量子位的定義

量子信息，包括量子計算，量子通訊，量子密碼學等，現在已經成了一個龐大和熱門的學術領域。我從上世紀九十年代初接觸量子信息，但一直對其理論基礎心存疑惑。本文將討論量子信息理論中最基本的一個概念，量子位。

量子位（qubit, quantum bit）是量子信息的基本單位，它對應於經典資訊理論中的基本信息單位——位（bit）。經典的位概念是指任何一個二態體系（元件），只能取值其中一個狀態，一般標記為0，1。一個經典位只能是0或者1。而量子位同樣取一個體系(元件)的兩個狀態，但其狀態可以是兩個狀態的任意線性相干疊加態：

這裡

是量子位，0和1是兩個狀態的純態，?和?是兩個複數，分別表示量子位處於0態和1態的幾率幅，需保證歸一：

由於?和?之間還可以有一個任意的相位差，因此一個量子位需要兩個任意?的實數來表達（布洛赫球表示）：

所以一個量子位有無窮多個狀態。

量子位的布洛赫球(Bloch Sphere)表示

注意這裡的「線性」「相干」「疊加」幾個關鍵詞，一個詞都不能少。「線性」表示兩個狀態是平等的，在量子位中的重要性（比例）由前面的係數決定；「相干」表示兩個係數之間有固定的相位差，「疊加」表示兩個組分的簡單相加。

這就是量子信息中的量子位概念。量子信息相關研究中，只有量子位的概念，而不區別該概念的數學屬性和物理屬性。從來沒有人討論過數學量子位和物理量子位的區別，或者說，認為這兩個概念是一致的。

量子位的信息量

在經典計算中，一個物理的經典位和一個數學的經典位，概念上是一致的，這是現代信息科學的基本假定。該一致性由技術保證。經典數據可以在物理上可靠實現，操作可以正確完成。但一個數學的量子位沒有物理對應，物理上無法實現。基於數學量子位定義的所有推論都是數學推導，跟物理實現無關。

量子信息領域定義的「量子位」，只是一個數學的定義，不是物理的定義。根據該定義，一個量子位具有無窮大的信息量。

我們先來看看經典位和量子位的具體形式：我們知道，在現代信息技術中，一個經典位(bit)，需要很多個原子（一個穩定的宏觀狀態，磁碟和內存需要上百萬的原子，自然存儲效率最高的DNA需要幾十個原子）才能保證比較可靠地表達一個最小信息量的信息。而一個量子位，可以用一個原子甚至一個電子或者一個光子表達一個信息量無窮的信息。這一點也常被解讀為量子信息具有巨大優勢的原因。

難道這裡沒有問題嗎？

當然有。我們先看一個物理的量子位是什麼樣的。

一個物理的量子位，比如一個電子的自旋，或者一個原子的基態與激發態的疊加，我們假定它的確處於某一狀態（無窮可能性中的一個）。一個經典位，處於兩個狀態中的一個，每次必須保證正確讀出，這個位表達的信息才有意義。但一個單獨的量子位，它的信息是絕對無法讀出的。你可以讀出一個數，但是無法知道這個數是不是該量子位的值。所以，一個單獨的量子位，根據其數學定義，存儲的信息量無窮大（兩個實數?和?），但能提供的信息是0，也就是根本沒有信息。讀出操作本身，在讀出信息之前，就將毀掉量子位存儲的信息，如果以前有的話。

所以，一個數學的量子位信息量無窮大，但一個物理的量子位信息量為0。

物理量子位無法讀寫

一個任意的量子位，既無法讀，也無法寫。

計算，就是信息處理。信息首先要進入計算設備，也就是必須寫進去。首先量子位無法寫進去相位信息，幾率幅係數也寫不準。

為什麼呢？我們可以看一看，量子位波函數是怎麼得到的。為了得到量子位的波函數，我們必須解量子位的薛定諤方程。薛定諤方程是一個波動方程，或者說是一個微分方程。對於薛定諤方程，影響其解的因素有勢函數，邊條件。其實，對於一般的微分方程，還需要一個初條件，但傳統的量子力學計算中，對薛定諤方程的解是求解一個局域勢函數下的本徵態，而不考慮量子的初始狀態。解出來的波函數是一些通解，與量子的初始條件無關。但是本徵態的線性疊加仍然滿足薛定諤方程，也就是，滿足邊界條件的解有無窮多個。

那麼如何才能將一個量子位製備為特定的狀態呢？顯然，薛定諤方程不能提供解決方案。也就是，不能通過設置一個特定的勢場（這是宏觀上唯一能做的操作），讓量子位處於某個值。那麼，究竟是什麼原理讓量子位處在什麼狀態呢？這套理論叫做量子統計，也就是關於量子的熱力學。量子統計討論量子在各種可能狀態的分布。對於量子計算應用，熱力學有一個討厭的性質，就是量子的狀態不固定，隨時在變化。變化的幅度和快慢與溫度有關。一個熱平衡的體系是沒有信息的，因為熵已經最大，而信息是負熵。因此只能靠一個外來的能量或負熵源為系統帶來一個偏離熱平衡的狀態，比如對於一個基態-激發態量子位，可以用一個激光脈衝將基態激發到激發態。但是這裡有一個問題，對於很多個量子位，激光能夠造成一定的偏離熱平衡的布居分布，但對於每個特定的量子位，無法知道它究竟處於哪個特定的狀態，也就是無法知道量子位的線性係數?和?。

