(frac{A_1}{A_2}Big)}{1+Big(frac{A_1}{A_2}Big)}$ 這就是在說兩相干光的振幅比.

兩振幅差距越大，則越小，反之越大，特別地，當時，

除此之外，還有相干性（coherence）的影響，它指的是：為了產生顯著的干涉現象，波所需具備的性質.

相干性大致分類為空間相干性和時間相干性：空間相干性與光源的尺寸有關，時間相干性與波的頻寬（非單色性）有關。

影響因素2——光源大小

實際的光源總有一定大小，而非絕對標準的點光源，通常稱之為擴展光源.將擴展光源視為許多點光源的集合，具體來說，把寬度為，光強為的擴展光源分成許多寬度為，強度為 $i_0=frac{I_0}{b}$ 的元光源.

圖5 擴展光源分成元光源

如上圖所示，以前述干涉光強公式為基礎，則擴展光源上的任一元光源在干涉場上的點形成的條紋強度為

其中即分別為雙孔（）左右兩側的光程差.則 $Delta』=frac{d}{l}x』，Delta=frac{d}{D}x$ （設點在軸上的坐標為）

這裡再引入一個概念就是干涉孔徑角 ，它是指那麼在時（光源到擋板的距離遠大於兩孔間距時）可近似認為 $eta=frac{d}{l}.$

綜上所述，整個擴展光源在點P處產生干涉條紋的光強
$I=int_{-frac{b}{2}}^{frac{b}{2}}2i_0Big[1+cosfrac{2pi}{lambda}Big(frac{d}{l}x』+frac{d}{D}xBig)Big]dx』$

$=2i_0b+2i_0frac{sinfrac{pi beta}{lambda}}{frac{pieta}{lambda}}cosBig(frac{2pi}{lambda}frac{d}{D}xBig)$
$=2I_0Big[1+frac{sin frac{ pi beta}{lambda}}{frac{pi beta}{lambda}}cosBig(frac{2pi}{lambda}frac{d}{D}xBig)Big].$ （將代換回去）

由前述的光強表示式形式，上式的 $frac{frac{sin(pi beta)}{lambda}}{frac{pi beta}{lambda}}$ 就是條紋可見度，那麼記為 $color{red}{K=Big|frac{lambda}{pi beta}sinfrac{pi beta}{lambda}Big|}.$

這就是擴展光源寬度與可見度的關係.視上式為擴展光源寬度的函數，繪製函數圖像如下.

圖6 條紋可見度隨光源寬度變化

觀察圖像可發現，第一次時，對應光源寬度 $b=frac{lambda}{eta}$ ，定義其為臨界寬度，記作 $b_c=frac{lambda}{eta}.$
另外，當 $b=frac{lambda}{4eta}$ 時，可較清晰地觀察條紋，這是 $frac{1}{4}$ 的臨界寬度，定義其為允許寬度（許可寬度），記作 $b_pcolor{brown}{=frac{lambda}{4eta}}=frac{b_c}{4}.$

那麼空間相干性具體是指：擴展光源照射擋板，若通過擋板上兩點（兩孔）的光在空間相遇時能發生干涉，則稱通過這兩點的光具有空間相干性.

這裡再做進一步的說明，順便引入橫向相干寬度的概念.

由於對條紋可見度有要求，那麼擴展光源的寬度和干涉孔徑角是相互牽制的，但相干空間不僅可以用干涉孔徑角來表示，還可以用兩孔（）的距離來表示，考慮臨界寬度 $b=frac{lambda}{eta}$ ，當時，可近似認為 $eta=frac{d}{l}$ ，那麼在臨界寬度所描述的情形下，兩孔的距離被稱為橫向相干寬度，記作，顯然 $d_t=frac{lambda l}{b}.$
如果連接的中點到擴展光源的兩端，記這個張角為，且在的情況下，則又有 $d_t=frac{lambda}{ heta}.$

由上述討論，可進一步得出如下結論.

如果擴展光源是正方形的（邊長是），那麼在干涉場中產生干涉條紋區域的面積（相干面積）為 $A=d_t^2=Big(frac{lambda}{ heta}Big)^2.$
如果擴展光源是圓形（直徑為），那麼橫向相干寬度公式與前述討論相差一個係數，即 $d_t=1.22cdotfrac{lambda}{ heta}$ ，因此在干涉場中產生干涉條紋區域的面積（相干面積）為 $A=piBig(frac{1.22lambda}{2 heta}Big)^2color{red}{=piBig(frac{0.61lambda}{ heta}Big)^2}.$

特別地，分析處於臨界寬度情況下的干涉系統可得到重要結論：

圖7 干涉系統不變性

在這個實驗裏，近似認為 $frac{b_c}{l}= heta_1，frac{e}{D}= heta_2$ ，
又根據 $e=frac{lambda}{omega}，b_c=frac{lambda}{eta}$ ，
得到
進一步得到
另一方面（這說明），

綜上 $color{red}{b_ceta}=eomega=dcdot hetacolor{red}{=lambda}.$ 這就是干涉系統的不變數.

