工程光学（二）——光的干涉

前言

在介绍了光的电磁理论基础后，对于光波叠加的进一步讨论就是光的干涉（interference），不同于一般的光波叠加，光的干涉强调的是在一段时间内在空间中某处的稳定叠加，即产生稳定的光强的强弱分布（干涉条纹）的现象.

本文按照下述脉络进行讨论

1. 干涉条件：光波叠加理论基础到干涉的衔接，最后会介绍干涉的必要条件.

2. 常用的干涉手段：简单介绍分波前法和分振幅法.

3. 杨氏干涉实验：这是最经典的分波前法的实验.

4. 条纹可见度：描述了条纹的清晰程度，通过其影响因素进而提到时间相干性和空间相干性.并顺便指出分波前法对扩展光源宽度有要求这一弊端，本质上是光源宽度与干涉孔径角之间的矛盾.

5. 平行平板干涉：如果观察的条纹，这依然是分波前法的干涉，这是非定域干涉，在全空间内都可以看到条纹（不同位置看到的是不同产生的条纹），而它依然面临与的矛盾.随著扩展光源宽度的增加，空间不同区域干涉场的可见度下降，但下降程度不同，但存在一个特殊的区域，其可见度始终不下降，称此区域为定于中心，这里的条纹便是定域条纹，这个区域在无穷远处（或者说透镜的后焦面），而此处，这正是分振幅干涉.所以说分振幅干涉就是实现的干涉，这就避免了与的矛盾.而干涉条纹的本质是等光程差点的轨迹，在这里光程差的不同是由与光对平板的入射角的不同造成的，相同的入射角产生相同的条纹，故称等倾条纹.产生的条纹是圆环形条纹，而圆环是源于点光源发出的球面波的「球面」这个性质向二维平面的投影造成的.

6. 楔形平板干涉：它显然也有和的干涉，即定域非定域干涉.非定域干涉依然是不值一提的.而对于定域干涉，其定域面的位置却和平板的楔角有关，楔角越小，定域面距离平板越远，极限情况便是平行平板的无穷远.值得一提的是，厚度和倾角都会影响光程差，因此，为了分离这二者的影响，只看由厚度不同造成的不同光程差，必须用平行光照明.进而，光程差源于楔形平板的厚度，因此条纹描绘了楔形平板的等高线，相同的厚度产生相同的条纹，故称等厚条纹.

7. 应用：包括激光平面干涉仪、激光球面干涉仪，进而提到经典的牛顿环实验，最后讲迈克耳逊干涉仪.

8. 多光束干涉：上面讲的都是双光束干涉的情况，但实际上，光在平板内也会多次反射，每次反射也都会带来透射，这些光也会参与干涉，这就是多光束干涉.这里介绍平行平板的多光束干涉，其本质上与双光束的干涉并无不同.但关键的是，影响条纹效果的主要因素是平板的反射率，对于低反射率，多光束与双光束区别不大，而对于高反射率，则别有洞天，通过计算发现，由后续光束的影响，这里的透射光的条纹是非常细锐清晰的，这在精密测量中相当有用.顺便介绍其应用——F-P干涉仪

9. 光学薄膜：通过上述讨论，光学元件的反射率对干涉的效果有很大影响，而改变元件反射率的常用手段就是镀膜，在文章的最后简单介绍一下增透膜和增反膜的一些结论.

1. 干涉的条件

基于上一篇文章关于光强和光波叠加的内容对光的干涉展开讨论，从两个单色波入手，分析光波干涉的必要条件.

设有任意两个振动方向夹角为的平面波

$egin{cases}vec E_1(vec r,t)=vec A_1 e^{i(vec k_1cdotvec r-omega_1t+delta_1)}\[2ex]vec E_2(vec r,t)=vec A_2 e^{i(vec k_2cdotvec r-omega_2t+delta_2)}end{cases}$

那么它们的合成矢量为

干涉是指稳定的光强的强弱分布，自然要考察这个合振动的光强，但考虑到观测干涉图样的任何接收器都不可能观察到每时每刻的情况，只能观测一段时间的平均值，因此在计算的时候也要考虑这个平均（用表示）.

则有

（实际只存在实部部分）

$=A_1^2+A_2^2+color{brown}{2A_1A_2cosalpha}cdotcolor{blue}{langlecos[(vec k_1-vec k_2)cdotvec r+(delta_1-delta_2)-(omega_1-omega_2)t] angle}$

$=I_1+I_2+I_{12}$

其中，它们显然都是固定的，而剩下的 $I_{12}=2A_1A_2cosalphacdotlanglecos[(vec k_1-vec k_2)cdotvec r+(delta_1-delta_2)-(omega_1-omega_2)t] angle$ 称为相干项.

令 .它表示相位差.

就得到 $I_{12}=2A_1A_2cosalphalanglecospsi anglecolor{brown}{=2sqrt{I_1I_2}cosalphalanglecospsi angle}.$

那么现在问题就化为观察 $I_{12}$ 是否恒为零了，如果它是零，则光强恒定，无强弱分布.而真正决定它的是和：

当 $alpha=frac{pi}{2}$ 时（两光波振动方向垂直），，进而 $I_{12}$ 为零，不产生干涉，这就要求振动方向必须有上的分量.
另一方面，考察，既然说干涉要在空间中要稳定的呈现光的强弱分布，那么就要求 不随时间变化，即要保持不变，，具体而言就是和

记这时的相位差 为

综上所述，光波干涉的条件就有以下三点：

频率相同
振动方向相同（一般这样讲，因为如果振动方向有一定夹角会降低亮/暗条纹的光强差距，但本质上，振动方向有相同方向的分量即可）
相位差恒定
这里还有一个隐含的补充条件，就是两光波的光程差不能超过波列长度.（否则两光波将不能相遇）

光程是指是指在均匀介质中，光行径的几何路径的长度与光在该介质中的折射率的乘积，两条光线光程的差值叫做光程差（一般记作）.它与相位差的关系为 .更多详细信息在上一篇文章光波叠加部分.

大部分的光源都是来自原子发光，而原子发光是间歇的，每次发光的持续时间极短（约 $10^{-9}s$ ），且不同原子发出的光波是独立的，所以它们之间并无稳定的相位和偏振关系.因此，一般来说，两个普通的独立的光源发出的光波不能发生干涉.

这就很自然地引出了一个问题：怎样才能实现干涉呢？

2. 常用的发生干涉的手段

常见的办法就是利用光学系统，将点光源发出的一列光波一分为二，使其经过不同的路径后再叠加，这样它们的频率相同，相位差稳定，振动方向存在相同方向的分量.

