這看似一個數學問題，實則是一個語言學問題。

討論「數」這個概念以前，我們不妨先看看另一個概念：game。

game不就是遊戲嗎？

英語的「game」這個詞還真不止是「遊戲」。舉幾個例子說明英語的「game」是什麼意思吧：英語中，從單人紙牌到橋牌錦標賽，從過家家到TRPG，從打磚塊到MMORPG，從跳房子到奧運會，統統可以用「game」一詞概括。

那麼，試試看給game下個簡單而嚴格的定義如何？

「包含競爭的活動」？但是華容道七巧板也是game，更不要說號稱「零玩家遊戲」的康威生命遊戲（Conways Game of Life）了。反之，考試也是包含競爭的活動，但除了赫敏·格蘭傑之外想必不會有人用game稱呼它吧。

「有具體而嚴格的勝利目標的活動」？換裝遊戲養女兒可沒有什麼「養出某種女兒算勝利」的說法。反之，數學證明也有具體而嚴格的勝利目標，不過大概也就只有少數人能夠稱之為game的樣子？

「為娛樂而進行的活動」？那職業運動員就要被排除在外了，也不符合game一詞的實際用法。反之，喝酒蹦迪也是娛樂，但是基本沒人會把這些稱為game。

真麻煩。那答案是什麼啊？

這個問題上，路德維希·維特根斯坦（Ludwig Wittgenstein）曾經說過這樣一句話：英語的「game」這個詞的所有外延——即「所有可以在英語中被稱為game的活動」——其實是找不到一個涵蓋全局又不過於寬泛的共同點用來下定義的。所以前面的問題的答案——至少以維特根斯坦的看法來說——是「做不到」。（以「多塊概念的並集」來給game做一個複雜的定義或許可以，但是似乎違背了我們「給簡單的詞下簡單的定義」的初衷。題主想必也不會想看到「這些，這些，還有這些，都是數」這樣碎成一塊塊的定義吧？）

但是，為什麼會變成這樣呢……

我先把剛剛寫小標題的白學家打死，然後又要說那四個字了：請循其本。

往事越千年，game構詞上是來自原始日耳曼語的*ga-「共同」和*mann「人」，其中*ga-和來自羅曼語族的前綴co-同源近義；由此可見game本義是「某種一堆人聚集起來做的活動」。這個詞其他的後裔中，古諾爾斯語gaman有「體育競技」和「娛樂」兩個意思，下至丹麥語gamen是「歡樂」，古高地德語gaman也是「體育」和「歡樂」；那麼大約*gamann就是聚眾競技娛樂的活動了。所以上面舉的例子中，最接近game本義的其實是奧運會，而非其他那些更像「遊戲」的。（冰島語gaman甚至由「歡樂」衍生出了「性交」的意思，嗚呼！）

後來，與聚眾整活、競技娛樂的game有大量共同點的其他活動逐漸也被game一詞納入語義。例如，雙陸棋backgammon的gammon其實就是*gamann的後裔；雙陸棋與體育競技活動顯然同有娛樂和競技的屬性。再如，14世紀game默認是指「圍獵」，也是戶外聚眾娛樂，連帶著圍獵的對象「野味」也可以稱為game了。而時至今日，電子遊戲大爆發之餘，也不要忘記最初的電子遊戲Pong依然延續了一部分「體育競技」的傳統。

由於這種基於「與已有成員的大量共同特徵」的詞義演化，雖然跨越所有game的單一共同屬性無處可尋，但兩種game之間還總是能找到一條兩兩之間有大量共同點的「鏈」。

「數」上的情況也類似。「數」的本義想必就是自然數，而自然數能加減，可乘除，有順序；有各種類似的性質的東西——尤其是由自然數接衍生出的東西——也就逐漸在應用中被叫做「數」了。時至今日，不同的「共同特徵連續體」的演化路徑上都冒出了各種叫作「數」的東西，十六元數和序數就彼此迥異，p進數（p-adic number，不是「p進位數」）和非標準實數也少有共通。至此，再想為「數」概括出一個嚴格的定義也並不是一件易事，甚至不一定是可以做到的事了，而且幾乎一定是沒什麼必要的事。