影響因素3——光源的非單色性

實際的光源和理想中的另一個重要的不同之處就是非單色性，就是說即使是所謂單色光源，也有不同波長的光（即有一定的光譜寬度），這當然也會影響條紋可見度.因為它們波長雖不同，但每個同種波長的光也會產生干涉條紋，且條紋寬度不一致，這樣疊加起來會使可見度降低，如下圖所示，橫坐標指光程差，相當於相距條紋中心的距離.

圖8 強度分佈曲線

這裡要對不同的波長進行分析，那麼不妨根據波數 $k=frac{2pi}{lambda}$ 對光強表達式進行改寫，然後對進行分析，這樣會更便於計算.（實際上就是將光譜寬度 轉化為波數寬度 ）

將強度為，波數寬度為（中點為）的光源視為許多強度為，元波數寬度為的元光源的集合.和上一節的手段類似，以前述干涉光強公式為基礎，那麼，其中是光程差.

那麼就有
$I=int_{k_0-frac{Delta k}{2}}^{k_0+frac{Delta k}{2}}2i_0(1+cos kDelta)dk$ $=2i_0(Delta k)Big(1+frac{sinBig((Delta k)cdotfrac{Delta}{2}Big)}{(Delta k)cdotfrac{Delta}{2}}cos(k_0Delta)Big)$

根據這個形式可知， $color{red}{K=Big|frac{sin[(Delta k)cdotfrac{Delta}{2}]}{(Delta k)cdotfrac{Delta}{2}}Big|}.$

這裡隨的變化如下圖所示

根據上述的公式可知，當第一次時，滿足 $Delta=frac{2pi}{Delta k}$ ，代入 $Delta k=frac{2pi}{lambda_2}-frac{2pi}{lambda_1}$ 可得 $Delta=frac{lambda_1lambda_2}{(Deltalambda)}approxfrac{lambda^2}{(Deltalambda)}$ （其中）.

這個就是指對應光譜寬度（或者說）的光源能產生干涉的最大光程差，記作 $Delta_{max}$

圖9 可見度曲線

那麼時間相干性就是指：光波在一定光程差下能夠發生干涉.把光通過相干長度所需的時間稱為相干時間.

更本質地說，若同一光源在相干時間內不同時刻發出的光，經過不同的路徑相遇時能產生干涉，這種相干性稱為時間相干性.

根據前述討論可知， $Delta_{max}=frac{lambda^2}{(Deltalambda)}=c(Delta t).$

另外由波長和頻率的關係，對其微分可得，因此 $frac{d u}{ u}=-frac{dlambda}{lambda}$ ，這裡的負號表示頻率越高波長越短.

如果忽略增減正負，只看變化量，進一步得到 $frac{Deltalambda}{lambda}=frac{Delta u}{ u}$ ，將此代入 $Delta_{max}$ 公式可得

這說明頻率寬度越小，則相干時間越長，即時間相干性好.

最後引入相干長度的概念，它是指一個波列的長度，以光程計，即在一個波列內發光時間為，波速為（假定在真空中），那麼相干長度

綜上，相干長度長、光譜寬度小、單色性好都是指時間相干性好.

由此可以展開更深入的相干性理論，但這裡不做介紹.

總結上述相干性的初步介紹，可歸結為一組框圖：

圖10 相干性理論初步

5. 平板干涉

通過一節的討論發現，由於空間相干性的限制，干涉孔徑角會受到限制（），因此只能用有限大小的光源，但實際應用中若光源不夠大常常不能滿足對條紋亮度的要求，為了使用足夠大的擴展光源，要用這種情況的干涉，這通過分振幅法可以實現，後面會通過平板干涉來介紹.

這裡先介紹一下條紋的定域.

根據前面講的楊氏實驗，點光源產生的干涉條紋是分佈在整個空間中的，如圖4所示，無論無論在哪裡都可以看到清晰的條紋，這種條紋稱為非定域條紋.
同樣由前述結論，若擴展光源過大，達到一定限度時，則條紋可見度會降低至零，條紋消失.而如果在利用平行平板干涉，即使用擴展光源，也可以找到某個平面，在這個平面上的干涉條紋可見度不降低，依然可以看到清晰的條紋，這個平面稱為定域面，定於面上觀察到的條紋稱為定域條紋.

5.1 平行平板干涉

平行平板干涉的非定域條紋

圖11 點光源照明的平行平板干涉

根據上圖，考察的情況可知，考察各種兩方向光束的干涉，可使之會聚到空間中任一點，即在空間內任意處都可看到干涉條紋，這顯然就是非定域條紋.

這其實是利用分波前法實現干涉.

平行平板干涉的定域條紋

分析上述光路圖可知，越小，則兩光束會聚的位置距離平板越遠，對於極限情況，則兩光束平行，如下圖所示，這就需要藉助光學系統將兩光束會聚到焦平面上，即只能在焦平面上看到條紋，它就是定域條紋.

先單獨分析這種雙光束干涉的情況，如下圖所示（最後通過凸透鏡會聚到定域面上（焦平面）），這就是分振幅干涉.

