換句話說請問下為什麼 dx =Δx ，並未從書中找到相關的定義，也未從書中找到 dx 和 Δx 是同階無窮小的證明。

謝邀。

你這個問題，完全套用書上的定義就可以完美解答了。

根據微分的定義，若存在常數 [公式] 和高階無窮小 [公式] ，使得函數 [公式] 在 [公式] 處滿足等式 [公式] 。（這個等式不妨稱之為「微分定義式」）則記 [公式] ，稱 [公式] 是 [公式] 在 [公式] 處的微分。

①證明 [公式]

由上可知 [公式]

即 [公式]

所以 [公式]

若 [公式] 在區間 [公式] 內任意點都存在微分，則上式中的常量 [公式] 可以換成變數 [公式]

②證明 [公式]

注意，微分定義中的變數 [公式] ，既可以是自變數，也可以是參變數。例如 [公式]

那麼請問，能否對自變數 [公式] 本身求微分呢？當然可以！

若函數為 [公式] ，那麼微分定義式有如下變形：

左邊 [公式]

右邊 [公式]

左邊=右邊，即 [公式] ，所以 [公式] 。注意到 [公式] 是常數 [公式]

將 [公式] 代回微分定義式，則 [公式]

所以 [公式]

據①②所述，將 [公式] 和 [公式] 代入，得 [公式]

也就是說， [公式]

畫草圖理解 [公式] 的幾何意義，對於直線 [公式] ，必然 [公式]

△y=△x=dy=dx

這裡的問題所在是，之前根本就沒有嚴格定義 Δx 是什麼!所以帶來了很多令人費解的東西!

這是一個錯誤的定義!

首先， [公式] 應該換成一個與 [公式] 無關的數，例如 [公式] ，而且應該先對映射 [公式] 定義它在 [公式] 處的微分為一個新的映射 [公式]

[公式]

如果我們想隱去 [公式] ,那麼為了表達 [公式] 這個數乘映射,我們引進恆同映射 [公式] ,定義為

[公式] , 於是 [公式] 就可以表達為 [公式]

現在就可以記

[公式]

然後再對變數 [公式] 定義微分,分別把 [公式] 看成兩個函數

[公式]

[公式]

[公式]

[公式] 其實是 [公式] 這個恆同映射,且

[公式]

樓上說得都好高端……

我的理解是這樣的： [公式] 表示變化量。 [公式] 是表示 [公式] 的無窮小記號.

若滿足連續條件，則有： [公式] ，說明在連續條件下，給定 [公式] 必然會有 [公式]

若滿足可導條件，則有： [公式] ，說明 [公式] 和 [公式] 是同階無窮小量。

微分及導數的定義是： [公式]

高等數學裡對於同階無窮小有這樣的定理： [公式]

取這裡的 [公式] ，則與微分的定義不謀而合。

所以我對於 [公式] 的理解就是

微分近似（線性近似） [公式] 的無窮小形式而已。

dⅹ和Δⅹ並不嚴格相等，dⅹ是當且僅當Δⅹ→0時的Δⅹ。況且此時的dx是作為變數處理的，否則就陷入貝克萊悖論了。至於dy＝f′(ⅹ)dⅹ，是因為在牛頓萊布尼茨微積分體系下dy/dⅹ＝f′(ⅹ)有著理論上的模糊錯誤，為了修正，只好從定義dy下手了。不過這玩意兒還真有作用，可以更透徹的理解無窮小，並發展了微分學。

易證自變數的微分等於delta x

另外引入這個記號的目的是為了描述當x不是自變數而是中間變數時一階微分形式的不變性

還是老話，先問是不是，再問為什麼。。。

首先

[公式]

其次

[公式]

這兩個等式都是不成立的，所以問題有待改進。。。

PS、很想親手修改一下問題，發現無從改起。。。根本不知道題主想問什麼。。。

外行來看，就是

d=delta=Δ

按照微分定義dx=xΔx=Δx

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