那我可以自己定義一個「數」的概念自己用嗎？

當然，也可以按照自己的方式給出一個「數」的定義。比如約翰·康威（John Conway，就上面「康威生命遊戲」的那個）用「一對包含『更大的數』和『更小的數』的集合」來定義「數」——具體規則就不細說了；他的這個定義巧妙地兼容了用於定義實數的戴德金分割和用於定義序數的超限歸納集合，將非標準實數也作為一個子域納入囊中。但是這定義仍然與包括複數在內的很多叫作「數」的東西無緣，所以依然不是「所有的數」；現在的數學界大多採取高德納（Donald Knuth）的命名將這麼定義的「數」稱為「超現實數（surreal number）」。高德納還專為介紹超現實數寫了本小書，可以買來看看。

最後再加一個有趣的事

超現實數的定義中有說一對集合分別包含「更大的數」和「更小的數」。而如果去掉這層大小限制，只要求一對集合分別包含「一些『東西』」和「另一些『東西』」，這樣定義出來的「東西」在博弈論（game theory）中又有個名字，叫「康威博弈（Conway game）」。

看，數和game這兩個概念不僅都這麼複雜，而且離得最近的地方還只有一線之隔。真是夠了。

驚聞約翰·J·康威逝世，或因感染新冠病毒。R. I. P.

謝邀。

數學不是在數的分類上給出了嚴格的定義，而是直接給出了數的定義。換句話說，這個定義不是告訴你如何分類的，而是告訴你，那就是某數。

而且，數學中很多定義，包括數這種抽象事物的定義，實際上是給出了一系列的性質描述，然後說，只要滿足這種性質的都被成為某某。

以集合論為基礎的數學唯一無法定義的就是集合本身，準確的說是空集。空集是直接由公理給出的。而經典的自然數定義中，空集被定義為 [公式] ，然後通過定義後序運算，定義了所有自然數。

之後又有了各種擴充數域的定義，依次完成了有理數、實數、複數等等。

數學關注的是很多對象之間的關係，只要他們之間滿足一定的關係，就被稱為是對應的數學概念。換句話說，你可以用任意你想的方式、無論是小朋友用蘋果、還是你寫漢字一二三、或者是阿拉伯數字乃至計算機二進位，只要它們之間被賦予了對應的關係，就可以被稱為對應的數學概念。基於這些概念的數學命題也都會是真的。

個人水平有限，只能說到這裡，拋磚引玉了。

實際上，範疇論目前正在在更深的層次改造整個數學體系，如果你有興趣，你可以去看看下面這篇科普文章，說的比我好多了：

返樸：構建數學和物理基礎的範疇論：用「等價」取代「相等」丨眾妙之門?

zhuanlan.zhihu.com圖標

你提出這個問題，我覺得你應該能從這篇文章中學到很多。

前言

如果你碰巧點進了我的主頁，可能會發現我的幾個和數學有關的回答基本都是圍繞這一個問題展開的。只不過他們體現了這一段學習的過程之中不同的疑惑。全都是回答這個主題的問題可能說明這幾年我數學學習的巔峯，就是在大一了吧。（想了想，後面的內容哪有人問啊）

（不過說起來為什麼不加一點問題描述，寫一下當前學業是什麼水平呢，如果已經學了一兩年數學專業的課程我寫起來也會方便很多啊。做讀者傻瓜假設的話，寫得那麼細超累。惱）

如果你是「太長不看」黨，那麼真的很對不起，因為這一個回答我確實沒有能力壓縮出一個 tldr 版本（苦笑）。

數學上並沒有明確規定什麼是數，而是明確定義了什麼是自然數，什麼是整數、有理數、實數。

首先如其他答案之中所說的，大多數時候我們關心的是數之間可以進行運算得到結果這樣的性質上的特點。（關於什麼是數可能看下面這篇回答說得會多一點，這一次回答主要講構建數系）

有沒有可能把 π 或 e 等無理數當成 1，這樣就能使許多定理顯而易見？?

www.zhihu.com圖標

但是你得清楚，你關注的是這個集合上的什麼性質。

為什麼實數與數軸上的點一一對應？?