圖12 平行平板分振幅干涉

由圖可知，這束光形成的兩束光的光程差（點是點到線段的垂足），由幾何關係可進一步得到或 $Delta=2hsqrt{n^2-n』^2sin^2 heta_1}.$

考慮光疏-光密界面上的反射會產生半波損失（），則 $Delta=2nhcos heta_2+frac{lambda}{2}.$

可見，光程差僅取決於，進而由決定，即每個入射角決定了一種條紋，故稱

那麼根據 $I=I_1+I_2+2sqrt{I_1I_2}cosfrac{2piDelta}{lambda}$ ，

當時出現亮條紋 ；
當 $color{red}{Delta=Big(m+frac{1}{2}Big)lambda}$ 時出現暗條紋 .

基於上述理論，下面介紹一種簡單的實驗裝置.

圖13 產生等傾條紋的實驗裝置

如上圖(a)所示，擴展光源發出的光照在玻璃片上，會有一部分光反射到平行平板，的上下表面的反射光再通過，經過M的透射光再通過凸透鏡會聚到其焦平面上，產生同心圓環條紋.
凸透鏡把同一入射角的（平行）光都會聚到同一個點上，而且每一個入射角的光都決定了同一種條紋，（即擴展光源上不同的點發出的同一角度的光都會聚在同一點上形成條紋，光源上同一點發出的不同角度的條紋會聚在不同的點上形成條紋）因此無論擴展光源多大，都不會影響條紋可見度，只是增大亮紋的光強並擴大條紋的展示範圍. 圖(b)清晰地表達了這一點.

考察光程差 $Delta=2nhcos heta_2+frac{lambda}{2}$ ，綜合示意圖可發現，越是靠近圓心位置的條紋，其越小，對於正入射的光束（）有 $Delta=2nh+frac{lambda}{2}$ ，這正是條紋的中心.

以此為基礎來定義干涉級.

就以圓心處的光程差 $2nh+frac{lambda}{2}=m_0lambda$ ，就設這中心紋的干涉級為，
顯然不一定是整數（因此不能算是亮紋的確切位置），將它改寫為 .（是的小數部分）那麼就是最靠近中心的亮條紋的干涉級.
依此規律，從中心向外，第個亮紋的干涉級是 .

這裡先引入角半徑的概念，角半徑是指條紋的半徑對透鏡中心的張角，記作 $heta_{1N}$ 如上圖(b)所示.

（根據幾何光學的結論可知，角半徑和光線對於平行平板的入射角是相同的，因此統一用 $heta_{1N}$ 表示，折射角用 $heta_{2N}$ 表示）

對於這個 $heta_{1N}$ 和 $heta_{2N}$ ，根據前述結論，滿足 $2nhcos heta_2+frac{lambda}{2}=[m_1-(N-1)]lambda.$

或者說 $heta_{1N}$ 滿足 $2hsqrt{n^2-n』^2sin^2 heta_{1N}}+frac{lambda}{2}=[m_1-(N-1)]lambda$ ，干涉級根據光程差對於波長的倍數確定.

為了得到更方便計算的形式，將此式與中心紋的表達式做差得到 $2nh(1-cos heta_{2N})=(N-1+q)lambda$ ，

並利用一些近似
$sin heta_{1N}approx heta_{1N}$ , $sin heta_{2N}approx heta_{2N}$ , $1-cos heta_{2N}approxfrac{ heta_{2N}^2}{2}approxfrac{1}{2}Big(frac{n』 heta_{1N}}{n}Big)^2$

則可以解出角半徑的近似式 $color{red}{ heta_{1N}approxfrac{1}{n』}sqrt{frac{nlambda}{h}}sqrt{N-1+q}}$

上式說明：平板厚度越大，條紋角半徑越小

進一步得到角間距的概念，它是指相鄰條紋的角半徑之差，為了計算它，對光程差式 $Delta=2nhcos heta_2+frac{lambda}{2}$ 進行微分，得到，然後按整數干涉級變化，即取，則對應的記作，就得到 $color{red}{Delta heta_1=frac{nlambda}{2n』^2 heta_1h}}.$ 這就是條紋角間距.

上式說明：越靠近中心條紋越稀疏，越遠離中心的條紋越密集.另外，平板越厚條紋越密集，平板越薄條紋越稀疏.

最後順便提一下透射光的干涉，如下圖所示

圖14 透射光等傾條紋示意圖

但是這種情況的干涉條紋可見度比較差，這源於兩光束的光強相差較大，對於透射/反射光的干涉光強的情況，根據透射率和反射率對兩光束的光強計算對比如下圖

圖15 平行平板透射光/反射光干涉對比

不過透射光干涉有一個特點，就是光程差情況與反射光干涉不同，因為沒有光疏-光密界面的反射，因此不存在半波損失，這裡的 .

根據反射光干涉的條紋亮暗和光程差的對應關係可知，透射光干涉的條紋亮暗與反射光干涉條紋正好相反，這裡所謂相反是指相同的角半徑（或者說相同的）處出現亮暗相反的條紋.