能达到这种效果的操作一般有两种：分波前法和分振幅法.

分波前法（division of wave front）

点光源产生的波前在横向分为两部分，使其分别经过不同的路径再叠加.这种手段的一个经典例子就是杨氏干涉实验.

分振幅法（division of amplitude）

一束光投射到透明板上，则会有一部分光发生反射，一部分折射，再用反射镜让这两束光产生叠加.关于这种手段本文将较为详细地介绍平板干涉（平行平板/楔形平板）.

3. 杨氏干涉实验

后文如无特殊声明，均认为相干光的振动方向夹角

图1 杨氏干涉实验装置图

杨氏实验装置如上图所示，由光源发出的光经过小孔，即认为从这以后的光都是从点光源发出的，然后光再通过在挡板上两个的小孔，即认为从发出的光源于同一光波（相干光），最后在距离照挡板为的干涉场上发生相干叠加，产生干涉条纹.

这个实验中有3个重要的观察点：

光强分布公式；
明、暗条纹位置；
条纹间距.

综合前述结论，在某点处的光强 $I=4I_0cos^2frac{delta}{2}.$ （其中）

若令其中的相位差 （满足两光波的初始相位相同，即，且研究的方向和同向），并将 $k=frac{2pi}{lambda}$ 代入.

得到 $I=4I_0cos^2Big[frac{pi(r_2-r_1)}{lambda}Big].$

这说明光强取决于即两光波在该点的光程差（在真空中，或认为空气中）或者说相位差

图2 杨氏干涉实验计算的坐标

若采取上图述坐标系，则有

$r_1=sqrt{Big(x-frac{d}{2}Big)^2+y^2+D^2}$ ， $r_2=sqrt{Big(x+frac{d}{2}Big)^2+y^2+D^2}.$

那么 $Delta=r_2-r_1=frac{2xd}{r_1+r_2}.$

进一步地，在实际情况下，且，那么近似地认为，进而上式化为 $Delta=r_2-r_1=frac{xd}{D}.$

那么 $color{red}{I=4I_0cos^2Big[frac{pi xd}{lambda D}Big]}.$

上式说明，当相同时，形成同一条纹，即当沿轴排布时，形成的条纹是竖的（同一条纹沿轴上下延伸）.

进一步观察发现，

当 $color{red}{x=frac{mlambda D}{d}} (m=1,pm1,pm2,cdots)$ 时干涉场上有最大光强 $color{red}{I=4I_0}$ ，为亮条纹.
当 $color{red}{x=Big(m+frac{1}{2}Big)frac{lambda D}{d}} (m=1,pm1,pm2,cdots)$ 时干涉场E上有最小光强，为暗条纹.
那么条纹间距自然就是 $color{red}{e=frac{Dlambda}{d}=frac{lambda}{omega}}.$

为和的夹角，称之为相干光束的会聚角，这里也在，且的情况下做了 $omegaapproxfrac{d}{D}$ 的近似.
这说明条纹间距正比于相干光的波长，反比于会聚角.顺便指出，由光强公式可看出，亮纹和暗纹间是渐变的.这里所指的，对应于亮暗纹位置的指的是相应条纹中间的位置.

图3 等光程差面

最后要说明的是，干涉条纹本质上是两光源等光程差的轨迹，实际上这个等光程差的轨迹是空间中的无数对双叶双曲面（如上图），而所谓直条纹是干涉场与这些双曲面相交的轨迹（如下图）.

图4 不同位置的条纹形状

以上的讨论虽然对条纹位置和宽度有较详细的描述，但还有一个很大的隐患，就是忽略了观测上的效果，即暗纹或许并不那么「暗」.那么如何评价条纹的观测效果，以及如何使条纹的观测效果更好呢？

下面引入条纹可见度的概念.

4. 条纹可见度（Visibility）

这里基于杨氏干涉实验进行分析.

另一项就是光强，通过上文已经指出干涉场（干涉发生的区域）的光强表达式， $I=I_1+I_2+I_{12}$ ，其中是固定不变的，而 $I_{12}$ 是与和有关的三角函数，这意味著在空间中呈周期性变化，甚至当时，理论上的最小值为零，最大值为，这就是明暗条纹的本质.

当然，通过以上的讨论不难发现，实际上的明暗条纹的光强并不能像理想条件那样下达到和，那么为了评价干涉的效果，下面引入条纹可见度的概念.

也有文献中用contrast：衬比度/对比度的说法

设干涉场中实际观测到的光强极大值为，极小值为，则条纹可见度 $color{red}{K=frac{I_M-I_m}{I_M+I_m}}$ .它反映了明暗条纹反差的程度，越大说明明暗反差越大，最理想的情况就是当时，

另一方面，从理论上来说，当 $alpha=frac{pi}{2}$ 时，，在这种情况下 $I_M=I_1+I_2+2sqrt{I_1I_2}，I_m= I_1+I_2-2sqrt{I_1I_2}$ ，由此代换， $color{red}{K=frac{2sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}}.$

光强公式的简化

由此发现，干涉场的光强分布I可在一定条件下通过可见度进行简化描述.

由前述， $I=I_1+I_2+I_{12}.$ 在相干项 $I_{12}=2A_1A_2cosalphacdotlanglecospsi angle$ 当中的从根据干涉条件化为后，把它记为

即

下面，在一些更理想的条件下对光强公式进行简化

和前面讲的一样，当时，进而有 $I=I_1+I_2+2sqrt{I_1I_2}cosdeltacolor{brown}{=(I_1+I_2)Big(1+frac{2sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}cosdeltaBig)}.$

当进一步有时，则上式化为 $I=2I_0(1+cosdelta)color{brown}{=4I_0cos^2frac{delta}{2}}.$

综上， $color{brown}{I=(I_1+I_2)Big(1+KcosdeltaBig)}.$

这样一来，可见度就显得比较重要，那么究竟有哪些因素影响著的值呢？

影响因素1——振幅比

从公式来看，一个最直接的因素就是两相干光的光强，具体而言， $K=frac{2sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}=frac{2Big(frac{A_1}{A_2}Big)}{1+Big(frac{A_1}{A_2}Big)}$ 这就是在说两相干光的振幅比.

两振幅差距越大，则越小，反之越大，特别地，当时，

除此之外，还有相干性（coherence）的影响，它指的是：为了产生显著的干涉现象，波所需具备的性质.