www.zhihu.com圖標

而在什麼時候，兩個集合的性質是不一樣的、在什麼意義下不一樣的。

平面內的所有直線與無數條直線有什麼區別？?

www.zhihu.com圖標

不知道出於什麼巧合這些問題我全都回答了。這些都是非常有趣的問題（儘管我的答案不一定有趣），我希望大家感興趣的話可以去了解一下。構造數系這種事情在汪芳庭的《數學基礎》之中有說到，這是一本非常有意思的書，如果大家想要了解這篇回答原始的學習內容可以去閱讀一下這本書。

這上面的所有問題的非常的基礎，不是特別難懂的問題，但是也不是特別顯然。他們最難的地方在於如果想當然，那基本上就出問題了。

歷史上有很長一段時間數學家關注的都是數之間的運算，這樣確實挺夠了，很長很長的時間以來也都沒出現過什麼問題。那麼究竟是為什麼要關注數的定義呢？

背景

數的概念是怎麼發展起來的？

代數的發展稍慢於幾何，因為幾何是當時的人們看得見畫得出的東西，也是他們平時應用數學的最常見方式，比如建築、買賣地皮。以至於代數公式在那時也一定要有幾何的解釋才被認為可行，也就是初中課本上的「平方差公式幾何解釋」那種形式。在這樣的以度量建立起來的數學之中，沒有負數會是什麼大問題嗎？顯然不是。甚至如我今日疑惑古人「怎麼能沒有零」一樣，以前的人會疑惑「what does it means to add nothing to something」（ [公式] ）。而回想負數被引入時，老師使用負債作為解釋的背景，多少也可以猜到人們使用負數是因為市集和交易行為的發展。

這樣看得到的擴張一直持續到了由有理數擴張到實數。有人因為無理數被淹死的故事相信這個問題下的大家已經是耳熟能詳。 [公式] 不是空想出來的東西，它可以被實實在在地畫在紙上，有些學派可能會否定這是一個數，但是他們不能否認它映射的幾何概念是實際存在的。數學家認為，數系擴張到實數之後，所有實際存在的幾何客體的長度都可以有一個數字來對應了。這樣的視角之下，一條直線上包含了幾何之中所有可能出現的長度，實數也是所有可能的長度，用直線來表示實數就成為了可以理解的事情（個人觀點，非數學史）。

可以畫出來的無理數

為了描述幾何客體，無理數出現了。而到了複數，數字就沒有那麼好懂了，教材說為瞭解 [公式] 這樣的方程引入了 [公式] 的平方根作為虛數的單位。這樣的引入方式非常奇怪，因為說這樣的二次方程在無解在數學上完全沒有任何錯誤，這樣的根僅在二次方程的視角下也完全沒有任何意義。Why not just real？實數完全夠呀。這樣的疑問陪伴了我三年，巧的是高一的課我沒有怎麼認真聽過，所以一直懷疑自己是不是上課聽漏了，從來沒想過這個問題本來就沒有被解釋清楚。

虛數存在的意義是什麼？如果你知道三次方程的求根公式，你會看到公式裡面有很多的根號。而在求根的過程之中會遇上負數開二次方。即使最終得到的根是實數，使用求根公式的過程之中也可能出現給負數開根的情況。要想用三次方程的求根公式，就必須有給負數開方的勇氣。不過因為複數的現實意義並不明確，數學界也迷惑了一段時間。複數乘法的幾何意義給複平面上的分析帶來了很多漂亮的結論，不過這一次的答案止步於實數，所以複數的內容就不詳細敘述了。複數的內容就交給複變函數課程了。

總而言之，數的擴張總是伴隨著對新性質的需要發生的。

為什麼只關注數的性質不關注數是什麼不夠

問題發生在微積分誕生的年代，只關注性質一直以來都沒出現過什麼問題，但是在微積分之中，大家以為很簡單的問題卻因此非常難以解釋清楚。

比如無窮小和無窮大，兩者在概念和性質上都非常「簡單」。比如無窮小量是一個要多小有多小的量。0 是沒有量，但是無窮小量是有量的，所以無窮小量可以拿來做分母用來計算瞬時速度，或者萊布尼茨一點的說法，[公式] 這樣的分數是有意義的；任何一個正數都比無窮小量大，因為無窮小量要多小有多小。