5.2 楔形平板干涉

楔形平板干涉的非定域條紋

和平行平板類似，這自然也是分波前法的干涉，看下圖即可.

圖16 點光源照明的楔形平板干涉

楔形平板干涉的定域條紋

圖17 擴展光源照明楔形平板產生定域條紋

對於這種的情況，自然就是分振幅法的干涉.

既然是定域條紋，就不得不提到定域面位置，如上圖所示，當入射光線角度不同，定域面位置也不同：上述三圖分別是定域面在平板的上方，內部，下方的情況.

分析光路圖可知

楔角越小，定域面距離平板越遠，特別地，當楔角為零時就化為平行平板的情況.
平板越薄，定域面距離平板越近.反之則越遠，一般這種情況下都會選擇上圖中間圖的情況，即垂直入射，這樣會便於觀察.

這裡再敘述一下定域深度的概念.
在實際的干涉實驗裝置當中，擴展光源是有限大的，即使不為零也可以一定程度上的產生所謂的定域條紋.這樣，條紋就不只在定域面內，而是在定域面附近的區域內也能看到條紋，這個區域的深度稱為定域深度.

下面進行更具體的分析

圖18 楔形平板干涉

由圖可知，這束光形成的兩束光的光程差

這裡的幾何關係相較平行平板就複雜多了，考慮到實際情況的干涉系統中，平板的厚度很小，且楔角很小，因此光程差近似地用平行平板的光程差公式代替，即 $Delta=2nhcos heta_2+frac{lambda}{2}.$ 其中就是點處的厚度.

對於條紋的情況結合具體的實驗裝置進行說明.

圖19 等厚條紋觀察實驗裝置

對於這種實驗裝置（如上圖，平行光垂直入射），在這種情況下，始終有，則具體地有

當 $Delta=2nh+frac{lambda}{2}=mlambda$ 時出現亮條紋
當 $Delta=2nh+frac{lambda}{2}=Big(m+frac{1}{2}Big)lambda$ 時出現暗條紋

這意味著干涉條紋與厚度對應，即每個相同的厚度對應同一種條紋，因此稱這種條紋為 .

另一方面，關於條紋的形狀，這和平板的情況有關，更廣義地說，平板未必是要標準的楔形，其底面（上圖平板的下表面）甚至可以使任何奇怪的形狀，這樣，條紋的形狀由底面的形狀決定，下面先宏觀地分析規律，再說具體的例子.

根據亮（或暗）條紋的公式可知，由一個條紋過渡到另一個條紋（亮-亮或暗-暗），厚度變化 $Delta h=frac{lambda}{2n}$ ，光程差變化為，由此關係可推知，若條紋間距為（也是亮紋到亮紋的間距或暗紋到暗紋的間距，並非條紋寬度），那麼平板的楔角為 $color{red}{alpha=frac{lambda}{2ne}}.$

對於更一般的情形有如下結論：

圖20 各種等厚條紋

條紋表示的是底面的等高線.四個底面分別是楔面，柱面，球面和不規則平面.

最後，值得一提的是，這個實驗的理想光源是點光源，如果使用擴展光源，則會有各種方向的平行光照射到平板上，導致條紋可見度降低，一般情況下會使用光闌來限制光源的大小以保證條紋的清晰度.

6. 典型的雙光束干涉系統

如果工程研究不是為了應用，那將毫無意義.

6.1 斐索干涉儀

激光平面干涉儀

圖21 激光平面干涉儀

He-Ne激光器作為光源，發出的光經過擴束，再通過分光板反射到上進行準直，從而形成平行光，然後經過標準平晶 （其上表面做成斜面，可使反射光不進入觀察系統），最後照射在待測件 上.

這時觀察的是平晶的下表面反射的光與待測件上表面反射的光發生干涉.

關於「這麼多反射面究竟觀察的是哪兩個面的反射光發生干涉」這個問題，有一個很有效的判據就是光強，這和反射率/透射率有關，比如上述裝置，各光學零件的透射率都很高，反射率都很低，因此待測件的下表面反射的光強不值一提.

然後兩束反射光再照射回來，最後通過觀察系統 .

是標準平晶，顯然這是在測量上表面的平面度.
如果把撤掉，那麼就是的上下表面的反射光發生干涉，這就是在測量上下表面的平行度.

那麼可能觀察到的條紋如下

圖22 平面度誤差引起條紋彎曲

理想情況下，平行光垂直照射，兩平面完全平行，則光程差恆定，觀察不到光強的變化.

實際上這是不可能的.一般認為平行光垂直照射，但兩平面不可能絕對的平行，按照等厚條紋來分析.

例如上圖a)，設條紋彎曲的矢高為，條紋間距為，由前述分析，相鄰條紋的光程差為 $frac{lambda}{2}.$ 綜上，造成這個條紋彎曲的，平板這兩處的高度差為 $h=frac{H}{e}frac{lambda}{2}.$ （實際上是 $h=frac{H}{e}frac{lambda}{2n}$ ，但近似認為空氣中）而b)圖也是一樣.