相干性大致分类为空间相干性和时间相干性：空间相干性与光源的尺寸有关，时间相干性与波的频宽（非单色性）有关。

影响因素2——光源大小

实际的光源总有一定大小，而非绝对标准的点光源，通常称之为扩展光源.将扩展光源视为许多点光源的集合，具体来说，把宽度为，光强为的扩展光源分成许多宽度为，强度为 $i_0=frac{I_0}{b}$ 的元光源.

图5 扩展光源分成元光源

如上图所示，以前述干涉光强公式为基础，则扩展光源上的任一元光源在干涉场上的点形成的条纹强度为

其中即分别为双孔（）左右两侧的光程差.则 $Delta』=frac{d}{l}x』，Delta=frac{d}{D}x$ （设点在轴上的坐标为）

这里再引入一个概念就是干涉孔径角 ，它是指那么在时（光源到挡板的距离远大于两孔间距时）可近似认为 $eta=frac{d}{l}.$

综上所述，整个扩展光源在点P处产生干涉条纹的光强
$I=int_{-frac{b}{2}}^{frac{b}{2}}2i_0Big[1+cosfrac{2pi}{lambda}Big(frac{d}{l}x』+frac{d}{D}xBig)Big]dx』$

$=2i_0b+2i_0frac{sinfrac{pi beta}{lambda}}{frac{pieta}{lambda}}cosBig(frac{2pi}{lambda}frac{d}{D}xBig)$
$=2I_0Big[1+frac{sin frac{ pi beta}{lambda}}{frac{pi beta}{lambda}}cosBig(frac{2pi}{lambda}frac{d}{D}xBig)Big].$ （将代换回去）

由前述的光强表示式形式，上式的 $frac{frac{sin(pi beta)}{lambda}}{frac{pi beta}{lambda}}$ 就是条纹可见度，那么记为 $color{red}{K=Big|frac{lambda}{pi beta}sinfrac{pi beta}{lambda}Big|}.$

这就是扩展光源宽度与可见度的关系.视上式为扩展光源宽度的函数，绘制函数图像如下.

图6 条纹可见度随光源宽度变化

观察图像可发现，第一次时，对应光源宽度 $b=frac{lambda}{eta}$ ，定义其为临界宽度，记作 $b_c=frac{lambda}{eta}.$
另外，当 $b=frac{lambda}{4eta}$ 时，可较清晰地观察条纹，这是 $frac{1}{4}$ 的临界宽度，定义其为允许宽度（许可宽度），记作 $b_pcolor{brown}{=frac{lambda}{4eta}}=frac{b_c}{4}.$

那么空间相干性具体是指：扩展光源照射挡板，若通过挡板上两点（两孔）的光在空间相遇时能发生干涉，则称通过这两点的光具有空间相干性.

这里再做进一步的说明，顺便引入横向相干宽度的概念.

由于对条纹可见度有要求，那么扩展光源的宽度和干涉孔径角是相互牵制的，但相干空间不仅可以用干涉孔径角来表示，还可以用两孔（）的距离来表示，考虑临界宽度 $b=frac{lambda}{eta}$ ，当时，可近似认为 $eta=frac{d}{l}$ ，那么在临界宽度所描述的情形下，两孔的距离被称为横向相干宽度，记作，显然 $d_t=frac{lambda l}{b}.$
如果连接的中点到扩展光源的两端，记这个张角为，且在的情况下，则又有 $d_t=frac{lambda}{ heta}.$

由上述讨论，可进一步得出如下结论.

如果扩展光源是正方形的（边长是），那么在干涉场中产生干涉条纹区域的面积（相干面积）为 $A=d_t^2=Big(frac{lambda}{ heta}Big)^2.$
如果扩展光源是圆形（直径为），那么横向相干宽度公式与前述讨论相差一个系数，即 $d_t=1.22cdotfrac{lambda}{ heta}$ ，因此在干涉场中产生干涉条纹区域的面积（相干面积）为 $A=piBig(frac{1.22lambda}{2 heta}Big)^2color{red}{=piBig(frac{0.61lambda}{ heta}Big)^2}.$

特别地，分析处于临界宽度情况下的干涉系统可得到重要结论：

图7 干涉系统不变性

在这个实验里，近似认为 $frac{b_c}{l}= heta_1，frac{e}{D}= heta_2$ ，
又根据 $e=frac{lambda}{omega}，b_c=frac{lambda}{eta}$ ，
得到
进一步得到
另一方面（这说明），

综上 $color{red}{b_ceta}=eomega=dcdot hetacolor{red}{=lambda}.$ 这就是干涉系统的不变数.

影响因素3——光源的非单色性

实际的光源和理想中的另一个重要的不同之处就是非单色性，就是说即使是所谓单色光源，也有不同波长的光（即有一定的光谱宽度），这当然也会影响条纹可见度.因为它们波长虽不同，但每个同种波长的光也会产生干涉条纹，且条纹宽度不一致，这样叠加起来会使可见度降低，如下图所示，横坐标指光程差，相当于相距条纹中心的距离.

图8 强度分布曲线

这里要对不同的波长进行分析，那么不妨根据波数 $k=frac{2pi}{lambda}$ 对光强表达式进行改写，然后对进行分析，这样会更便于计算.（实际上就是将光谱宽度 转化为波数宽度 ）

将强度为，波数宽度为（中点为）的光源视为许多强度为，元波数宽度为的元光源的集合.和上一节的手段类似，以前述干涉光强公式为基础，那么，其中是光程差.

那么就有
$I=int_{k_0-frac{Delta k}{2}}^{k_0+frac{Delta k}{2}}2i_0(1+cos kDelta)dk$ $=2i_0(Delta k)Big(1+frac{sinBig((Delta k)cdotfrac{Delta}{2}Big)}{(Delta k)cdotfrac{Delta}{2}}cos(k_0Delta)Big)$

根据这个形式可知， $color{red}{K=Big|frac{sin[(Delta k)cdotfrac{Delta}{2}]}{(Delta k)cdotfrac{Delta}{2}}Big|}.$

这里随的变化如下图所示

根据上述的公式可知，当第一次时，满足 $Delta=frac{2pi}{Delta k}$ ，代入 $Delta k=frac{2pi}{lambda_2}-frac{2pi}{lambda_1}$ 可得 $Delta=frac{lambda_1lambda_2}{(Deltalambda)}approxfrac{lambda^2}{(Deltalambda)}$ （其中）.