再比如極限 [公式] ，是一個變化量 [公式] 趨於一個確定量 [公式] 。換句話說是變化量和確定量之間的距離要多小有多小，也就是 [公式] 是個無窮小量。

那要是想要搞清楚極限，矛盾點就很清楚了——最起碼先搞清楚無窮小量，況且求導積分還得用到它。

但是在研究的過程之中，很快你會發現如果性質只是用「看起來」怎樣怎樣來描述，微積分就會變成一種公說公有理，婆說婆有理的玄學。

這一個無窮小量是不是一個數？如果不是的話它是什麼，為什麼不是數字還可以和一般的數字一起進行運算？如果是的話，是哪一種數字，有理數範圍內，還是實數範圍內，還是超出實數範圍？微積分都是在數軸上進行無限細分，怎麼說應該走不出實數，因為實數把數軸填滿了。這個數不能簡單的是自然數和整數很好理解，因為自然數和整數分不了那麼細，但是有理數呢？畢竟沒有絕對值最小的非零有理數，細分有理數看起來也不是完全沒有希望。

自然數和整數不夠密沒有辦法分割很自然，畢竟他們看起來比有理數少了那麼多東西，有理數可比他們密集多了。像是 [公式] 這種方程限制在整數上是不一定有解的，而 [公式] 在有理數上確是一定有解的，有理數最起碼在加法這種運算上就比整數密了。但是實數也就比有理數多了無理數而已，這個密的程度是密了多少，如果也沒有密很多的話是不是有理由在有理數的角度上考慮無窮小和極限了？

不過像是 [公式] ，這樣整個數列都是有理數的數列最後卻不是趨於一個有理數，明示了只在有理數上考慮無窮小和極限是不夠的。但是實數就夠了嗎？

上面的每一種數都有無窮多個，但是在性質上卻體現出了一種元素分佈密的程度不一樣的趨勢。雖說都是無窮大量，但是這已經顯現出了無窮大量之間也是各有不同的。那麼什麼是一樣的無窮，什麼是不一樣的無窮呢？

奇數和偶數一樣多可能還可以接受，但是像是全體奇數和自然數一樣多這個事實也那麼容易接受嗎？自然數全體和有理數全體一樣多這個事實呢？一個線段上的點和全宇宙空間中的點一樣多這種事實呢？

有理數比整數密、實數比有理數密，完全是兩個不同的概念。後者可以說是元素更多，這是集合論之中集合的勢的概念；而有理數和整數之間根本談不上誰的元素更多（一樣多），上面的敘述只是說明不存在有理數和整數之間保持加法的同構而已，是抽象代數的概念；而討論一根線段和一個空間之中，點的無窮的不同則是測度論的事情。

如果這樣關於無窮的結論你覺得很奇怪的話，在被問到實數是否真的填滿了數軸的時候，我們又有什麼把握回答「是」呢？

只憑感覺解釋已經行不通了，只看性質已經不可靠了，如果只要感覺 [公式] 可以算出三種不同的結果。問題已經上升到了沒有「這些數字是什麼」的明確描述就無法判斷這些集合的結構的程度。於是，數系公理化的進程開始了。

實數公理化

並不是實數本身的概念蘊含了其覆蓋整個直線之意，而是我們希望實數覆蓋了整個直線，我們希望直線上每一個點距離原點的長度，都可以用實數表示；實數這個名字本身並沒有蘊含連續不斷的概念，而是直線的理想模型是連續不斷的，在和直線的類比之下我們覺得，或者說最起碼希望，實數也是連續不斷的。

「一尺之槌，日取其半，萬世不竭「這句話現代人已經知道是不可能的了。取到最後到了單個原子就搞不定了。這就是在微觀世界這個木棒實際上是不連續的。所以要想讓無窮小的討論在實數範圍內有意義，實數就必須連續。

實數的構造有幾種方法，如果想要從幾何直觀的連續性來構造的話就是戴德金分割。這個方法我在我數軸上的點和實數一一對應的答案之中有介紹，所以這一次有機會再講就換成柯西的方法來構造吧。這一個方法比較偏結構化，代數結構的結構。