應注意，這個高度差就是指所謂的兩側對應平板的位置的高度差.

激光球面干涉儀

將上述的平晶替換為下面的球面樣板即是球面干涉儀，它用來測量球面零件.

圖23 激光球面干涉儀示意

當待測件與標準樣板的半徑有誤差時即可觀察到圓形等厚條紋.

兩表面的曲率之差為 $Delta k=frac{1}{R_1}-frac{1}{R_2}.$ 根據幾何關係可知 $h=frac{D^2}{8}Delta k.$ 其中表示空氣夾層的最大厚度，表示待測件的口徑.

如果在的範圍內看到了個圓環條紋，那麼根據 $h=Ncdotfrac{lambda}{2}$ 則可得到 $N=frac{D^2}{4lambda}Delta k.$ 這樣就得到了曲率誤差和條紋數的關係，從而進行計算.

6.2 牛頓環

關於球面的測量，還有一個重要的項目就是測量透鏡的曲率半徑.可用如下手段來測量：

圖24 經典牛頓環實驗

這個裝置是一個平凸透鏡貼在一個平面玻璃上，它們之間的間隙為空氣夾層，用單色光垂直照明，在空氣夾層上會形成一組以接觸點為中心的中央疏、邊緣密的圓環條紋（等厚條紋），這就是牛頓環.這是經典形式，上述的激光球面干涉儀產生的條紋也算是牛頓環.

顯然有 $color{brown}{r^2}=R^2-(R-h)^2color{brown}{=2Rh-h^2}$

其中是透鏡的曲率半徑，是第個牛頓環的半徑，是當前的對應的空氣夾層的厚度

而，那麼對於上式近似忽略項，則得到 $h=frac{r^2}{2R}.$

觀察反射光條紋：

將其代入等厚條紋中第個暗環滿足的光程差條件，則得到 $2h+frac{lambda}{2}=Big(N+frac{1}{2}Big)lambda$ ，即 $h=Ncdotfrac{lambda}{2}$ ，代入h後進一步整理得到 $R=frac{r^2}{Nlambda}.$

這樣就可以根據暗環數算出半徑.

另外值得一提的是，當時，即牛頓環的中心，此處兩反射光的光程差 $Delta=frac{lambda}{2}$ （半波損失造成），所以是暗點.

而如果對於透射光的條紋，與反射光的正好相反，中心是亮點.

如果說最後還要指出些什麼，那就是：

牛頓環的半徑和單色光的波長、透鏡的曲率半徑都是正相關的關係，即波長越長，則牛頓環半徑越大；
透鏡曲率半徑越大，則牛頓環半徑越大，如下圖所示.

圖25 反射光牛頓環隨波長變化，圖片來自維基百科

圖26 反射光牛頓環隨試件半徑變化，圖片來自維基百科

6.3 邁克耳遜干涉儀

這是最典型的雙光束干涉儀.

圖27 邁克耳遜干涉儀

如上圖所示，

是兩個平面反射鏡，其中固定在基座上，而則可以進行精密的移動.
是兩塊相同（厚度、折射率）的平板，相對於呈角放置.在的分光面上塗半反半透膜（使透射光和反射光的光強相同），是補償板，主要用於白光照明時補償各色光的光程差（因為Ⅰ、Ⅱ兩束光進入平板的次數不同，需要補償版找齊），它對於單色光照明則不是必要的.
光線從發出，經過分光面，一半反射到上（Ⅰ光線），另一半透射過去經過板，照射到上（Ⅱ光線）.反射回來的光再經過分光面，二者分別經過反射和投射最後通過透鏡照射到干涉場，會聚於點發生干涉.

這樣，干涉儀的就相當於空氣平板，只要調節就可以改變這個空氣平板的厚度和楔角.

若是平行空氣平板，則看到的是等傾條紋，若有楔角，則看到等厚條紋.

的關係（上圖），與對應的條紋具體形式（下圖）如下兩圖所示：

圖28 平板關係

圖29 不同平板關係所對應的圖像

其中(a)~(e)為等傾條紋，(f)~(j)為等厚條紋

在等傾條紋的情況下，空氣平板越薄則條紋越稀疏，條紋越粗.直到(c)圖，兩等效平板重合，即空氣平板厚度為零，則條紋消失，呈現暗場.（一般來說這是由於在分光面發生反射而存在半波損失決定的，而如果有鍍層，則相位變化並不為，但依然呈現暗場）
在等厚條紋的情況下，條紋會向平板薄的方向彎曲，這是因為，在使用擴展光源的情況下，若平板較厚，則平板的厚度和入射角都會影響條紋的形狀，綜合作用下產生的彎曲.另一方面，對於(f)、(j)圖，則是因為平板太厚，是的光源寬度超過極限值，導致條紋可見度過小造成的.

具體來說，如果觀察到的是等厚條紋，在縮小空氣平板厚度的時候，則條紋向平板厚的方向移動.

而如果觀察到的是等傾條紋，在縮小空氣平板厚度時，則可精確計算：每移動一（整）個條紋，移動的距離是 $frac{lambda}{2}$ （單色光照明的情況），那麼 $Delta h=Ncdotfrac{lambda}{2}.$

其中是移動的距離，是冒出或縮進的條紋數目，是照明的單色光波長.