这个就是指对应光谱宽度（或者说）的光源能产生干涉的最大光程差，记作 $Delta_{max}$

图9 可见度曲线

那么时间相干性就是指：光波在一定光程差下能够发生干涉.把光通过相干长度所需的时间称为相干时间.

更本质地说，若同一光源在相干时间内不同时刻发出的光，经过不同的路径相遇时能产生干涉，这种相干性称为时间相干性.

根据前述讨论可知， $Delta_{max}=frac{lambda^2}{(Deltalambda)}=c(Delta t).$

另外由波长和频率的关系，对其微分可得，因此 $frac{d u}{ u}=-frac{dlambda}{lambda}$ ，这里的负号表示频率越高波长越短.

如果忽略增减正负，只看变化量，进一步得到 $frac{Deltalambda}{lambda}=frac{Delta u}{ u}$ ，将此代入 $Delta_{max}$ 公式可得

这说明频率宽度越小，则相干时间越长，即时间相干性好.

最后引入相干长度的概念，它是指一个波列的长度，以光程计，即在一个波列内发光时间为，波速为（假定在真空中），那么相干长度

综上，相干长度长、光谱宽度小、单色性好都是指时间相干性好.

由此可以展开更深入的相干性理论，但这里不做介绍.

总结上述相干性的初步介绍，可归结为一组框图：

图10 相干性理论初步

5. 平板干涉

通过一节的讨论发现，由于空间相干性的限制，干涉孔径角会受到限制（），因此只能用有限大小的光源，但实际应用中若光源不够大常常不能满足对条纹亮度的要求，为了使用足够大的扩展光源，要用这种情况的干涉，这通过分振幅法可以实现，后面会通过平板干涉来介绍.

这里先介绍一下条纹的定域.

根据前面讲的杨氏实验，点光源产生的干涉条纹是分布在整个空间中的，如图4所示，无论无论在哪里都可以看到清晰的条纹，这种条纹称为非定域条纹.
同样由前述结论，若扩展光源过大，达到一定限度时，则条纹可见度会降低至零，条纹消失.而如果在利用平行平板干涉，即使用扩展光源，也可以找到某个平面，在这个平面上的干涉条纹可见度不降低，依然可以看到清晰的条纹，这个平面称为定域面，定于面上观察到的条纹称为定域条纹.

5.1 平行平板干涉

平行平板干涉的非定域条纹

图11 点光源照明的平行平板干涉

根据上图，考察的情况可知，考察各种两方向光束的干涉，可使之会聚到空间中任一点，即在空间内任意处都可看到干涉条纹，这显然就是非定域条纹.

这其实是利用分波前法实现干涉.

平行平板干涉的定域条纹

分析上述光路图可知，越小，则两光束会聚的位置距离平板越远，对于极限情况，则两光束平行，如下图所示，这就需要借助光学系统将两光束会聚到焦平面上，即只能在焦平面上看到条纹，它就是定域条纹.

先单独分析这种双光束干涉的情况，如下图所示（最后通过凸透镜会聚到定域面上（焦平面）），这就是分振幅干涉.

图12 平行平板分振幅干涉

由图可知，这束光形成的两束光的光程差（点是点到线段的垂足），由几何关系可进一步得到或 $Delta=2hsqrt{n^2-n』^2sin^2 heta_1}.$

考虑光疏-光密界面上的反射会产生半波损失（），则 $Delta=2nhcos heta_2+frac{lambda}{2}.$

可见，光程差仅取决于，进而由决定，即每个入射角决定了一种条纹，故称

那么根据 $I=I_1+I_2+2sqrt{I_1I_2}cosfrac{2piDelta}{lambda}$ ，

当时出现亮条纹 ；
当 $color{red}{Delta=Big(m+frac{1}{2}Big)lambda}$ 时出现暗条纹 .

基于上述理论，下面介绍一种简单的实验装置.

图13 产生等倾条纹的实验装置

如上图(a)所示，扩展光源发出的光照在玻璃片上，会有一部分光反射到平行平板，的上下表面的反射光再通过，经过M的透射光再通过凸透镜会聚到其焦平面上，产生同心圆环条纹.
凸透镜把同一入射角的（平行）光都会聚到同一个点上，而且每一个入射角的光都决定了同一种条纹，（即扩展光源上不同的点发出的同一角度的光都会聚在同一点上形成条纹，光源上同一点发出的不同角度的条纹会聚在不同的点上形成条纹）因此无论扩展光源多大，都不会影响条纹可见度，只是增大亮纹的光强并扩大条纹的展示范围. 图(b)清晰地表达了这一点.

考察光程差 $Delta=2nhcos heta_2+frac{lambda}{2}$ ，综合示意图可发现，越是靠近圆心位置的条纹，其越小，对于正入射的光束（）有 $Delta=2nh+frac{lambda}{2}$ ，这正是条纹的中心.

以此为基础来定义干涉级.

就以圆心处的光程差 $2nh+frac{lambda}{2}=m_0lambda$ ，就设这中心纹的干涉级为，
显然不一定是整数（因此不能算是亮纹的确切位置），将它改写为 .（是的小数部分）那么就是最靠近中心的亮条纹的干涉级.
依此规律，从中心向外，第个亮纹的干涉级是 .

这里先引入角半径的概念，角半径是指条纹的半径对透镜中心的张角，记作 $heta_{1N}$ 如上图(b)所示.

（根据几何光学的结论可知，角半径和光线对于平行平板的入射角是相同的，因此统一用 $heta_{1N}$ 表示，折射角用 $heta_{2N}$ 表示）

对于这个 $heta_{1N}$ 和 $heta_{2N}$ ，根据前述结论，满足 $2nhcos heta_2+frac{lambda}{2}=[m_1-(N-1)]lambda.$

或者说 $heta_{1N}$ 满足 $2hsqrt{n^2-n』^2sin^2 heta_{1N}}+frac{lambda}{2}=[m_1-(N-1)]lambda$ ，干涉级根据光程差对于波长的倍数确定.