如果有溫度，情況更複雜。因為環境的輻射會引起漲落。

如果沒有溫度，也就是處在絕對0度，好像可以不考慮輻射漲落的影響，但是根據量子場論，不存在空無一物的真空。所以，永遠都存在環境引起的漲落。

也許有人會說，那只是誤差，誤差是可以控制的。在經典條件下，這句話在一定程度上是對的，但在量子條件下，這種誤差，或者說不確定性，是本質的，不可能消除。也可以說，消除的代價是回到經典，因為可以忽略量子效應。當然，這樣的話，信息就回歸經典了，量子信息就不存在了。

量子位如果被製備為某一本徵態，可能比較準確，並能維持較長時間，雖然這種維持可能來自於測量效應，而不是態本身的穩定性。但是，通用計算需要量子位在任意疊加態都維持一定的穩定性，否則該值不可信，計算也就不可信。

傳統上，我們求解量子力學問題，會求體系哈密頓量的本徵值，並認為體系會自然處於基態。也就是說，自然地製備了一個處於能量基態的量子（體系）。同樣，這只是一個數學結果。這一結論要求如下假設：

  1. 哈密頓量完整，也就是不存在其它剩餘相互作用。
  2. 體系處於絕對溫度為零K的環境中。

做過原子分子能級計算的研究者們知道，即使對於一個簡單的原子體系（比如僅有兩個電子的氦原子），哈密頓量寫完整也是一個不可能完成的任務。不可能從第一性基本原理出發，寫出一個完整的非相對論哈密頓量，如果我們承認場論的基本原則。

也就是說，原則上不可能製備任何一個確定的量子態。

那麼，能不能製備一個比較可信的量子態呢？由量子統計的原則，只要能隙足夠寬，溫度足夠低，量子能夠可信地處於能量基態。當然這裡還要求不存在基態與其它能級之間的高階相互作用。

製備一個能級基態的要求都那麼苛刻，那麼任何一個包含能量激發態的量子態純態當然就成了一個不可能完成的任務。

作為一個特例，我們討論一下原子的長壽命能級問題，或亞穩態問題。特殊條件下，有些原子的能級具有很長的壽命，可以達到幾千秒。那麼是不是可以說，如果我們把這樣一個原子激發到該亞穩態，就可以可信地認為它處於該激發態呢？我們看一下這類實驗的過程：在一個離子阱或原子阱中，將一群離子或原子冷卻到絕對零度附近，再用一束激光激發捕獲的原子（離子）到亞穩態，然後可以得到單色性非常好的激光脈衝。要注意，在這一過程中，電子並不是停留在激發態上，而是不停地來回躍遷，所以這一過程並沒有製備一些處於亞穩態的原子，而是電子在不停振蕩的原子，無法知道任意時刻，任意原子上電子的狀態。

以上的討論有一個前提，就是量子位的兩個狀態之間存在能量差。如果不存在呢？比如光子的不同偏振狀態。這時沒有討厭的量子統計原則，兩個偏振狀態也幾乎沒有相關性。光子的確是最好操作的量子位，如果偏振態容易精確製備的話。衡量偏振態單向性有一個指標，叫做偏振消光比（Polarization Extinction Ratio， PER），或簡稱消光比，即兩個偏振分量強度的比值，通常只有幾百分之一，雖然好於大多數別的量子位方案，但是離實用計算的要求差得遠。光子作為量子位，應用中還有很多別的問題，比如光子與物質的相互作用，單光子的探測等。

物理量子位的其它性質

  • 量子位不可拷貝（不可克隆定理），不可廣播。
  • 量子位不可刪除（清0）。
  • 一個量子位或者量子位元組（量子寄存器），載入（encoding）的信息越多，信息越不可靠。
  • 利用疊加性的自然並行計算，並行度越高，計算越不可靠。
  • 現有的量子信息理論認為，通過量子糾錯，原則上可以存儲量子信息。我認為這裡要遵守玻爾的互補原理，信息保存得越可信，體系越經典。量子信息可以可信地存儲，但是它將喪失它的量子屬性。
  • 舒爾演算法（大數分解演算法）需要無限精確的量子位。要對現有傳統加密演算法構成威脅，需要精度上千位十進位數的量子位和操作。

補充：

如果量子位可讀可寫，那麼就可以拷貝（克隆），但是量子不可以克隆（定理）。

如果量子雖然不可讀，但是可以寫，那就可以廣播。

如果量子可以讀，隱含假定是測量不引起坍縮。因為如果只能讀一次，你無法知道讀得對不對，如果每次讀的都是一致的，說明測量沒有影響量子，違反了量子力學的測量理論。


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