這就建立起了移動距離和條紋數目之間的關係，可以用於位移的測量.

7. 典型的多光束干涉系統

和雙光束干涉相比，多光束干涉的條紋更加明銳，更適用於高精度的監測工作.

7.1 平行平板的多光束干涉

圖30 多光束干涉

和雙光束干涉的情形一樣，也有反射光干涉和透射光干涉.

根據前述討論可知，透射光的相鄰兩光束的光程差 ，那麼相位差就是 $color{red}{delta}=kDeltacolor{red}{=frac{4pi}{lambda}nhcos heta}.$

設光束從周圍介質入射到平行平板的反射係數和透射係數分別為
設光束從平行平板入射到周圍介質的反射係數和透射係數分別為
設入射光的振幅為 $A^{(i)}$ ，光強為 $I^{(i)}.$

那麼透射光的復振幅依次為
$ilde A_1^{(t)}=tt』A^{(i)}$ ， $ilde A_2^{(t)}=tt』r』^2e^{idelta}A^{(i)}$ ， $ilde A_3^{(t)}=tt』r』^4e^{i2delta}A^{(i)}$ ， $ilde A_n^{(t)}=tt』r』^{2(n-1)}e^{i(n-1)delta}A^{(i)}.$

整體上 $ilde A^{(t)}=sum_{k=1}^infty ilde A_k^{(t)}=frac{tt』}{1-r』^2e^{idelta}}A^{(i)}.$

再根據透射係數、反射係數與透射比、反射比之間的關係：， $color{red}{tt』}=1-r^2=1- hocolor{red}{= au}.$

得到透射光在的強度 $I^{(t)}= ilde A^{(t)}cdot ilde A^{(t)*}=frac{ au^2}{(1- ho)^2+4 hosin^2frac{delta}{2}}I^{(i)}$

再代入，並令 $F=frac{4 ho}{(1- ho)^2}$ ，稱它為精細度係數，則上式化為
$I^{(t)}=frac{(1- ho)^2}{(1- ho)^2+4 hosin^2frac{delta}{2}}I^{(i)}=frac{1}{1+Fsin^2frac{delta}{2}}I^{(i)}.$ 同理反射光的干涉場上點的光強 $I^{(r)}=frac{Fsin^2frac{delta}{2}}{1+Fsin^2frac{delta}{2}}I^{(i)}.$

綜上可得， $I^{(r)}+I^{(t)}= I^{(i)}.$ 和雙光束干涉的情況相同，反射光和透射光的干涉條紋互補.

而至於條紋的性質，根據上述光強表達式即可得出如下結論：

對於透射光，當時出現亮條紋， $I_M^{(t)}=I^{(i)}$ ；
當時出現暗條紋， $I_m^{(t)}=frac{1}{1+F}I^{(i)}.$
對於反射光，當時出現亮條紋， $I_M^{(r)}=frac{F}{1+F}I^{(i)}$ ；
當時出現暗條紋， $I_m^{(r)}=0.$

這顯然和雙光束干涉的情況是相同的，因此條紋位置和雙光束的情形也是相同的.

下面來具體分析反射/透射光干涉條紋的優劣.

圖31 不同反射率下多光束干涉強度分佈

上圖是透射光的情況，其中表示反射率.

當反射率很小時，多光束干涉和雙光束干涉區別不大，而當反射率很大甚至趨近於時就不一樣了.由上圖可看出，當反射率充分大時，條紋相當於在一篇黑暗中有一組很細很亮的條紋，根據投射、反射條紋互補可知，反射光的干涉條紋就是一篇光亮中有很細的暗條紋.顯然前者更容易看清楚，這是多光束干涉的最顯著、最重要的特點.

因此在實際應用中一般採用透射光的干涉條紋.

這個特點已經不是條紋可見度所能描述的了，需要引入「銳度」和「精細度」這兩個概念來衡量.

銳度就是指（亮）條紋的相位半寬度，就是兩個半強度點對應的相位差的範圍，如下圖所示.

圖32 條紋半寬度

顯然，對於這個級條紋，其左右兩個半強度點的相位差分別是 $delta_1=2mpi-frac{Deltadelta}{2}$ 和 $delta_2=2mpi+frac{Deltadelta}{2}.$ 將其代入透射光條紋的光強表達式得到 $frac{1}{1+Fsin^2frac{Deltadelta}{4}}=frac{1}{2}.$

利用小角度近似 $sinfrac{Deltadelta}{4}approxfrac{Deltadelta}{4}$ 即可解得 $color{red}{Deltadelta=frac{4}{sqrt F}=frac{2(1- ho)}{sqrt ho}}.$

而精細度則是指相鄰條紋相位差與條紋銳度之比，記作，即 $color{red}{s=frac{2pi}{Deltadelta}=frac{pisqrt F}{2}=frac{pisqrt ho}{1- ho}}.$

可見，越大，則銳度越小，精細度越大，說明條紋越細銳，當時，條紋有相當高的精細度，這在精密測量中非常有用.