为了得到更方便计算的形式，将此式与中心纹的表达式做差得到 $2nh(1-cos heta_{2N})=(N-1+q)lambda$ ，

并利用一些近似
$sin heta_{1N}approx heta_{1N}$ , $sin heta_{2N}approx heta_{2N}$ , $1-cos heta_{2N}approxfrac{ heta_{2N}^2}{2}approxfrac{1}{2}Big(frac{n』 heta_{1N}}{n}Big)^2$

则可以解出角半径的近似式 $color{red}{ heta_{1N}approxfrac{1}{n』}sqrt{frac{nlambda}{h}}sqrt{N-1+q}}$

上式说明：平板厚度越大，条纹角半径越小

进一步得到角间距的概念，它是指相邻条纹的角半径之差，为了计算它，对光程差式 $Delta=2nhcos heta_2+frac{lambda}{2}$ 进行微分，得到，然后按整数干涉级变化，即取，则对应的记作，就得到 $color{red}{Delta heta_1=frac{nlambda}{2n』^2 heta_1h}}.$ 这就是条纹角间距.

上式说明：越靠近中心条纹越稀疏，越远离中心的条纹越密集.另外，平板越厚条纹越密集，平板越薄条纹越稀疏.

最后顺便提一下透射光的干涉，如下图所示

图14 透射光等倾条纹示意图

但是这种情况的干涉条纹可见度比较差，这源于两光束的光强相差较大，对于透射/反射光的干涉光强的情况，根据透射率和反射率对两光束的光强计算对比如下图

图15 平行平板透射光/反射光干涉对比

不过透射光干涉有一个特点，就是光程差情况与反射光干涉不同，因为没有光疏-光密界面的反射，因此不存在半波损失，这里的 .

根据反射光干涉的条纹亮暗和光程差的对应关系可知，透射光干涉的条纹亮暗与反射光干涉条纹正好相反，这里所谓相反是指相同的角半径（或者说相同的）处出现亮暗相反的条纹.

5.2 楔形平板干涉

楔形平板干涉的非定域条纹

和平行平板类似，这自然也是分波前法的干涉，看下图即可.

图16 点光源照明的楔形平板干涉

楔形平板干涉的定域条纹

图17 扩展光源照明楔形平板产生定域条纹

对于这种的情况，自然就是分振幅法的干涉.

既然是定域条纹，就不得不提到定域面位置，如上图所示，当入射光线角度不同，定域面位置也不同：上述三图分别是定域面在平板的上方，内部，下方的情况.

分析光路图可知

楔角越小，定域面距离平板越远，特别地，当楔角为零时就化为平行平板的情况.
平板越薄，定域面距离平板越近.反之则越远，一般这种情况下都会选择上图中间图的情况，即垂直入射，这样会便于观察.

这里再叙述一下定域深度的概念.
在实际的干涉实验装置当中，扩展光源是有限大的，即使不为零也可以一定程度上的产生所谓的定域条纹.这样，条纹就不只在定域面内，而是在定域面附近的区域内也能看到条纹，这个区域的深度称为定域深度.

下面进行更具体的分析

图18 楔形平板干涉

由图可知，这束光形成的两束光的光程差

这里的几何关系相较平行平板就复杂多了，考虑到实际情况的干涉系统中，平板的厚度很小，且楔角很小，因此光程差近似地用平行平板的光程差公式代替，即 $Delta=2nhcos heta_2+frac{lambda}{2}.$ 其中就是点处的厚度.

对于条纹的情况结合具体的实验装置进行说明.

图19 等厚条纹观察实验装置

对于这种实验装置（如上图，平行光垂直入射），在这种情况下，始终有，则具体地有

当 $Delta=2nh+frac{lambda}{2}=mlambda$ 时出现亮条纹
当 $Delta=2nh+frac{lambda}{2}=Big(m+frac{1}{2}Big)lambda$ 时出现暗条纹

这意味著干涉条纹与厚度对应，即每个相同的厚度对应同一种条纹，因此称这种条纹为 .

另一方面，关于条纹的形状，这和平板的情况有关，更广义地说，平板未必是要标准的楔形，其底面（上图平板的下表面）甚至可以使任何奇怪的形状，这样，条纹的形状由底面的形状决定，下面先宏观地分析规律，再说具体的例子.

根据亮（或暗）条纹的公式可知，由一个条纹过渡到另一个条纹（亮-亮或暗-暗），厚度变化 $Delta h=frac{lambda}{2n}$ ，光程差变化为，由此关系可推知，若条纹间距为（也是亮纹到亮纹的间距或暗纹到暗纹的间距，并非条纹宽度），那么平板的楔角为 $color{red}{alpha=frac{lambda}{2ne}}.$

对于更一般的情形有如下结论：

图20 各种等厚条纹

条纹表示的是底面的等高线.四个底面分别是楔面，柱面，球面和不规则平面.

最后，值得一提的是，这个实验的理想光源是点光源，如果使用扩展光源，则会有各种方向的平行光照射到平板上，导致条纹可见度降低，一般情况下会使用光阑来限制光源的大小以保证条纹的清晰度.

6. 典型的双光束干涉系统

如果工程研究不是为了应用，那将毫无意义.

6.1 斐索干涉仪

激光平面干涉仪

图21 激光平面干涉仪

He-Ne激光器作为光源，发出的光经过扩束，再通过分光板反射到上进行准直，从而形成平行光，然后经过标准平晶 （其上表面做成斜面，可使反射光不进入观察系统），最后照射在待测件 上.

这时观察的是平晶的下表面反射的光与待测件上表面反射的光发生干涉.

关于「这么多反射面究竟观察的是哪两个面的反射光发生干涉」这个问题，有一个很有效的判据就是光强，这和反射率/透射率有关，比如上述装置，各光学零件的透射率都很高，反射率都很低，因此待测件的下表面反射的光强不值一提.

然后两束反射光再照射回来，最后通过观察系统 .

是标准平晶，显然这是在测量上表面的平面度.
如果把撤掉，那么就是的上下表面的反射光发生干涉，这就是在测量上下表面的平行度.

那么可能观察到的条纹如下

图22 平面度误差引起条纹弯曲

理想情况下，平行光垂直照射，两平面完全平行，则光程差恒定，观察不到光强的变化.

实际上这是不可能的.一般认为平行光垂直照射，但两平面不可能绝对的平行，按照等厚条纹来分析.

例如上图a)，设条纹弯曲的矢高为，条纹间距为，由前述分析，相邻条纹的光程差为 $frac{lambda}{2}.$ 综上，造成这个条纹弯曲的，平板这两处的高度差为 $h=frac{H}{e}frac{lambda}{2}.$ （实际上是 $h=frac{H}{e}frac{lambda}{2n}$ ，但近似认为空气中）而b)图也是一样.

应注意，这个高度差就是指所谓的两侧对应平板的位置的高度差.

激光球面干涉仪

将上述的平晶替换为下面的球面样板即是球面干涉仪，它用来测量球面零件.