在開始之前，先回想一下之前提到的 [公式] 限制在整數上是不一定有解；而方程左側擴展到有理數上就一定有解。當只有整數的時候的我們並不預先知道像是 [公式] 的解到底是什麼，我們只是知道此方程的解必然不是一個整數。出於我們對這個方程有解的希望，纔有了 [公式] 這樣的一個數字（此處可以說是提供了一個可行的利用整數定義有理數的方法）。

如果只有有理數，計算數列的極限可以說是我們擴展數系的契機，因為一個有理數列的極限卻不一定是有理數。

[公式]

（求求誰告訴我怎麼公式居中）

如果數列的極限就是有理數，那麼很好，這種有理數列沒有產生問題；遇上在有理數範圍內解不出極限的數列，比如 [公式] ，出於對所有收斂數列都可以有用於表示極限的數字的希望，可以故技重施，專門給這個數列的極限一個標記，或者我們可以花哨一點，直接把這個極限不是有理數的數列當成一個數字。明確來說，新得到的 [公式] 之中，每一個數字都對應一個收斂有理數列。有的實數對應的有理數列收斂到 [公式] 中的元素，這部分數字就是我們構造出來的 [公式] 之中的「有理數」；有一些實數對應的有理數列收斂，但是極限不是 [公式] 中的元素，這一部分就是 [公式] 之中的「無理數」。

注意，我一直強調是根據收斂有理數列來進行熟悉擴張，因為我們只不過是想讓所有收斂的數列都有極限，而不是讓所有數列都有極限。不收斂的數列沒有極限的原因，不是我們的數系不夠大，而是其本身性質有問題。舉一個不恰當的類比， [公式] 這個方程不論是在哪一個數系之中都不會有解，這不是因為熟悉不夠大，而是 [公式] 本身的性質決定了這個方程必然無解。

接下來解答這幾個問題：

  1. 為什麼一個數列可以被當成一個數？
  2. 如何判斷一個有理數列確實收斂，只是其極限不是一個有理數？
  3. 多個有理數列收斂到同一個地方是很常見的事情，那麼應該用他們之中的哪一個來對應得到的「實數」才合適。

先解決第三個問題。實際上在當前的這種意義下，這幾個數列完全可以看作是同一個數列。

換成初等一點的例子：我在紙上畫一個邊長是 1 的等邊三角形，你也在紙上畫一個邊長是 1 的等邊三角形，如果我說這兩個是同一個三角形應該聽起來不會太奇怪。這兩個三角形空間位置顯然不同，但是彼此全等，可以說他們是同一個三角形。這時候你是按照邊長的不同來審視等邊三角形。如果你用相似來審視，視角放大到不同內角組合的三角形，那麼就所有的等邊三角形，都是同一個三角形。如果你的視角放大到不同邊數的多邊形，那麼所有的三角形都可以說成其實是一個東西。

不同的有理數列，只要收斂到同一個地方（這是很好判斷的，只要他們的差數列是無窮小），就可以看作是同一個數列。收斂目標相同的有理數列共同構成一類，這是一個等價類分劃。而我們構造的實數可以對應一個完整的收斂有理數列的等價類，而不僅僅是一個數列，畢竟那些個數列全都是同一個數。就像 [公式] 對應分子分母對不僅僅有 [公式] ，還有 [公式]

那麼為什麼一個數列也可以當作一個數來使用呢？在這樣的定義下四則運算都已經非常明顯的有定義了（如果 [公式] 而 [公式] ）：

  1. [公式]
  2. [公式]
  3. 如果 [公式] ， [公式]

這不正是平時我們用數字乾的事情嗎？直接運算都定義好了有啥不可以。

至於如何判斷一個有理數列是收斂而不是發散，因為極限並不預先有解，所以沒辦法用定義來驗證。不過讀到這裡，你應該知道柯西收斂定理為什麼是柯西冠名的了吧。

繼續講其他性質的證明就沒意思了，所以到這裡實數的構造就算是完成了。

自然數的構造

說到自然數，就不得不提一下皮亞諾用來描述自然數的五條公理（ [公式] 表示數字 [公式] 的後繼， [公式] 表示自然數全體，或者說最小歸納集）：

  1. [公式] 是自然數；
  2. 如果 [公式] 是自然數，那麼 [公式] 也是一個自然數；
  3. [公式] 不是任何一個自然數的後繼；
  4. [公式]
  5. 如果 [公式] ， [公式] 。且 [公式] 。則可知 [公式] 。