7.2 法布里-珀羅干涉儀

利用多光束干涉原理最重要的儀器就是法布里-珀羅干涉儀，也記作F-P干涉儀.如下圖所示.

圖33 F-P干涉儀

是兩塊玻璃或石英板，內表面鍍一層高反膜（使反射率很高），且內壁保持平行，且兩板做成楔板，避免外壁反射光的幹擾.

F-P干涉儀有兩種形式：
一種稱為F-P干涉儀，兩板中有一塊固定，而另一塊可以移動，從而改變間距，但在移動的過程中難以保持內壁的平行另一種稱為F-P標準具，兩板間加上一個平行隔圈，一般由銦鋼製成，膨脹係數很小，這樣就保證了兩板間距固定，且嚴格平行.

原理

如上圖所示，干涉儀用擴展光源照明，用透鏡將相同方向的光進行整理，其中一束光的具體光路圖上圖已經作出.本質上，多光束干涉和雙光束干涉是相同的，只是多光束干涉多了在平板內多次反射的光，它們隻影響條紋明暗的漸變速度，而不影響條紋位置，因此在干涉場上產生的也是同心圓環條紋，進而其角半徑和角間距依然可以用雙光束干涉時導出的公式計算.

另外，當兩板內表面鍍金屬膜時，還須考慮光在金屬表面反射時產生的相位變化（記為），以及金屬的吸收比，那麼之前的公式就化為 $frac{I^{(t)}}{I^{(i)}}=Big(1-frac{alpha}{1- ho}Big)^2frac{1}{1+Fsin^2frac{delta}{2}}$ ，並且，兩相鄰光束的相位差 $delta=frac{4pi}{lambda}hcos heta+2varphi.$

當然還要修正的是

對於條紋的現象有所改變的就是，由於吸收的存在，條紋的光強會有所降低.

測量波長差

由於多光束干涉條紋的細銳性，其分辨能力是相當高的，可以用來區分並測量波長差非常小的兩條光譜線.（F-P標準具）

具體來說，設擴展光源含有兩條譜線，和，那麼在干涉場上就形成兩組條紋，如下圖所示：

圖34 兩組條紋

其中實線對應的條紋，虛線對應的條紋（註：亮條紋）.

考察靠近條紋中心的條紋（認為），那麼兩個波長的干涉級的差 $color{red}{Delta m}=m_1-m_2=Big(frac{2h}{lambda_1}+frac{varphi}{pi}Big)-Big(frac{2h}{lambda_2}+frac{varphi}{pi}Big)color{red}{=frac{2h(lambda_2-lambda_1)}{lambda_1lambda_2}}$

如圖，記為兩組條紋間的位移，為同組條紋的間距，則有 $Delta m=frac{Delta e}{e}.$

綜上， $color{red}{Deltalambda}=lambda_2-lambda_1=color{red}{Big(frac{Delta e}{e}Big)frac{arlambda^2}{2h}}.$

其中是和的平均波長，可先粗略測出；是標準具間隔.這樣，只要測出和就能計算出
應注意，不同級的條紋間並不是等間距分佈的，因此上式是近似式（來源於的表達式）.

注意事項——自由光譜範圍、分辨本領

根據上述討論不難發現，當時， $Deltalambda=frac{arlambda^2}{2h}.$ 這意味著兩組條紋（錯級）重疊，這種情況下只能看到一組條紋.而如果繼續增大，可能觀察到的條紋分佈與上圖相同.

在這些情況下通過觀察條紋是無法判斷是否越級的！

那麼就要對進行規定，把 $frac{Delta e}{e}=1$ 時對應的作為標準具所能測量的最大波長差，稱之為標準具常數或自由光譜範圍，記作 $(Deltalambda)_{(S,R)}=frac{arlambda^2}{2h}.$ （一般的標準具的都比較大，因此自由光譜範圍比較小）

明確了最大波長差，還要研究最小波長差，記它為，稱之為標準具的分辨極限.

關於光譜儀的分辨判斷，常用的是瑞利判據，在這裡我們這樣描述它：

兩個波長的亮條紋只有當它們的合強度曲線中央的極小值小於等於兩邊極大值的時才能被區分.下圖很好地說明瞭這一點.

圖35 兩波長條紋恰能被分辨

如果忽略標準具對光的吸收，那麼對於兩光波形成條紋的合強度就是 $I=frac{I^{(i)}}{1+Fsin^2frac{delta_1}{2}}+frac{I^{(i)}}{1+Fsin^2frac{delta_2}{2}}.$

其中兩點分別是兩種波長的光在干涉場上同一點處的條紋所對應的相鄰兩光線的相位差.

令，

在點處，
在點處， $delta_1=2mpi+frac{varepsilon}{2}，delta_2=2mpi-frac{varepsilon}{2}.$

將它們代入合強度表達式，再根據就求得 $color{red}{varepsilon}=frac{4.15}{sqrt F}color{red}{=frac{2.07pi}{s}}.$

這是最小的「相鄰兩光束相位差」的差值.