图23 激光球面干涉仪示意

当待测件与标准样板的半径有误差时即可观察到圆形等厚条纹.

两表面的曲率之差为 $Delta k=frac{1}{R_1}-frac{1}{R_2}.$ 根据几何关系可知 $h=frac{D^2}{8}Delta k.$ 其中表示空气夹层的最大厚度，表示待测件的口径.

如果在的范围内看到了个圆环条纹，那么根据 $h=Ncdotfrac{lambda}{2}$ 则可得到 $N=frac{D^2}{4lambda}Delta k.$ 这样就得到了曲率误差和条纹数的关系，从而进行计算.

6.2 牛顿环

关于球面的测量，还有一个重要的项目就是测量透镜的曲率半径.可用如下手段来测量：

图24 经典牛顿环实验

这个装置是一个平凸透镜贴在一个平面玻璃上，它们之间的间隙为空气夹层，用单色光垂直照明，在空气夹层上会形成一组以接触点为中心的中央疏、边缘密的圆环条纹（等厚条纹），这就是牛顿环.这是经典形式，上述的激光球面干涉仪产生的条纹也算是牛顿环.

显然有 $color{brown}{r^2}=R^2-(R-h)^2color{brown}{=2Rh-h^2}$

其中是透镜的曲率半径，是第个牛顿环的半径，是当前的对应的空气夹层的厚度

而，那么对于上式近似忽略项，则得到 $h=frac{r^2}{2R}.$

观察反射光条纹：

将其代入等厚条纹中第个暗环满足的光程差条件，则得到 $2h+frac{lambda}{2}=Big(N+frac{1}{2}Big)lambda$ ，即 $h=Ncdotfrac{lambda}{2}$ ，代入h后进一步整理得到 $R=frac{r^2}{Nlambda}.$

这样就可以根据暗环数算出半径.

另外值得一提的是，当时，即牛顿环的中心，此处两反射光的光程差 $Delta=frac{lambda}{2}$ （半波损失造成），所以是暗点.

而如果对于透射光的条纹，与反射光的正好相反，中心是亮点.

如果说最后还要指出些什么，那就是：

牛顿环的半径和单色光的波长、透镜的曲率半径都是正相关的关系，即波长越长，则牛顿环半径越大；
透镜曲率半径越大，则牛顿环半径越大，如下图所示.

图25 反射光牛顿环随波长变化，图片来自维基百科

图26 反射光牛顿环随试件半径变化，图片来自维基百科

6.3 迈克耳逊干涉仪

这是最典型的双光束干涉仪.

图27 迈克耳逊干涉仪

如上图所示，

是两个平面反射镜，其中固定在基座上，而则可以进行精密的移动.
是两块相同（厚度、折射率）的平板，相对于呈角放置.在的分光面上涂半反半透膜（使透射光和反射光的光强相同），是补偿板，主要用于白光照明时补偿各色光的光程差（因为Ⅰ、Ⅱ两束光进入平板的次数不同，需要补偿版找齐），它对於单色光照明则不是必要的.
光线从发出，经过分光面，一半反射到上（Ⅰ光线），另一半透射过去经过板，照射到上（Ⅱ光线）.反射回来的光再经过分光面，二者分别经过反射和投射最后通过透镜照射到干涉场，会聚于点发生干涉.

这样，干涉仪的就相当于空气平板，只要调节就可以改变这个空气平板的厚度和楔角.

若是平行空气平板，则看到的是等倾条纹，若有楔角，则看到等厚条纹.

的关系（上图），与对应的条纹具体形式（下图）如下两图所示：

图28 平板关系

图29 不同平板关系所对应的图像

其中(a)~(e)为等倾条纹，(f)~(j)为等厚条纹

在等倾条纹的情况下，空气平板越薄则条纹越稀疏，条纹越粗.直到(c)图，两等效平板重合，即空气平板厚度为零，则条纹消失，呈现暗场.（一般来说这是由于在分光面发生反射而存在半波损失决定的，而如果有镀层，则相位变化并不为，但依然呈现暗场）
在等厚条纹的情况下，条纹会向平板薄的方向弯曲，这是因为，在使用扩展光源的情况下，若平板较厚，则平板的厚度和入射角都会影响条纹的形状，综合作用下产生的弯曲.另一方面，对于(f)、(j)图，则是因为平板太厚，是的光源宽度超过极限值，导致条纹可见度过小造成的.

具体来说，如果观察到的是等厚条纹，在缩小空气平板厚度的时候，则条纹向平板厚的方向移动.

而如果观察到的是等倾条纹，在缩小空气平板厚度时，则可精确计算：每移动一（整）个条纹，移动的距离是 $frac{lambda}{2}$ （单色光照明的情况），那么 $Delta h=Ncdotfrac{lambda}{2}.$

其中是移动的距离，是冒出或缩进的条纹数目，是照明的单色光波长.

这就建立起了移动距离和条纹数目之间的关系，可以用于位移的测量.

7. 典型的多光束干涉系统

和双光束干涉相比，多光束干涉的条纹更加明锐，更适用于高精度的监测工作.

7.1 平行平板的多光束干涉

图30 多光束干涉

和双光束干涉的情形一样，也有反射光干涉和透射光干涉.

根据前述讨论可知，透射光的相邻两光束的光程差 ，那么相位差就是 $color{red}{delta}=kDeltacolor{red}{=frac{4pi}{lambda}nhcos heta}.$

设光束从周围介质入射到平行平板的反射系数和透射系数分别为
设光束从平行平板入射到周围介质的反射系数和透射系数分别为
设入射光的振幅为 $A^{(i)}$ ，光强为 $I^{(i)}.$

那么透射光的复振幅依次为
$ilde A_1^{(t)}=tt』A^{(i)}$ ， $ilde A_2^{(t)}=tt』r』^2e^{idelta}A^{(i)}$ ， $ilde A_3^{(t)}=tt』r』^4e^{i2delta}A^{(i)}$ ， $ilde A_n^{(t)}=tt』r』^{2(n-1)}e^{i(n-1)delta}A^{(i)}.$

整体上 $ilde A^{(t)}=sum_{k=1}^infty ilde A_k^{(t)}=frac{tt』}{1-r』^2e^{idelta}}A^{(i)}.$

再根据透射系数、反射系数与透射比、反射比之间的关系：， $color{red}{tt』}=1-r^2=1- hocolor{red}{= au}.$

得到透射光在的强度 $I^{(t)}= ilde A^{(t)}cdot ilde A^{(t)*}=frac{ au^2}{(1- ho)^2+4 hosin^2frac{delta}{2}}I^{(i)}$

再代入，并令 $F=frac{4 ho}{(1- ho)^2}$ ，称它为精细度系数，则上式化为
$I^{(t)}=frac{(1- ho)^2}{(1- ho)^2+4 hosin^2frac{delta}{2}}I^{(i)}=frac{1}{1+Fsin^2frac{delta}{2}}I^{(i)}.$ 同理反射光的干涉场上点的光强 $I^{(r)}=frac{Fsin^2frac{delta}{2}}{1+Fsin^2frac{delta}{2}}I^{(i)}.$

综上可得， $I^{(r)}+I^{(t)}= I^{(i)}.$ 和双光束干涉的情况相同，反射光和透射光的干涉条纹互补.