在這個公理之中有兩個事情沒有解釋清楚，一個是什麼是 [公式] ，另一個是什麼是數的後繼。在集合論的公理化方法之中，這兩件事都使用了幾何的語言來進行表達。

  1. 空集定義為 [公式] 。
  2. 對任意集合 [公式] ，其後繼定義為 [公式] 。

在這樣的定義下， [公式] ，順帶一提恰巧第 [公式] 個自然數就有 [公式] 個元素。

在此基礎之上可以描述加法。

[公式]

注意，這裡只是給出了加法這個映射 [公式] 的一個描述，定義域是自然數是必須的，但是值域、對應規則都是沒有給出的。正是因為這種不明確性，這樣的映射連存在性都是需要證明的（比如「既奇又偶，且函數值非零的函數」是一個 [公式] 上映射的描述，但是這樣到的映射是不存在的）。

當然滿足這樣性質的映射，如果有多個滿足條件的映射，就不得不在幾種可能的運算之中挑一種，這也不是不可以，但是實在不如存在唯一來得漂亮。

這兩個證明和更多關於運算性質的推導都在《數學基礎》之中可以看到，我就不費力在這裡講解了。

關於這一個公理我想稍微說一說它描述的一幅圖景。這幾條公理之中，在我看來最關鍵的一條是歸納公理，這一條公理可以說是體現了化繁為簡的美妙。而我覺得自然數的本質，實際上就是歸納。

任何一個集合成為自然數集有兩個關鍵因素——包含零，這是歸納起點；只要包含一個數就必然包含其後繼，這是一個集合自我展開，自動生成後無窮多個元素的能力。像極了學習數數的小朋友在學習的過程之中做的事情。

而零不是任何一個元素的後繼，是說歸納永遠不會回到起點陷入循環。

任何兩個不同的數後繼必然不同，是說取後繼這個運算作為一個 [公式] 上的變換，是一個單射，歸納鏈必然是一條直鏈，在前進的路上永遠不會回到已經到達過的數字。

歸納鏈

這樣的結構是很容易推廣的，設集合 [公式]，函數 [公式] 與 [公式] 滿足：

  1. [公式] ，
  2. [公式] 是單射，
  3. 對任意的 [公式] ，若 [公式] 且 [公式] ，則可知 [公式] 。

這樣的 [公式] 不難看出和自然數集 [公式] 具有完全相同的結構，這種系統被稱為是皮亞諾系統。

整數和有理數的構造

這兩種數字的構造是相對簡單的，就是使用了簡單的等價類。直接看圖像基本就可以了。

整數等價類

自然數的二元有序對空間 [公式] 之中，有很多 [公式] 對應的 [公式] 是一致的，稍微計算一下就可以看出來這樣的減法給了負數出現的機會。但是在只有自然數集合的時候，減法常常會遇到不知道減出來是什麼東西的情況，嚴格的定義並不能使用減法進行描述。可以說說 [公式] 和 [公式] 是屬於同一類，這兩個點的兩個坐標分量的差值是相等在我們心裡清楚就可以了。而每一個這樣的等價類，就對應一個整數。

有理數也非常相似了，分子分母比例相同的就表示的是同一個有理數，屬於同一等價類。公理化描述是

[公式]

結語

好累。

數學不關心什麼是數，只關心數之間的關係或者說數系的結構。

自然數集是一個滿足一組公理(皮亞諾公理)的集合。

整數是通過減法運算從自然數構造出來的。

有理數是通過除法運算從整數構造出來的。

實數是通過Dedekind分割從有理數構造出來的。

複數是通過開方運算從實數構造出來的。

至於什麼是數，這不重要。「數」這個詞隨意換成別的詞都行。比如，自然樹，整樹，有理樹，實樹，復樹，也行。

推薦閱讀：
相關文章