另一方面，根據前述兩相鄰光線的相位差 $delta=frac{4pi}{lambda}hcos heta+2varphi$ ，當 $2varphillfrac{4pi}{lambda}hcos heta$ 時可以忽略（因為一般都會很大），則滿足 $|Deltadelta|=frac{4pi}{lambda}hcos hetacdotfrac{Deltalambda}{lambda}=2mpifrac{Deltalambda}{lambda}.$

然後定義標準具的分辨本領 $color{red}{A=frac{lambda}{(Deltalambda)_m}}.$

綜上所述， $color{red}A=frac{lambda}{(Deltalambda)_m}=2mpifrac{s}{2.07pi}color{red}{=0.97cdot mcdot s}.$

這說明分辨本領正比於干涉級和精細度 .

8. 光學薄膜

通過上述的所有討論不難發現，對於分振幅法的干涉，其條紋的效果和分界面的反射率/透射率密切相關.而在光學元件表面鍍膜的一個重要用途就是改變零件的反射率/透射率.作為文章的末尾，將基於多光束干涉的結論對這些進行討論.

理論基礎

設想有一折射率為的玻璃平板，上面鍍一層折射率為的薄膜，周圍介質折射率為另外，表示的是相應分界面的復振幅反射係數和復振幅透射係數，如下圖所示.

圖36 單層介質膜的反射和投射

根據多光束干涉的結論，薄膜上反射光和透射光的復振幅分別為

$egin{cases}A^{(r)}=frac{r_1+r_2e^{idelta}}{1+r_1r_2e^{idelta}}A^{(i)}\[2ex]A^{(t)}=frac{t_1t_2}{1+r_1r_2e^{idelta}}A^{(i)}end{cases}$

相鄰兩束光的相位差 $delta=frac{4pi}{lambda}nhcos heta.$

那麼薄膜的復振幅反射係數和復振幅投射係數分別為

$egin{cases}r=frac{r_1+r_2e^{idelta}}{1+r_1r_2e^{idelta}}\[2ex]t=frac{t_1t_2}{1+r_1r_2e^{idelta}}end{cases}$

若忽略薄膜對光的吸收，薄膜的反射比和透射比分別為

$egin{cases} ho=|r|^2=frac{r_1^2+r_2^2+2r_1r_2cosdelta}{1+r_1^2r_2^2+2r_1r_2cosdelta}\[2ex] au=frac{n_Gcos heta_G}{n_0cos heta_0}|t|^2color{brown}{=frac{n_Gcos heta_G}{n_0cos heta_0}cdotfrac{t_1^2t_2^2}{1+r_2^2r_2^2+2r_1r_2cosdelta}}end{cases}$

特別地，對於正入射的情況有 $r_1=frac{n_0-n}{n_0+n}$ 以及 $r_2=frac{n-n_G}{n+n_G}.$

那麼此時的反射比化為 $ho=frac{(n_0-n_G)^2cos^2frac{delta}{2}+Big(frac{n_0n_G}{n}-nBig)^2sin^2frac{delta}{2}}{(n_0+n_G)^2cos^2frac{delta}{2}+Big(frac{n_0n_G}{n}+nBig)^2sin^2frac{delta}{2}}$

上式說明，膜的反射比是和的函數，進而也是和的函數.

對於確定的，波長確定的情況下，不同折射率的膜的反射比隨的變化如下圖所示.

圖37 介質膜反射比

下面就基於上述的的表達式和上圖的曲線，對單層膜具體情形進行討論.

8.1 增透膜

由上圖可知，只要膜的折射率小於玻璃基板的折射率，即時，鍍膜後的反射比就小於只有玻璃基板時的反射比，也就是說這層膜起到了增加透射率的作用，且當 $nh=frac{lambda_0}{4}$ （即相鄰兩光束的相位差時）增透效果最好.

此時 $ho_{lambda_0}=frac{Big(frac{n_0n_G}{n}-nBig)^2}{Big(frac{n_0n_G}{n}+nBig)^2}=Big(frac{n_0-frac{n^2}{n_G}}{n_0+frac{n^2}{n_G}}Big)^2.$

那麼當 $color{red}{n=sqrt{n_0n_G}}$ 時膜系（薄膜和玻璃基板共同組成的系統）的反射比為零.

當然這僅限於波長的單色光

下圖展示了在的玻璃基板上鍍一層氟化鎂的情況下，不同入射角時的反射比隨波長的變化.

圖38 不同入射角下反射比隨波長變化

這說明當入射角增大時反射比上升，同時反射比的極小值會向短波長的方向移動.

另一方面，當光束斜入射時，稍微改寫一下菲涅耳公式得到波和波的反射係數：

$largeegin{cases}r_s=frac{n_2cos heta_2-n_1cos heta_1}{n_2cos heta_2+n_1cos heta_1}\[2ex]r_p=frac{frac{n_2}{cos heta_2}-frac{n_1}{cos heta_1}}{frac{n_2}{cos heta_2}+frac{n_1}{cos heta_1}}end{cases}$