而至于条纹的性质，根据上述光强表达式即可得出如下结论：

对于透射光，当时出现亮条纹， $I_M^{(t)}=I^{(i)}$ ；
当时出现暗条纹， $I_m^{(t)}=frac{1}{1+F}I^{(i)}.$
对于反射光，当时出现亮条纹， $I_M^{(r)}=frac{F}{1+F}I^{(i)}$ ；
当时出现暗条纹， $I_m^{(r)}=0.$

这显然和双光束干涉的情况是相同的，因此条纹位置和双光束的情形也是相同的.

下面来具体分析反射/透射光干涉条纹的优劣.

图31 不同反射率下多光束干涉强度分布

上图是透射光的情况，其中表示反射率.

当反射率很小时，多光束干涉和双光束干涉区别不大，而当反射率很大甚至趋近于时就不一样了.由上图可看出，当反射率充分大时，条纹相当于在一篇黑暗中有一组很细很亮的条纹，根据投射、反射条纹互补可知，反射光的干涉条纹就是一篇光亮中有很细的暗条纹.显然前者更容易看清楚，这是多光束干涉的最显著、最重要的特点.

因此在实际应用中一般采用透射光的干涉条纹.

这个特点已经不是条纹可见度所能描述的了，需要引入「锐度」和「精细度」这两个概念来衡量.

锐度就是指（亮）条纹的相位半宽度，就是两个半强度点对应的相位差的范围，如下图所示.

图32 条纹半宽度

显然，对于这个级条纹，其左右两个半强度点的相位差分别是 $delta_1=2mpi-frac{Deltadelta}{2}$ 和 $delta_2=2mpi+frac{Deltadelta}{2}.$ 将其代入透射光条纹的光强表达式得到 $frac{1}{1+Fsin^2frac{Deltadelta}{4}}=frac{1}{2}.$

利用小角度近似 $sinfrac{Deltadelta}{4}approxfrac{Deltadelta}{4}$ 即可解得 $color{red}{Deltadelta=frac{4}{sqrt F}=frac{2(1- ho)}{sqrt ho}}.$

而精细度则是指相邻条纹相位差与条纹锐度之比，记作，即 $color{red}{s=frac{2pi}{Deltadelta}=frac{pisqrt F}{2}=frac{pisqrt ho}{1- ho}}.$

可见，越大，则锐度越小，精细度越大，说明条纹越细锐，当时，条纹有相当高的精细度，这在精密测量中非常有用.

7.2 法布里-珀罗干涉仪

利用多光束干涉原理最重要的仪器就是法布里-珀罗干涉仪，也记作F-P干涉仪.如下图所示.

图33 F-P干涉仪

是两块玻璃或石英板，内表面镀一层高反膜（使反射率很高），且内壁保持平行，且两板做成楔板，避免外壁反射光的干扰.

F-P干涉仪有两种形式：
一种称为F-P干涉仪，两板中有一块固定，而另一块可以移动，从而改变间距，但在移动的过程中难以保持内壁的平行另一种称为F-P标准具，两板间加上一个平行隔圈，一般由铟钢制成，膨胀系数很小，这样就保证了两板间距固定，且严格平行.

原理

如上图所示，干涉仪用扩展光源照明，用透镜将相同方向的光进行整理，其中一束光的具体光路图上图已经作出.本质上，多光束干涉和双光束干涉是相同的，只是多光束干涉多了在平板内多次反射的光，它们只影响条纹明暗的渐变速度，而不影响条纹位置，因此在干涉场上产生的也是同心圆环条纹，进而其角半径和角间距依然可以用双光束干涉时导出的公式计算.

另外，当两板内表面镀金属膜时，还须考虑光在金属表面反射时产生的相位变化（记为），以及金属的吸收比，那么之前的公式就化为 $frac{I^{(t)}}{I^{(i)}}=Big(1-frac{alpha}{1- ho}Big)^2frac{1}{1+Fsin^2frac{delta}{2}}$ ，并且，两相邻光束的相位差 $delta=frac{4pi}{lambda}hcos heta+2varphi.$

当然还要修正的是

对于条纹的现象有所改变的就是，由于吸收的存在，条纹的光强会有所降低.

测量波长差

由于多光束干涉条纹的细锐性，其分辨能力是相当高的，可以用来区分并测量波长差非常小的两条光谱线.（F-P标准具）

具体来说，设扩展光源含有两条谱线，和，那么在干涉场上就形成两组条纹，如下图所示：

图34 两组条纹

其中实线对应的条纹，虚线对应的条纹（注：亮条纹）.

考察靠近条纹中心的条纹（认为），那么两个波长的干涉级的差 $color{red}{Delta m}=m_1-m_2=Big(frac{2h}{lambda_1}+frac{varphi}{pi}Big)-Big(frac{2h}{lambda_2}+frac{varphi}{pi}Big)color{red}{=frac{2h(lambda_2-lambda_1)}{lambda_1lambda_2}}$

如图，记为两组条纹间的位移，为同组条纹的间距，则有 $Delta m=frac{Delta e}{e}.$

综上， $color{red}{Deltalambda}=lambda_2-lambda_1=color{red}{Big(frac{Delta e}{e}Big)frac{arlambda^2}{2h}}.$

其中是和的平均波长，可先粗略测出；是标准具间隔.这样，只要测出和就能计算出
应注意，不同级的条纹间并不是等间距分布的，因此上式是近似式（来源于的表达式）.

注意事项——自由光谱范围、分辨本领

根据上述讨论不难发现，当时， $Deltalambda=frac{arlambda^2}{2h}.$ 这意味著两组条纹（错级）重叠，这种情况下只能看到一组条纹.而如果继续增大，可能观察到的条纹分布与上图相同.

