極限題，為什麼這個arctanx不能等價無窮小變成x去解題？
救救孩子吧，這是數學還是玄學呀，為什麼第一個方法不對呀
多展開幾項試試唄：
解1：洛必達法則
解2：Taylor公式
解3：拆分變形+等價無窮小
水平有限，如有錯誤，還請指出！
又是這個老生常談的問題：
加減法時不要用無窮小替換
上題的原因很簡單：
考慮分子的泰勒展開：
所以：
再深入分析如果對 ![[公式]]()
進行等價無窮小替換
由於分母是 ，所以大於（不包含等於）3次的項可以忽略。
但如果直接使用 則相當於忽略它的三次項，因此結果錯誤!!!!
https://zhuanlan.zhihu.com/p/44083023?zhuanlan.zhihu.com
這篇文章挺不錯的，當初我也有這樣的疑問，看了這篇文章後豁然開朗
等價無窮小隻能在乘除時候用，不能在加減時候用。
經典例題（sinx-tanx）/x3 (x→0)，如果直接等價無窮小代換，就會得到極限是0這樣顯然荒謬的答案。
精度缺失，你把分子泰勒展開就能看到你丟掉了哪一階了。 一般情況下只對因子等價無窮小是不會出錯的，而對加減法用等價無窮小是有條件的，有的老師會講，其原理仍然是泰勒公式。
可以把極限減法就是各個函數的泰勒公式火併，帶頭大哥互相抵消被幹掉了，還有二哥，二哥幹掉了還有三哥，以此類推，看餘下的項帶入互相比大小
等價的前提是，它沒有被直接加減一個（和它極限值相等的東西），而是要乘除的時候才能等價代換。
我隨便說一下，希望對你有啟發
(1+0.03)/(1+0.05) ≈ 1/1
(1-1+0.03)/(1-1+0.05) ≈ 0.03/0.05
高階無窮小能不能略去要看整體的值，舉個例子：大海加一瓢水，一瓢水可以被略掉；空瓶子加一瓢水，一瓢水不能被略掉。
問題中arctan(x)只是分子表達式的一部分，它能不能等價於x要看整個分子的值是「大海」還是「空瓶」，另外其實洛必達法則就是處理分子分母都是「空瓶」的情況，只不過光講理論知識，不夠形象罷了，書上求極限那一套規則，是完全可以把題做出來的。
等價無窮小的本質是泰勒級數，你這個代換才精確到x，但是展開的精度具體要看分母。
死記硬背，乘除才能等價，如果你夠熟悉，分子加個x，減個x，口算知道-1/6
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