在这些情况下通过观察条纹是无法判断是否越级的！

那么就要对进行规定，把 $frac{Delta e}{e}=1$ 时对应的作为标准具所能测量的最大波长差，称之为标准具常数或自由光谱范围，记作 $(Deltalambda)_{(S,R)}=frac{arlambda^2}{2h}.$ （一般的标准具的都比较大，因此自由光谱范围比较小）

明确了最大波长差，还要研究最小波长差，记它为，称之为标准具的分辨极限.

关于光谱仪的分辨判断，常用的是瑞利判据，在这里我们这样描述它：

两个波长的亮条纹只有当它们的合强度曲线中央的极小值小于等于两边极大值的时才能被区分.下图很好地说明了这一点.

图35 两波长条纹恰能被分辨

如果忽略标准具对光的吸收，那么对于两光波形成条纹的合强度就是 $I=frac{I^{(i)}}{1+Fsin^2frac{delta_1}{2}}+frac{I^{(i)}}{1+Fsin^2frac{delta_2}{2}}.$

其中两点分别是两种波长的光在干涉场上同一点处的条纹所对应的相邻两光线的相位差.

令，

在点处，
在点处， $delta_1=2mpi+frac{varepsilon}{2}，delta_2=2mpi-frac{varepsilon}{2}.$

将它们代入合强度表达式，再根据就求得 $color{red}{varepsilon}=frac{4.15}{sqrt F}color{red}{=frac{2.07pi}{s}}.$

这是最小的「相邻两光束相位差」的差值.

另一方面，根据前述两相邻光线的相位差 $delta=frac{4pi}{lambda}hcos heta+2varphi$ ，当 $2varphillfrac{4pi}{lambda}hcos heta$ 时可以忽略（因为一般都会很大），则满足 $|Deltadelta|=frac{4pi}{lambda}hcos hetacdotfrac{Deltalambda}{lambda}=2mpifrac{Deltalambda}{lambda}.$

然后定义标准具的分辨本领 $color{red}{A=frac{lambda}{(Deltalambda)_m}}.$

综上所述， $color{red}A=frac{lambda}{(Deltalambda)_m}=2mpifrac{s}{2.07pi}color{red}{=0.97cdot mcdot s}.$

这说明分辨本领正比于干涉级和精细度 .

8. 光学薄膜

通过上述的所有讨论不难发现，对于分振幅法的干涉，其条纹的效果和分界面的反射率/透射率密切相关.而在光学元件表面镀膜的一个重要用途就是改变零件的反射率/透射率.作为文章的末尾，将基于多光束干涉的结论对这些进行讨论.

理论基础

设想有一折射率为的玻璃平板，上面镀一层折射率为的薄膜，周围介质折射率为另外，表示的是相应分界面的复振幅反射系数和复振幅透射系数，如下图所示.

图36 单层介质膜的反射和投射

根据多光束干涉的结论，薄膜上反射光和透射光的复振幅分别为

$egin{cases}A^{(r)}=frac{r_1+r_2e^{idelta}}{1+r_1r_2e^{idelta}}A^{(i)}\[2ex]A^{(t)}=frac{t_1t_2}{1+r_1r_2e^{idelta}}A^{(i)}end{cases}$

相邻两束光的相位差 $delta=frac{4pi}{lambda}nhcos heta.$

那么薄膜的复振幅反射系数和复振幅投射系数分别为

$egin{cases}r=frac{r_1+r_2e^{idelta}}{1+r_1r_2e^{idelta}}\[2ex]t=frac{t_1t_2}{1+r_1r_2e^{idelta}}end{cases}$

若忽略薄膜对光的吸收，薄膜的反射比和透射比分别为

$egin{cases} ho=|r|^2=frac{r_1^2+r_2^2+2r_1r_2cosdelta}{1+r_1^2r_2^2+2r_1r_2cosdelta}\[2ex] au=frac{n_Gcos heta_G}{n_0cos heta_0}|t|^2color{brown}{=frac{n_Gcos heta_G}{n_0cos heta_0}cdotfrac{t_1^2t_2^2}{1+r_2^2r_2^2+2r_1r_2cosdelta}}end{cases}$

特别地，对于正入射的情况有 $r_1=frac{n_0-n}{n_0+n}$ 以及 $r_2=frac{n-n_G}{n+n_G}.$

那么此时的反射比化为 $ho=frac{(n_0-n_G)^2cos^2frac{delta}{2}+Big(frac{n_0n_G}{n}-nBig)^2sin^2frac{delta}{2}}{(n_0+n_G)^2cos^2frac{delta}{2}+Big(frac{n_0n_G}{n}+nBig)^2sin^2frac{delta}{2}}$

上式说明，膜的反射比是和的函数，进而也是和的函数.

对于确定的，波长确定的情况下，不同折射率的膜的反射比随的变化如下图所示.

图37 介质膜反射比

下面就基于上述的的表达式和上图的曲线，对单层膜具体情形进行讨论.

8.1 增透膜

由上图可知，只要膜的折射率小于玻璃基板的折射率，即时，镀膜后的反射比就小于只有玻璃基板时的反射比，也就是说这层膜起到了增加透射率的作用，且当 $nh=frac{lambda_0}{4}$ （即相邻两光束的相位差时）增透效果最好.

此时 $ho_{lambda_0}=frac{Big(frac{n_0n_G}{n}-nBig)^2}{Big(frac{n_0n_G}{n}+nBig)^2}=Big(frac{n_0-frac{n^2}{n_G}}{n_0+frac{n^2}{n_G}}Big)^2.$

那么当 $color{red}{n=sqrt{n_0n_G}}$ 时膜系（薄膜和玻璃基板共同组成的系统）的反射比为零.

当然这仅限于波长的单色光

下图展示了在的玻璃基板上镀一层氟化镁的情况下，不同入射角时的反射比随波长的变化.

图38 不同入射角下反射比随波长变化

这说明当入射角增大时反射比上升，同时反射比的极小值会向短波长的方向移动.

另一方面，当光束斜入射时，稍微改写一下菲涅耳公式得到波和波的反射系数：

$largeegin{cases}r_s=frac{n_2cos heta_2-n_1cos heta_1}{n_2cos heta_2+n_1cos heta_1}\[2ex]r_p=frac{frac{n_2}{cos heta_2}-frac{n_1}{cos heta_1}}{frac{n_2}{cos heta_2}+frac{n_1}{cos heta_1}}end{cases}$